Meccanica 8 - Dipartimento di Fisica
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Meccanica 8
31 marzo 2011
Teorema del momento angolare. 2° eq. Cardinale
Conservazione del momento angolare
Sistema del centro di massa. Teoremi di Koenig
Lavoro, energia cinetica, potenziale e meccanica per un corpo esteso
Energia propria e interna
Teorema del momento angolare
• Abbiamo visto nel caso di un solo punto
materiale, che, se il polo e` fisso e il sistema
di riferimento e` inerziale, il teorema del
momento angolare e`
dLO
O
dt
2
Teorema del momento angolare
• Generalizziamo questo teorema al caso di un
sistema di piu` particelle e polo fisso
L
r
i i pi
• Deriviamo rispetto al tempo
O
• Otteniamo
dpi
dLO d
dri
ri pi mi vi ri
dt
dt i
dt
i dt
i
vi mi vi ri Fi 0 O
i
• Cioè di nuovo
i
dLO
O
dt
3
Teorema del momento angolare
• Generalizziamo ora al caso di un sistema di piu`
particelle e di un polo mobile
• Deriviamo rispetto al tempo l’equazione che lega il
MA calcolato rispetto ad un polo fisso O e un polo
mobile Q
LQ LO rQ P
• Otteniamo
dLQ dLO d
drQ
dP
rQ P O
P rQ
dt
dt dt
dt
dt
O vQ P rQ F O rQ F vQ P
4
Teorema del momento angolare
• Ricordando che l’espressione tra parentesi è
il momento rispetto al polo mobile Q,
otteniamo
dLQ
dt
Q vQ P
• Espressione che differisce per la presenza
del secondo termine da quella trovata per il
polo fisso
• Ovviamente si ritrova quella equazione se
anche Q è fisso: in tal caso il secondo
termine è nullo
5
Teorema del momento angolare
• Esistono però altri casi in cui le equazioni per
il polo mobile e per il polo fisso sono uguali
• Il caso più importante è quello in cui il polo
coincide con il CM del sistema, in tal caso
dLCM
CM vCM P
dt
• E poiché vCM e P sono proporzionali, segue
dLCM
CM
dt
6
Teorema del momento angolare
• Un altro caso e` quando il polo coincide con il
punto di contatto C tra una ruota che si
muove (slittando o rotolando) e una superficie
di appoggio
dLC
C vC P
dt
• Poiché vC e P sono paralleli, segue
dLC
C
dt
P
C
vC
7
Teorema del momento angolare
• Abbiamo dimostrato il notevole teorema: la
derivata del momento angolare è uguale al
momento delle forze (esterne) se come polo
usiamo
– un punto fisso in un sistema inerziale
– oppure il CM del sistema (indipendentemente
dal fatto che questo sia fisso o sia mobile e
qualunque sia il suo moto) dLCM
dt
CM
8
Seconda equazione della
dinamica dei sistemi
• Se il polo e` fisso o e` il CM
dLQ
dt
QE
• Questa e` la seconda equazione della
dinamica dei sistemi
• O seconda equazione cardinale della
meccanica
9
Conservazione
di
L
E
dLO
O O
dt
• Se vale l’equazione
• e se il momento delle forze esterne e` nullo,
allora il momento angolare
si conserva
E
O 0
dLO
0
dt
LO const.
• Facciamo due osservazioni:
– La conservazione puo` valere anche solo in
alcune direzioni (quelle in cui la componente di
e` nulla)
– A seconda della situazione fisica, puo` annullarsi
qualunque sia il polo, oppure solo per poli scelti
opportunamente
10
Sistema di riferimento del CM
• Ha origine nel CM
• Gli assi sono sempre paralleli agli assi di un
sistema inerziale
• In generale non e` inerziale
pi
• La posizione di un punto nel
*
SCM e`
ri ri rCM
• Derivando questa relazione
troviamo la velocita` di un
*
punto nel SCM vi vi vCM
CM
r
i
*
Ai
ri
O
rCM
11
Sistema di riferimento del CM
• La posizione e la velocita` del CM nel SCM
sono, ovviamente,
*
rCM rCM rCM 0
*
vCM vCM vCM 0
• Ricordando la definizione di CM, valida in
ogni SdR, abbiamo anche
*
*
m
r
M
r
ii
CM 0
i
*
*
m
v
M
v
ii
CM 0
i
• La seconda equazione stabilisce che la QM
totale del sistema e`
nulla se misurata nel
*
*
SCM
P MvCM 0
12
Teoremi di Koenig
• 1o teorema: fornisce una relazione tra il
valore del momento angolare in un sistema
inerziale e nel sistema del CM
• 2o teorema: fornisce una relazione tra il
valore dell’energia cinetica in un sistema
inerziale e nel sistema del CM
13
1o teorema di Koenig
• Confrontiamo il MA calcolato
– nel SCM con polo nel CM
– nel SdR inerziale con polo nell’origine O
pi
CM
r
i
*
Ai
ri
O
*
*
*
LCM ri mi vi ri rCM mi vi vCM
i
rCM
i
ri mi vi rCM mi vi ri mi vCM rCM mi vCM
i
i
i
i
LO rCM mi vi mi ri vCM rCM MvCM
i
i
14
1o teorema di Koenig
• Il 2o e 4o termine sono uguali e opposti; il 3o
termine e` il MA del CM nel SdR inerziale
*
LCM LO MrCM vCM LO rCM MvCM LO LO CM
• La relazione puo` essere letta anche
*
LO LO CM LCM
• Il MA di un corpo in un SdR inerziale e` uguale
al MA del sistema rispetto al CM, calcolato nel
SCM piu` il MA del CM nel sistema inerziale
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2o teorema di Koenig
• Calcoliamo ora l’energia cinetica
2
1 *2
1
*
K mi vi mi vi vCM
i 2
i 2
1 2
1 2
mi vi mi vi vCM mi vCM
i 2
i
i 2
1
2
K mi vi vCM mi vCM
2 i
i
1 2
1 2
K MvCM vCM MvCM
K MvCM
2
2
16
2o teorema di Koenig
• il 2o termine e` l’energia cinetica del CM nel
SdR inerziale
K * K KCM
• La relazione puo` essere letta anche
K K CM K *
• L’energia cinetica di un corpo in un SdR
inerziale e` uguale all’ EC del sistema
calcolata nel SCM, piu` l’EC del CM nel
sistema inerziale
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Lavoro
• Calcoliamo il lavoro relativo allo spostamento
di un sistema di punti materiali
• Per una particella il lavoro infinitesimo e`
I E
dWi Fi dri Fi dri Fi dri dWi I dWi E
• Il lavoro finito si trova integrando il lavoro
infinitesimo tra stato iniziale e finale (che
possono essere diversi per ogni particella)
Bi
Bi
Bi
Ai
Ai
Ai
Wi dWi dWi I dWi E Wi I Wi E
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Lavoro
• Per il sistema il lavoro si trova sommando su
tutte le particelle
W Wi Wi I Wi E W I W E
i
i
i
• A differenza del caso della risultante dei
momenti di forza agenti sul sistema, ora le
forze interne danno un contributo non nullo
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Lavoro
• Raggruppando infatti le forze interne a coppie
di forze coniugate secondo il 3o principio, il
lavoro interno
e` esprimibile
come
r
r
I
I
I
I
W Wi Fi dri f ij dri
Fi
iF
i
i
riF
iF
riI
i
riI j i
r jF
Ii
I
I
f ij dri f ji drj
i j i r
r
rijI
r
r
r
I
I
I
f ij dri f ij drj f ij drij 0
i j i r
i j i r
r
iI
jI
iF
jF
iI
jI
rijF
Fj
ijF
ijI
Ij
20
Lavoro
• Ove si e` introdotta la nuova variabile rij
• In generale il prodotto scalare che compare
nell’integrando non e` nullo, ne’ sono nulli gli
integrali o la loro somma
• Il lavoro delle forze interne dipende in ultima
analisi dal cambiamento delle distanze mutue
drij tra le particelle che formano il corpo
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Lavoro per un corpo rigido
• In assenza di tali cambiamenti i lavori
elementari sarebbero nulli, e altrettanto nulli
sarebbero i lavori integrali e la somma dei
lavori relativi alle diverse particelle
• Questo e` il caso, particolarmente importante,
di un corpo rigido: W I 0
nessun cambiamento delle
distanze mutue tra le particelle
che formano il corpo
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Energia cinetica
• Studiando il lavoro infinitesimo relativo a una
particella singola, avevamo trovato
l’equazione
1 2
dWi Fi dri mi vi dvi d mi vi dKi
2
• Integrando tra stato iniziale e finale
Bi
Bi
Ai
Ai
Wi dWi dK i K i Bi K i Ai K i
• e sommando su tutte le particelle
W Wi Ki Ki K
i
i
i
23
Energia cinetica
• Ovvero: il lavoro complessivo delle forze che
agiscono su un sistema e` uguale alla
variazione di energia cinetica del sistema tra
stato iniziale e finale
Teorema dell’energia
W K
cinetica per corpo esteso
• Inoltre il lavoro e` scomponibile nel lavoro
delle forze esterne e interne, in generale
entrambi diversi da zero
W W I W E
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Energia potenziale
• Se le forze sono tutte conservative, il lavoro
e` esprimibile in termini di energia potenziale
dUi dWi
• Integrando tra stato iniziale e finale Ui Wi
• E sommando su tutte le particelle
U W W
i
i
i
i
• Definendo l’energia potenziale totale U U i
i
• troviamo
U W
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Conservazione dell’energia
meccanica
• Il discorso si puo` ripetere separatamente per forze interne e
esterne
I
I
E
E
W U
W U
W W I W E U I U E U
• Ricordando il teorema dell’energia cinetica,
otteniamo
K U
• Abbiamo cosi’ ritrovato il teorema di
conservazione dell’energia meccanica E per
un corpo esteso
K U E 0
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Forze non conservative
• Se sono presenti forze non conservative,
possiamo estendere il ragionamento fatto per
una singola particella
W Wnc Wc
• Ottenendo
W K
Wc U
K W Wnc Wc Wnc U
K U E Wnc
• Cioe` la variazione di energia meccanica e`
uguale al lavoro delle forze non conservative
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Energia propria
• Energia meccanica: E K U
• Separando i contributi delle forze interne ed
I
E
E
K
U
U
esterne
• E non rappresenta una caratteristica del solo
sistema, perche’ contiene anche le interazioni
con l’ambiente
• Per tener conto di questo, si definisce
l’energia propria
I
Ep K U
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Energia interna
• Tenuto conto che l’energia cinetica dipende
dal SdR, l’energia propria si puo` scrivere
1 2
1 2
I
E p K Mv CM U U Mv CM
2
2
*
• Avendo definito l’energia interna U K * U I
• L’energia interna e` l’energia propria nel SdR
del CM, ove assume il valore minimo
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