Meccanica 7 - Dipartimento di Fisica
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Meccanica 7
28 marzo 2011
Corpi estesi. Forze interne al sistema
Centro di massa e suo significato dinamico
1° eq. cardinale. Conservazione della quantita` di moto
Sistemi continui. Densita` di materia
Massa inerziale definita indipendentemente dal peso
Momento angolare e di forza. Cambio di polo
Coppia di forze
Momento delle forze interne
Sistema di forze parallele. Centro di forza
Sistemi di punti
• Finora abbiamo considerato sistemi formati
da un solo punto materiale
• Ora considereremo sistemi formati da più
punti materiali
• Accanto alle forze che si esercitano tra il
sistema e l’ambiente, dette forze esterne
(rispetto al sistema) abbiamo ora forze che si
esercitano tra punti appartenenti al sistema,
dette pertanto forze interne
2
Forze interne ed esterne
• Per ogni punto i del sistema diciamo Fi la
forza totale agente sul punto
• Questa puo` essere pensata come somma di
due termini, uno dovuto alle forze interne al
sistema e uno dovuto a quelle esterne
I E
Fi Fi Fi
• Sia le forze interne che esterne possono
essere conservative o dissipative
3
Risultante delle forze interne
• Abbiamo un primo importante teorema: la risultante
di tutte le forze interne di un sistema e` nulla
I
Fi 0
i
• Questo e` conseguenza del 3o principio della
dinamica: ad una forza f ijI agente sul punto i e
dovuta al punto j, corrisponde la forza coniugata f jiI
uguale e opposta alla precedente
• La risultante della coppia e` zero e quindi la somma
delle risultanti e` pure zero
I
Fi
i 1,...n
I
I
I
I
fij f1 j f 2 j ... f nj
i 1,...n j i
j 1
j 2
j n
I I
I
I I
I
I I
I
f12 f13 ... f1n f 21 f 23 ... f 2 n ... f n1 f n 2 ... f n ( n 1)
4
Grandezze meccaniche del
sistema
• Per ogni punto Pi del sistema possiamo definire le
grandezze meccaniche QM, momento angolare,
energia cinetica
• Possiamo ora definire le corrispondenti grandezza
meccaniche del sistema come somma delle
grandezze dei punti componenti
– Massa: M mi
i
P pi mi vi
– QM:
i
i
L Li ri mi vi
– Momento angolare:
i
i
– Energia cinetica: K K i 1 mi vi2
i
i 2
5
Centro di massa
Media dei raggi
vettori pesata
sulle masse dei
punti
• E` un punto ideale dello spazio la cui
i mi ri
posizione e` definita da
rCM
m
i
i
• Attenzione che questa e` un’uguaglianza
vettoriale
• Cio` significa che le coordinate del CM (p.e.
in un sistema cartesiano) sono
m x
m
i i
xCM
i
i
i
m y
m
i
yCM
i
i
i
i
m z
m
i i
zCM
i
i
i
6
Velocita` del CM
• Calcoliamo la velocita`
del CM
vCM
dri
mi
dr
dt
CM i
dt
mi
i
mi vi
P
i
mi M
Media delle
velocita` pesata
sulle masse dei
punti
i
• Ne deriva l’importante teorema: la QM
di un sistema e` uguale alla QM del CM,
considerato come un punto materiale di
massa M e velocita` vCM
P MvCM
7
Accelerazione del CM
• Calcoliamo l’accelerazione
del CM
aCM
dvi
mi
dv
dt
CM i
dt
mi
mi ai
i
M
Media delle
accelerazioni
pesata sulle
masse dei punti
i
• Ricordiamo la 2a legge della dinamica
per il punto generico i
I E
mi ai Fi Fi Fi
• e introduciamola nell’equazione
precedente
8
Moto del CM
• Troviamo
i
i
• L’ultima uguaglianza deriva dal fatto che la
risultante delle forze interne e` nulla
• D’altra parte
I E
I E E
MaCM mi ai Fi Fi F F F
MaCM
dP
dv
dp
d
mi ai mi i i pi
dt
dt dt i
dt
i
i
i
9
Prima equazione della
dinamica dei sistemi
• Abbiamo ottenuto l’importante
teorema:
dP E
MaCM
F
dt
• Il CM si muove come un punto materiale in
cui sia concentrata tutta la massa del sistema
e a cui sia applicata la risultante delle forze
esterne
• Prima equazione della dinamica dei sistemi
• O prima equazione cardinale della dinamica
10
Proprieta` del CM
• Come risulta dalle definizioni di
posizione, velocita` e accelerazione del
CM, questo punto ci da` informazioni
sulle proprieta` medie del sistema ma
nulla ci dice sul moto dei singoli punti
11
Distribuzione continua di massa
• Come sappiamo la materia è suddivisibile in unità
discrete, gli atomi e le molecole
• Nel volume occupato da un corpo macroscopico,
c’è un numero estremamente grande di tali
costituenti elementari
• Si può allora ritenere con buona approssimazione
che entro questi corpi la massa sia distribuita con
continuità
• Questa assunzione permette di applicare i metodi
del calcolo differenziale e integrale
• Introduciamo a tale scopo una nuova grandezza
12
Densità di massa
omogenea
• Massa distribuita in un
volume
– Densità spaziale
• Massa distribuita su di
una superficie
– Densità superficiale
• Massa distribuita lungo
una linea
– Densità lineare
• Dimensioni della densità
ML
3
ML
2
M
V
M
A
M
l
1
ML
generale
dM
dV
dM
dA
dM
dl
13
Distribuzione continua di massa
• Viceversa si può trovare
la massa:
– in un volume V
M dV
V
– su di una superficie S
M
dA
S
M
– lungo una linea L
dl
L
14
Centro di massa in un corpo
continuo
rCM
mi ri
i
• Riprendiamo la definizione di CM
i mi
• Per un corpo con distribuzione continua
di materia bastera` sostituire le
sommatorie con integrali e le masse
elementari con masse infinitesime
rCM
r dm
corpo
dm
1
M
r
dm
corpo
corpo
15
Centro di massa in un corpo
continuo
• Ove abbiamo indicato con M la massa totale
del corpo M dm
corpo
• Le masse infinitesime sono contenute in
volumi infinitesimi dm dV
• Se la densita` e` uniforme, gli integrali si
riducono a integrali puramente geometrici
r
dm
r
dV
r
dV
r
dV
1
corpo
corpo
corpo
corpo
rCM
r dV
dm dV dV dV V corpo
corpo
corpo
corpo
corpo
16
CM di sottoinsiemi e CM globale
• Cerchiamo il CM di un
corpo non connesso
1
rCM
M
1
2
1
i mi ri k mk rk j m j rj
M
• La prima sommatoria si riferisce al corpo 1 (di massa
M1), la seconda al corpo 2 (di massa M2)
1 M1
M2
M1 1
M2 1
rCM
k mk rk j m j rj k mk rk j m j rj
M M1
M2
M M1
M M2
17
CM di sottoinsiemi e CM globale
• La prima parentesi contiene il CM del corpo 1 e la
seconda quella del corpo 2
M r M 2 rCM 2
rCM 1 CM 1
M
• Quindi il CM globale e` il CM dei due sottoinsiemi
18
CM di due corpi puntiformi
1
r2
• Siano M e m le masse
• Prendiamo come origine la posizione di uno dei due
corpi (l’1 p.e.) allora r1=0
2
Mr1 mr2
m
rCM
r2
M m
M m
• Quindi il CM giace sulla congiungente dei due punti e
la sua distanza da essi e` inversamente
proporzionale alle loro masse
19
CM di due corpi puntiformi
• Detto r r2 r1
i vettori posizione dei due corpi rispetto al CM
si possono scrivere
m
M
r2
r
r1
r
M m
M m
1
r1
CM
r2
2
20
Corpi con alta simmetria
• Se un corpo e` simmetrico rispetto ad
un punto, un asse o un piano, il CM
giace nel punto, sull’asse o sul piano,
rispettivamente
• Se esistono piu` assi o piani di
simmetria, il CM si trova nella loro
intersezione
21
Conservazione della QM
• Se il sistema e` isolato, o le forze esterne
E
hanno risultante nulla, e quindi F 0 , la QM
si conserva dP
dt
0
P const.
• In tal caso il CM si muove di moto rettilineo
P
uniforme
vCM
M
• Attenzione: la QM dei singoli punti puo`
cambiare nel tempo, e` la loro somma che
rimane costante
22
Conservazione solo in alcune
direzioni
dP E
F
dt
• La legge
• E` una legge vettoriale, per cui puo`
accadere che la risultante delle forze
esterne, pur non essendo nulla, abbia
una o due componenti nulle
• In tal caso la QM si conserva nelle
direzioni corrispondenti
dPk
E
Fk 0
dt
Pk const.
23
Massa inerziale
• La conservazione della QM permette di
definire la massa dinamicamente, senza
riferimento al peso
• Consideriamo un sistema costituito da due
corpi fermi e da una molla compressa di
massa trascurabile che li collega
• Lasciando espandere la molla, la QM del
sistema non varia, poiche’ l’unica forza in
gioco, quella della molla, e` interna al sistema
24
Massa inerziale
• Quando la molla ha finito di espandersi
m1v1 m2v2 0
• Passando ai moduli
v1
m2 m1
v2
• Cioe` e` possibile misurare la massa di un
corpo qualunque, rispetto ad un corpo
campione, attraverso misure di velocita`
25
Massa inerziale
• Analizzando l’urto tra due corpi, Newton
arrivo` alla conclusione che nell’urto tra due
corpi isolati, la variazione di velocita` di uno
e` in rapporto costante con la variazione
dell’altro
26
Velocita` iniziali Velocita` finali
Massa inerziale
• Newton estese poi la conclusione ad altri tipi
di interazione, ad esempio quella elastica
(dovuta ad una molla di massa trascurabile)
27
Massa inerziale
• In ogni interazione tra due punti materiali
isolati, il rapporto delle rispettive variazioni di
velocita` ha sempre lo stesso valore e non
dipende dal tipo di interazione
v1
k12
v2
• k12 dipende solo dalla coppia di punti
• (Poiche’ le variazioni di velocita` hanno segno
opposto, il segno negativo serve per rendere
k12 positiva)
28
Massa inerziale
• Se si assegna arbitrariamente una massa m1
ad uno dei due punti, la massa m2 dell’altro
puo` quindi essere definita con riferimento al
m2
k
primo
12
m1
• Sostituendo nella relazione precedente
abbiamo un modo operativo di misura della
massa inerziale
m2
v1
m1
v2
29
Momento angolare
• Supponiamo di essere in un sistema inerziale
• Il momento angolare totale di un sistema di
punti {Ai} rispetto al polo fisso O e`
LO ri pi
i
• Vogliamo trovare come cambia il momento
angolare se lo calcoliamo rispetto ad un altro
polo Q
pi
Ai
O
ri
30
Momento angolare
• In generale non e`
necessario che il polo Q sia
fisso, potendo questo
muoversi di moto arbitrario
pi
Ai ri’
Q
ri
O
• L’espressione del
momento angolare
'
L
r
rispetto a Q e` Q i pi
i
• La relazione tra le distanze di Ai dai due
poli e`
ri ' ri rQ
• Ove rQ(t) e` la distanza (orientata e
dipendente dal tempo) tra i poli
rQ
Notare che la
QM e` sempre
quella relativa
al sistema
inerziale
31
Momento angolare
• Il calcolo del momento da`
'
LQ ri pi ri rQ pi
i
i
ri pi rQ pi LO rQ pi
i
i
LO rQ t P
i
• Il momento dipende dunque dal polo scelto, a
meno che la QM non sia nulla
32
Momento delle forze
• Il momento risultante di tutte le forze agenti
sul sistema di punti {Ai} rispetto al polo fisso
O e`
O ri Fi
i
• Similmente a quanto fatto per il momento
angolare, vogliamo trovare come cambia il
momento delle forze se lo calcoliamo rispetto
al polo (che puo` essere mobile) Q
33
Momento delle forze
• L’espressione del momento delle
forze
'
Q ri Fi
rispetto a Q e`
i
• Il calcolo da`
'
Q ri Fi ri rQ Fi
i
i
ri Fi rQ Fi O rQ Fi
i
i
O rQ t F
i
• Ove F e` la risultante delle forze: a meno che
questa non sia nulla, il momento dipende dal
polo
34
Coppia di forze
• Un caso particolare importante e` quello
di due forze uguali e opposte (non
agenti sulla stessa retta)
• In tal caso la risultante e` nulla e il
momento e` indipendente dal polo
F
scelto
2
O r1 F1 r2 F2 r1 F1 r2 F1
r1 r2 F1 r12 F1
r12
F1
r2
r1
O
35
Coppia di forze
• Il momento risultante e` un vettore
perpendicolare al piano individuato dalle
forze e dal vettore r
F
• Il modulo e`
r b
12
2
O r12 F1 sin F1b
O
12
F1
• Ove b e` il braccio della coppia, ovvero
la distanza tra le rette d’azione delle
due forze
36
Momento delle forze
• Approfondiamo l’argomento considerando il
momento delle forze interne e il momento
delle forze esterne, per un polo generico,
fisso o in moto
I
E I E
O ri Fi ri Fi ri Fi O O
i
i
i
• Dimostriamo ora un importante risultato
valido per il momento delle forze interne
37
Momento delle forze interne
• Gli addendi della sommatoria
I
O ri Fi
I
i
• si possono raggruppare in coppie coniugate
secondo il 3o principio della dinamica
• Il momento relativo a una qualunque di tali
I I
coppie e` ij ri fij rj f ji
fij
e poiche’ le due forze sono uguali
ed opposte ij ri rj fijI
ri
fji
rj
O
38
Momento delle forze interne
• La differenza dei raggi vettori ha la direzione
della congiungente i due punti e poiche’ anche
le forze di interazione hanno questa direzione,
Altrimenti il
ne segue
ij 0
momento
non sarebbe
nullo
• Il momento totale delle forze interne risulta
quindi nullo perche’ e` somma di termini tutti
fij
nulli
I 1
O
2
i
j i
ij
0
ri-rj
ri
fji
rj
O
39
Momento delle forze
• Visto in altro modo, abbiamo l’importante
risultato che, per un polo arbitrario, il
momento delle forze e` uguale al solo
momento delle forze esterne
O OE
• Questo deriva da due proprieta` della 3a
legge della dinamica:
– Le forze di interazione sono uguali ed opposte
– Le forze hanno la stessa retta d’azione
40
Sistema di forze parallele
• Sia u il versore che individua la
direzione delle forze
• La risultante delle forze risulta parallela
a u F Fi Fiu Fi u Fu
i
i
i
• Il momento risultante delle forze rispetto
ad un polo O
O ri Fi ri Fi u ri Fi u ri Fi u
i
i
i
i
41
Sistema di forze parallele
• Introduciamo il centro delle forze parallele rC
• Si dimostra facilmente che la posizione del
centro non dipende dal polo scelto
• Per il momento di forza otteniamo dunque
r
i Fi
i
F
i
i
O ri Fi u rC F u rC Fu rC F
i
• Questo significa che un sistema di forze
parallele e` equivalente alla forza risultante F
applicata nel centro di forza
42
CM e peso
• Consideriamo un corpo (p.e. continuo) sottoposto alla
forza peso: la risultante di tutte le forze peso agenti
su ciascun elemento del corpo e` P gdm Mg
corpo
• Il centro delle forze peso e` detto centro di gravita` e
coincide con il CM
ri Pi ri mi g ri mi
rCG
i
P
i
i
i
m g
i
i
i
m
rCM
i
i
• La forza risultante (il peso) e` applicata a tale punto
43
CM e peso
• Rispetto ad un polo fisso, il momento
risultante e`
r dP
corpo
r gdm r dm g MrCM g rCM Mg rCM P
corpo
corpo
• ovvero e` uguale al momento della
risultante rispetto allo stesso polo
44
Sistema di forze qualsiasi
• Un sistema di forze non parallele,
applicate in punti diversi, non puo`
essere rappresentato, in generale, dalla
sola risultante delle forze F
• C’e` bisogno di introdurre anche il
vettore risultante dei momenti di forza
• Detto in altro modo i vettori F e sono
indipendenti fra loro
45
Sistema di forze qualsiasi
• Vale il seguente risultato, che non
dimostreremo
• Scelto un polo, un sistema di forze (applicate
in punti diversi) e` equivalente ad una forza
(uguale alla risultante delle forze) la cui retta
d’azione passi per il polo e ad una coppia di
momento uguale al risultante dei momenti
rispetto al polo
46