Transcript Diapositive 1 - Circonscription d`Aix

AIX-EGUILLES - Mercredi 12 Janvier 2011 –
GRANDEURS et MESURES
CYCLE 2 et CYCLE 3
Conférencier : Claude MAURIN
Professeur à l’IUFM d’Aix-Marseille sur le site
d’Avignon
Membre de la COPIRELEM
Membre de l’équipe d’auteurs de la collection
« Pour Comprendre Les Maths » (PCLM)
Editée par HACHETTE
PLAN DE LA CONFERENCE
Introduction
1) Quelques précisions théoriques.
2) Les principales étapes d’une progression sur une grandeur.
3) Le chapitre « Grandeurs et mesures » dans les programmes de
2008
4) Etude des différentes grandeurs au programme :
A) La taille d’une collection
B) La longueur
C) La masse
D) La Contenance
E) Les durées
F) Les aires
G) Les angles
5) Les grandeurs dans la collection PCLM
INTRODUCTION
A la suite de la publication des résultats de PISA 2009 Extrait du monde de l’éducation (dec 2010) :
…« Près de la moitié des élèves se
montrent incapables de mener un
raisonnement et de manipuler les notions
de durée, de longueur et de volume.
15% semblent ne pas avoir tiré bénéfice
des enseignements du collège… »
Rôle fondateur des grandeurs mesurables
Citation extraite de la conférence prononcée par Catherine
HOUDEMENT, Maître de conférence en didactique des
mathématiques, lors des journées académiques de l’IREM de
LILLE le 26 janvier 2006 :
« L’apprentissage des grandeurs joue un rôle important dans
les mathématiques que ce soit pour le développement du
raisonnement, le renforcement de l’esprit critique ou
l’épanouissement de la vie citoyenne.
Il construit un chemin entre les insuffisances du perceptif,
l’intérêt des instruments de mesure (qu’il est nécessaire
d’apprendre à utiliser) et la puissance du raisonnement (dont
le calcul).
Il prépare un terrain d’expérience pour d’autres concepts
mathématiques : nombres non entiers, preuves géométriques.
C’est un domaine prétexte à l’interdisciplinarité, un
croisement des sciences, de l’histoire, de la géographie. »
Les grandeurs mesurables : un tremplin vers les
mathématiques.
Les mathématiques se caractérisent par leur fonction
d’anticipation sur le réel qu’elles cherchent à modéliser pour
mieux pouvoir le prévoir.
Dans cette recherche, lors de certaines expériences concrètes,
les grandeurs apparaissent comme un des aspects essentiels
des objets impliqués dans l’expérience. Apprendre à les
identifier, à les comparer, à les mesurer, permet d’avancer vers
une représentation du monde dans laquelle les mathématiques
vont pouvoir s’appliquer et permettre la prévision, puis la
décision.
Quelques questions « naïves » :
 Une grandeur est-ce concret ou abstrait ?
 Comment distinguer le monde des objets et
celui des grandeurs ?
 Comment distinguer une grandeur et sa
mesure ?
• Ne pas confondre l’objet qui est le support
de plusieurs grandeurs et la grandeur
qu’on étudie. La grandeur est abstraite !
• Ne pas confondre une grandeur et sa
mesure qui est un nombre.
• Toutes les mesures sont des nombres qui
« masquent » les grandeurs qu’ils sont
censés représenter
Exemples de confusion entre mesure et
grandeur :
Au cycle 2 : De nombreux enfants sont capables
de déclarer que : « 15 cm c’est plus que 3 m
parce que 15 c’est plus que 3 »
Au cycle 3 : On a découvert que l’introduction
des décimaux à partir des conversions décimales
du système métrique avait provoqué des
confusions profondes dans la conception d’un
nombre décimal : De la conversion : 1254 m =
1,254 km les enfants déduisaient que
1254 = 1,254 !
Que faut-il retenir de ces remarques ?
Que les enseignants doivent se méfier de
l’effet « Canada Dry » !
Les élèves peuvent nous laisser penser
qu’ils maîtrisent une notion alors qu’ils ne
donnent pas du tout la même signification
que nous aux symboles qu’ils semblent
pourtant manipuler correctement.
Quel remède ?
• Le seul chemin possible est celui de la
construction du sens.
• Nos élèves sont tous intelligents, si nous
leur donnons l’occasion de construire un
parcours cohérent, sans en précipiter les
étapes, ils y adhèrent, se l’approprient et
deviennent autonomes.
1. QUELQUES PRECISIONS THEORIQUES.
Objet physique
Grandeur
Mesure associée
à une unité
Segment, baguette,
corde
Objet pesant
Longueur
Nombre
Masse
Nombre
Récipient
Contenance
Nombre
Surface
Aire
Nombre
Moment
Durée
Nombre
Extrait d’une communication de Viviane DURANDGUERRIER Maître de conférence en didactique des
mathématiques, au colloque national de la COPIRELEM de
DOURDAN en 2006 :
« La notion de grandeur est liée à la mise en place d’un
protocole expérimental qui permet des comparaisons
lorsque les contrôles sensoriels, en particulier perceptifs ne
suffisent pas. Ce protocole doit être en accord avec les
résultats obtenus par le contrôle sensoriel lorsque celui-ci
fournit des informations non ambiguës. De ce fait, la
première rencontre avec la notion de grandeur passe par la
manipulation d’objets sensibles et l’élaboration de
protocoles permettant les comparaisons, directes ou
indirectes. »
• La même idée est explicitée dans les documents
d’accompagnement des programmes de 2002, dans le
paragraphe intitulé : « Les grandeurs avant leur
mesure » :
« Les premières activités visent à construire chez les
élèves le sens de la grandeur indépendamment de la
mesure et avant que celle-ci n’intervienne.
Le concept s’acquiert progressivement en résolvant des
problèmes de comparaison, posés à partir de
situations vécues par les élèves, suivi de moment
d’institutionnalisation par le maître ».
Quelques remarques à retenir :
 Le caractère fondateur du protocole
expérimental de comparaison dans la
conceptualisation d’une grandeur par les
élèves.
 La construction de la grandeur-somme,
essentielle pour atteindre la mesure, nécessite
la mise au point d’un protocole précis qu’il ne
faut pas négliger avant d’aborder la mesure.
 La mesure d’une grandeur a pour but de remplacer
les manipulations sur les objets par des opérations sur
des nombres (comparaison, addition, rapport…), elle
reste donc un objectif essentiel de notre
enseignement.
Mais lorsqu’elle est abordée trop tôt ou trop rapidement,
elle s’érige en obstacle à la perception de la grandeur
qu’elle est censée représenter.
 Le protocole expérimental de comparaison des objets
permet de définir l’égalité et une relation d’ordre sur
une grandeur.
L’utilisation d’un objet de référence pris comme
étalon permet d’initier le processus de mesurage
grâce à la notion de grandeur-somme puis de produit
par un nombre, mais certains élèves confondent
repérage et mesurage
• Le repérage consiste à associer un nombre à une
grandeur de telle sorte que cette correspondance
conserve l’ordre et l’égalité, alors que la mesure
nécessite.
• La mesure implique une condition supplémentaire
qui est l’additivité.
2.Les principales étapes que devrait respecter
une progression sur une grandeur :
I) Construction de la grandeur
A. Comparaison directe et protocole de
comparaison
B. Comparaison indirecte
C. Grandeur-somme et rapport entre deux
grandeurs
II) Mesure
A. Etalon ou unité locale
B. Les unités de référence. Conversions.
I) Construction de la grandeur
A) Comparaison directe et protocole de comparaison
Faire émerger la grandeur à partir d’objets divers en
définissant avec précision le protocole
expérimental de comparaison directe de ces
objets selon la grandeur choisie.
C’est au cours de cette étape que les élèves
commencent à conceptualiser la grandeur.
• B) Comparaisons indirectes :
Comparer les grandeurs d’objets éloignés
dans le temps ou dans l’espace amène à
procéder à des comparaisons indirectes
faisant intervenir un objet intermédiaire.
L’utilisation d’un objet intermédiaire transportable permet de
comprendre qu’on peut déplacer la grandeur sans forcément
déplacer l’objet qui la porte. Cette étape fait aussi intervenir la
transitivité de la relation d’ordre.
C) Grandeur-somme et rapport entre deux
valeurs d’une même grandeur:
Construire une grandeur-somme :
- Comment construire un segment dont la
longueur est la somme des longueurs de deux
autres segments ? (nouveau protocole)
Etablir un rapport entre deux valeurs d’une
même grandeur (combien de fois plus ?)
- « Ma règle est cinq fois plus longue que ma
gomme.»
• II) Le mesurage.
•
A) Etalon et unité locale :Un objet va être choisi
arbitrairement comme étalon, le rapport qu’entretient
sa grandeur (qui devient une unité locale) avec celles
de différents autres objets devient la mesure de la
grandeur de ces objets.
C’est un moyen de reproduire des objets de même
grandeur, de fabriquer des grandeurs-sommes ou de
multiplier une grandeur par un entier. Les opérations
sur les objets sont remplacées par les opérations
sur les nombres.
• B) Les unités de référence : Comprendre que pour des
besoins de communication une unité de référence
doit être choisie. L’histoire du système métrique peut
opportunément être évoquée.
On s’efforcera d’associer les unités de référence à des
objets familiers ou à des parties du corps qui seront,
au début, la référence de l’enfant.
On découvre aussi la nécessité d’adapter l’unité de
mesure à la grandeur à mesurer ( Voir PCLM).
Des conversions peuvent devenir nécessaires.
La construction et l’utilisation d’instruments de
mesure, la nécessité d’utiliser des sous-unités, entrent
aussi dans cette dernière étape accompagnant les
calculs.
• Cette dernière étape occupe souvent 95%
du temps consacré à l’étude d’une
grandeur au détriment du peu de temps
consacré à sa construction conceptuelle.
• Il faut oser réparer cette erreur !
• 3. Le chapitre « Grandeurs et mesures »
dans les programmes de 2008 :
• Au cycle 2 : « Les élèves apprennent et
comparent les unités usuelles de longueur (m
et cm ; km et m), de masse (kg et g), de
contenance (le litre) et de temps (heure, demiheure), la monnaie (euro, centime d’euro). Ils
commencent à résoudre des problèmes portant
sur des longueurs, des masses, des durées ou
des prix. »
• Au cycle 3 : « Les longueurs, les masses, les volumes :
mesure, estimation, unités légales du système métrique, calcul
sur les grandeurs, conversions, périmètre d’un polygone,
formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur
du cercle, du volume du pavé droit.
• Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités
usuelles, conversions ; formule de l’aire d’un rectangle et d’un
triangle.
• Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de
l’équerre ; angle droit, aigu, obtus.
• Le repérage du temps : lecture de l’heure et du calendrier.
• Les durées : unités de mesure des durées, calcul de la durée
écoulée entre deux instants donnés.
• La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les
connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur
mesure, et à leur donner du sens. A cette occasion des
estimations de mesure peuvent être fournies puis validées. »
4. ETUDE DES DIFFERENTES GRANDEURS
A. Un exemple naïf : la « taille » d’une collection finie
(GS/CP) :
Les objets que l’on considère sont les collections finies
d’objets distincts.
La grandeur mise en jeu est la « taille » de la collection.
Le protocole expérimental de comparaison est la
correspondance terme à terme.
Le mesurage est la technique du dénombrement.
La mesure de la collection est le cardinal de la collection
Certaines opérations sur les collections seront traduites par des
opérations arithmétiques sur leur cardinal.
B. La Longueur
C’est une « grandeur première ». Il faut donc en profiter pour
bien initialiser le processus.
Le vocabulaire qui lui est associé est assez large :
Hauteur, altitude, largeur, épaisseur, taille d’un enfant….
- Le protocole de comparaison doit être étendu aux objets non
rectilignes.
- La construction de longueurs sommes de plusieurs longueurs
doit être abordé avant la mesure.
- Le rapport entre deux longueurs, puis le choix d’une
longueur de référence permet de construire une règle graduée.
Sa construction permet de mieux en comprendre le
fonctionnement et d’éviter d’en faire un instrument de
repérage.
• L’introduction de la première unité de référence est laissée au
choix de l’enseignant : centimètre ou mètre. Il est souhaitable
que chaque unité soit mise en rapport avec une partie du corps
de l’enfant : le mètre est la longueur d’un « pas de géant » », le
centimètre est à peu près la largeur d’un doigt d’enfant.
• Les élèves devront assez vite comprendre que le choix de
l’unité dépend de la longueur à mesurer : la longueur de la
cour ou celle de la trousse ne se mesurent pas avec la même
unité. La combinaison des deux unités peut s’avérer pertinente.
• Des conversions peuvent devenir nécessaires mais il faut que
les élèves en comprennent la nécessité : elle permettent de
comparer des longueurs en comparant leurs mesures ou bien
d’additionner des longueurs en additionnant leurs mesures.
La longueur est une « grandeur-mère » : elle est la plus facile
à graduer, ce qui permet de l’utiliser dans la plupart des
instruments de mesure servant à mesurer d’autres grandeurs
plus complexes : masse, contenance, durée…
Elle est aussi la grandeur de base dans les calculs d’aire ou de
volume, ce qui en fait une grandeur de base dans le système
métrique.
Dans certains problèmes, les segments de droite et leur
longueur servent à schématiser d’autres grandeurs.
Au cycle 3 les élèves devront aussi apprendre à se libérer des
mesures effectives de longueurs pour apprendre à lire des
schémas à main levée ou des schémas côtés.
• Exercice donné dans une évaluation nationale
de 6° :
Enoncé : Ceci est un schéma à main levée.
ABCD est un rectangle, sa longueur est 6 cm,
sa largeur est 4 cm. A est le centre du cercle
qui passe par B. Le cercle coupe le côté AD au
point E.
Quelle est la longueur du segment DE ?
Réponses relevées :
A) DE = 3 cm
E
A
B) DE = 2 cm 3mm
D
4 cm
C) DE = 2 cm
B
6 cm
C
Comment les interpréter ?
C. La masse
- A l’école on acceptera de confondre la masse et le poids.
- Il faut aider les élèves à ne pas confondre masse et volume.
- Le premier protocole expérimental de comparaison des objets
selon leur masse va s’appuyer sur l’action de soupeser les
objets. Celui-ci se révélant rapidement incertain, on introduit
la balance de Roberval pour lever les doutes sans omettre
d’établir le lien entre le fonctionnement de la balance et les
sensations kinesthésiques perçues lors de la comparaison de
deux objets de masses très différentes.
La brochure « Grandeurs et Mesures au cycle 3 » éditée par
l’IREM de LILLE propose la construction d’une balance
porte-manteau.
• Des comparaisons indirectes utilisant un fluide facile à doser
(sable par exemple) permettront de comparer les masses
d’objets distants dans le temps ou dans l’espace et aideront les
élèves à distinguer la masse de la forme de l’objet qui la porte.
• Elles favoriseront aussi un travail sur la transitivité, qui est une
propriété fondamentale des raisonnements logiques, lorsqu’il
faudra effectuer des rangements d’objets selon leur masse à
l’aide d’une balance de Roberval.
• Le mesurage avec une masse de référence arbitraire (unité
locale) comme par exemple des billes de terre censées avoir
toutes la même masse, permet de faire des comparaisons et de
s’approprier l’idée de mesure à l’aide de la balance de
Roberval.
• La pesée à l’aide de masses marquées devrait précéder les
pesées avec une balance graduée ou à affichage digital,
même si le rapport entre ces deux types de mesures doit être
établi.
La définition du kilogramme comme masse-unité de
référence sera mise en rapport avec la masse d’une
bouteille contenant un litre d’eau. Le rapport entre le
gramme et le Kilogramme ne devra pas se limiter à :
1 Kg = 1000 g , il faut aussi que les élèves soient
capables de prévoir quels sont les objets dont la
masse se mesure en grammes et ceux dont la masse
se mesure plutôt en kilo (I) (Voir PCLM)
• Au cycle 3, un travail expérimental sur l’égalité des
moments d’une force par rapport à un point fixe
pourra permettre de comprendre le fonctionnement
d’une balance romaine.
La brochure « Grandeurs et Mesures au cycle 3 » éditée par
l’IREM de LILLE propose la construction d’un pèse-cheveu
qui permet de développer un travail intéressant au cycle 3.
• En règle générale les conversions de longueurs ou de masses
devraient être reliées à des situations de proportionnalité et
s’appuyer aussi bien sur le coefficient de proportionnalité :
« une mesure en grammes est 1000 fois plus grande que la
mesure de la même masse en kilo. »
que sur les propriétés de conservation des rapports entre deux
mesures de masses dans la même unité :
« Une masse qui pèse 3 Kg est trois fois plus lourde qu’une
masse de 1 Kg, une masse de 1 Kg pèse 1000 g, donc une
masse de 3 Kg pèse trois fois plus : 3000 g. »
Il s’agit des propriétés associées à la linéarité multiplicative
encore appelées conservation des rapports scalaires.
D. La contenance
- Le protocole expérimental de comparaison des contenances
de deux récipients est fondé sur le transvasement.
- Le travail expérimental de rangement de plusieurs récipients
selon leur contenance est encore une bonne occasion de faire
intervenir la transitivité.
- Les verres-doseurs utilisés dans les recettes font apparaître
un risque de confusion entre masse et volume (ou contenance),
il n’est donc pas inutile de faire remarquer qu’un même
récipient n’a pas la même masse selon qu’il est rempli de
farine, de sucre ou d’eau.
La contenance ne se distingue du volume intérieur d’un
récipient que par le choix des unités : pour la contenance le
litre et ses multiples et sous-multiples sont construits sur la
base dix, pour le volume les unités déduites des unités de
longueur vont de mille en mille : 1m3 = (10 dm) 3 = 1000 dm3
E. Repères chronologiques et Durée :
- Les repères chronologiques : La première perception est
celle du temps qui passe, notre vie s’inscrit dans l’écoulement
chronologique du temps. Les « dates » ou les « instants » sont
des repères qui s’ordonnent de façon naturelle en fonction de
leur ordre d’apparition.
Les « dates » ne sont pas des grandeurs mesurables.
La lecture de l’heure est un repère chronologique, elle entre
dans la catégorie des « dates ». Les mots « heure », « demi »
ou « minutes » que prononcent les élèves en disant l’heure,
n’expriment pas encore pour eux des durées, ils permettent
seulement de mieux repérer la position de certains moments
dans le déroulement d’une journée.
Le temps est d’abord perçu comme linéaire avant d’être perçu
comme cyclique (alternance jour/nuit, semaine, années…).
Cette dernière perception est avant tout sociale.
• Quelques repères réalistes :
- Tous les enfants devraient parvenir à bien se repérer
dans le déroulement d’une journée de classe en fin de
maternelle (GS).
- Ils parviennent à se repérer correctement dans une
semaine en fin de CP ou de cycle 2.
- Ils doivent savoir lire l’heure en début de cycle 3
- Le repérage sur l’année prenant appui sur un
calendrier n’est effectif qu’au cours du cycle 3 même
si on commence à l’aborder au cycle 2.
• Le vocabulaire employé dans le langage courant
n’aide guère les enfants à distinguer les notions de
repères chronologiques et celle de durée :
« Il est 10 heures, j’ai dormi 10 heures »
« Il y a dix ans j’avais trente ans »
• La durée ne doit pas être confondue avec le repérage
chronologique. C’est une grandeur mesurable qui
mérite d’être construite pas à pas, mais sa
construction est particulièrement délicate et semble
difficile avant le cycle 3.
Elle est souvent représentée par la longueur d’un
segment, les extrémités du segment se plaçant sur
l’axe du temps qui passe.
temps qui passe
8h
8 h 40
9h
9 h 20
Le temps vécu n’est pas perçu comme uniforme..
Ceci doit être ouvertement abordé avec les enfants
10 h
• Le protocole expérimental permettant de comparaison directe
des durées de deux moments nécessite que les deux moments
débutent au même instant (simultanéité). Quand ce n’est pas le
cas, on peut « emprisonner » la durée du premier moment
dans un sablier pour pouvoir la comparer à celle du second
moment (comparaison indirecte).
• La durée d’un sablier peut aussi être utilisée comme durée de
référence et permettre d’établir les premières mesures de
durées : « La récréation du matin a duré 8 sabliers, celle de
l’après-midi a duré 9 sabliers, elle est donc plus longue ».
• Ce genre de travail amène les élèves à mieux comprendre ce
qu’est une mesure de durée et à distinguer durée et repères
chronologiques.
• La seconde est l’unité légale de mesure des durées.
Elle est souvent associée au temps séparant deux motsnombres successifs de la comptine numérique. Pour ne pas que
la récitation soit trop rapide il vaut mieux énoncer un mot bref
entre chaque mot nombre : 1 « toc », 2 « toc », 3 « toc »…
La minute va apparaître comme un groupement de 60
secondes facilitant la mesure des durées dont la mesure en
secondes devient trop importante. On va constater que le
chronomètre utilisé en EPS mesure les durées en minutes et
secondes.
L’heure n’apparaît que pour les durées longues comme un
moyen d’exprimer une durée de 60 minutes.
Quand les élèves ont assimilé ces différentes relations la
connexion avec la lecture de l’heure peut être faite et les
calculs de durées peuvent prendre du sens. Cela ne peut
fonctionner efficacement qu’en fin de cycle 3.
• F. L’aire
• L’aire est une grandeur mesurable associée à l’objet
« surface ».
• Elle ne possède guère de synonymes fidèles, on la compare
souvent à l’étendue d’une surface ou à la place qu’occupe une
surface, or cela est souvent associé par les élèves à
« l’encombrement » : un rectangle de 10 cm de long sur 4 cm
de large sera souvent considéré comme plus « étendu » qu’un
carré de 7 cm de côté alors que son aire est inférieure à celle
du carré.
• C’est le protocole expérimental de comparaison des surfaces
qui va le mieux permettre aux élèves de comprendre ce qu’est
l’aire d’une surface. Ce protocole n’est pas simple !
Le cas de comparaison directe le plus simple est celui où l’une
des deux surfaces (A) est entièrement contenue dans l’autre
surface (B), on déclare alors que l’aire de A est inférieure à
l’aire de B.
B
A
A
Les choses se compliquent quand l’une des deux surfaces
dépasse le contour de l’autre sans la recouvrir entièrement.
B
A
A
Il faut alors procéder à des découpages pour comparer la
partie de A qui dépasse de B à la partie de B qui dépasse de
A.
En réitérant éventuellement plusieurs fois l’opération.
• Ce n’est que lorsqu’on parvient à une exacte
superposition sans chevauchement des différentes
parties de A avec les différentes parties de B qu’on
peut affirmer que l’aire de A est égale à l’aire de B.
• Si toutes les parties de A finissent par être
entièrement contenues dans les parties de B alors
l’aire de A est déclarée inférieure à l’aire de B.
• Pour faciliter la compréhension de ce procédé
complexe, on utilise généralement des parties
polygonales de forme simple nourrissant entre elles
d’évidentes relations de complémentarité. Exemple :
Les trois formes
fabriquées à partir des
deux triangles jumeaux
ont nécessairement la
même aire.
Les pièces du Tangram
se prêtent
particulièrement bien à
ce travail de
décomposition/
recomposition de
formes de même aire.
Elles peuvent aussi
permettre d’établir des
rapports entre leurs aires
qui préfigurent la
mesure des aires.
• Avant d’adopter les unités déduites du système
métrique pour mesurer certaines aires (mètre
carré : m² ; décimètre carré : dm² ; centimètre
carré : cm²) il est recommandé d’insister sur le
fait que chacune de ces unités est une aire qui
ne dépend pas de la forme qu’on lui donne,
cette forme n’étant pas nécessairement carrée !
• Voici par exemple trois surfaces de forme différentes
représentant chacune une aire d’un décimètre-carré.
1 dm²
1 dm²
1 dm²
• Un autre écueil que rencontrent les élèves au cycle 3 est de
considérer qu’une même surface étant porteuse de deux
grandeurs géométriques différentes : son périmètre qui est
une longueur, et son aire ; ces deux grandeurs varient
forcément de la même façon. Si l’une augmente, l’autre aussi.
• Or cette idée est fausse et il est souhaitable de le faire réaliser
aux élèves
:
A
B
L’aire de A est supérieure à l’aire de B car on a enlevé une partie de A
pour fabriquer B.
Par contre le périmètre de A est inférieur au périmètre de B car un
segment de droite est le plus court chemin pour rejoindre deux points.
• L’aire est une grandeur mesurable, mais il n’existe
aucun instrument pour la mesurer, il faut la calculer,
ce qui n’est pas toujours facile.
• La première « formule de calcul d’aire » est celle du
rectangle. Dans cette formule les élèves découvrent
qu’on peut multiplier des longueurs par des longueurs
pour obtenir une aire. C’est un aspect de la
multiplication qui entre en rupture complète avec la
multiplication conçue comme addition réitérée. C’est
l’aspect « produit de mesure ».
• Exemple :
Un rectangle qui a pour
longueur 5 côtés de carreau
et pour largeur 3 côtés de
carreau, a une aire égale à
l’aire de 15 carreaux.
Dans cette étape il ne faut pas confondre le côté du
carreau qui est une unité de longueur avec le carreau
dont l’aire devient l’unité d’aire, c’est ce qui permettra
aux élèves de comprendre que 5 m  3 m = 15 m² et non
pas 15 m.
Un abus de langage du maître peut entraîner des
confusions lourdes de conséquences chez les élèves.
• Depuis les programmes de 2008, on étudie aussi au cycle 3
l’aire du triangle que l’on déduit de celle du rectangle. Cela
peut se justifier par le fait que tout polygone étant triangulable,
si on connaît un moyen de calculer l’aire d’un triangle, on peut
arriver à calculer l’aire de n’importe quel polygone.
• Toutefois il ne faut pas tomber dans l’inflation de formules car
au cycle 3 un élève doit d’abord penser à décomposer et
recomposer une aire avant de penser la calculer. Exemple :
Quelle est l’aire de cette figure ?
La même que
celle de la
figure ci-contre
que je sais
calculer !
G. Les angles
Le support de la grandeur « angle » est le couple de demidroites de même origine. Chaque couple de demi-droites est
associé à deux régions du plan : un secteur angulaire saillant et
un secteur angulaire rentrant. Généralement c’est le secteur
saillant qui est pris en compte. L’introduction souvent trop
rapide du mot « angle » ne facilite pas sa compréhension.
x
O
y
• Les élèves de cycle 3 confondent angle et longueur des côtés
du secteur angulaire, ou bien angle et surface comprise entre
les côtés d’un triangle qu’ils ferment par un troisième côté
imaginaire.
Pour éviter ces confusions il faut clarifier le protocole
expérimental de comparaison qui fait appel au papier
calque : si les sommets et les deux côtés du secteur angulaire
coïncident au moins partiellement on déclare que les deux
angles sont égaux.
• On vérifie avec un calque que ces deux angles sont égaux.
A
S
• La mesure des angles n’est pas au programme du
cycle 3 et c’est une bonne chose car cela permet aux
élèves de mieux s’approprier la grandeur angle avant
d’apprendre à la mesurer au collège.
• En comparant différents angles à un angle droit on
aboutit à la différence entre angles aigus et angles
obtus.
• Toutefois il est souhaitable d’aborder la construction
de la somme de deux angles en faisant coïncider leur
sommet, un de leur côté et en plaçant les autres côtés
de part et d’autre de leur côté commun.
• Il n’est pas interdit alors de constater que les trois
angles d’un triangle ont pour somme un angle plat
quelle que soit la forme du triangle, ou que les trois
angles d’un triangle équilatéral sont égaux et
représentent donc chacun un tiers d’angle plat.
• La comparaison des angles de certains polygones
nécessitera fréquemment de prolonger les côtés du
polygone au-delà de leur longueur initiale, c’est un
geste auquel il ne faut pas hésiter à habituer les élèves
de CM2 afin qu’ils se libèrent de la relation entre
valeur de l’angle et longueur des côtés.
5.Grandeurs et Mesures dans la collection PCLM ( « Pour
comprendre les maths » de Hachette)
Au cycle 2 :
Sommaire du fichier de CP :
Leçon 25 : Ranger du plus petit au plus grand.
Leçon 34 : Utiliser la monnaie. Procédures personnelles.
Leçon 45 : Utiliser la monnaie. Vers une procédure experte.
Leçon 48 : Se repérer dans le temps.
Leçon 65 : Comparer des longueurs (1)
Leçon 79 : Comparer des longueurs (2)
Leçon 93 : Compter avec la monnaie
Leçon 94 : L’heure (1).
Leçon 99 : Les jours et les mois de l’année.
Leçon 104 : Mesurer une longueur par report d’unité.
Leçon 117 : Utiliser la règle graduée.
Leçon 124 : L’heure (2)
Leçon 133 : Plus lourd, plus léger.
Leçon 134 : Utiliser la règle graduée.
Leçon 139 : Vers le CE1. Se repérer dans le mois.
Soit 15 leçons consacrées au thème « Grandeurs et mesures »
sur l’année de CP
Sommaire du fichier de CE1
Leçon 30 : Mesure des longueurs (1)
Leçon 54 : Mesure des longueurs (2)
Leçon 64 : Le calendrier (1)
Leçon 78 : L’heure (1)
Leçon 79 : L’heure (2)
Leçon 82 : Mesure des longueurs (3)
Leçon 83 : Mesure des longueurs (4)
Leçon 99 : Jour, heure et minute
Leçon 106 : Le calendrier (2)
Leçon 112 : Mesure des longueurs (5)
Leçon 113 : Mesure des longueurs (6)
Leçon 122 : Comparaison des masses.
Leçon 123 : Mesure des masses :g et kg.
Leçon 125 : Mesure des contenances : Le litre.
Leçon 133 : Le calendrier (3)
Soit à nouveau 15 leçons consacrées au thème « Grandeurs et
Mesures » au CE1.
Au cycle 3 :
Sommaire du fichier de CE2 :
Leçon 3 : Comparer des longueurs.
Leçon 14 : Mesurer des longueurs avec la règle graduée.
Leçon 15 : La monnaie.
Leçon 29 : Unités de longueur (1)
Leçon 48 : Unités de longueur (2)
Leçon 49 : Lire l’heure (1)
Leçon 59 : Ajouter ou retrancher des longueurs.
Leçon 93 : Périmètre d’un polygone.
Leçon 68 : Lire l’heure (2)
Leçon 72 : Unités de temps.
Leçon 76 : Mesurer une masse.
Leçon 80 : Le calendrier.
Leçon 91 : Unités de masse.
Leçon 95 : Construire et utiliser un calendrier.
Leçon 98 : Mesurer une contenance.
Leçon 101 : Utiliser des instruments de mesure.
Sommaire du fichier de CM1 :
Leçon 7 : Du mètre au millimètre.
Leçon 9 : Lire l’heure.
Leçon 23 : Calcul de durées (1)
Leçon 27 : Du mètre au kilomètre.
Leçon 33 : Calcul de durées (2).
Leçon 37 : Le calendrier.
Leçon 47 : Les masses.
Leçon 48 : Les angles.
Leçon 52 : Les aires : comparaison
Leçon 56 : Mesure des aires.
Leçon 60 : Aire et périmètre.
Leçon 68 : Contenances.
Leçon 83 : Unités de mesure et système décimal.
Leçon 86 : Périmètre du carré et du rectangle.
Sommaire du fichier de CM2 :
Leçon 10 : Mesure des longueurs (1)
Leçon 24 : Mesure des aires : unité arbitraire.
Leçon 38 : Mesurer des aires : encadrement.
Leçon 44 : Comparer et tracer des angles.
Leçon 47 : Périmètre du carré et du rectangle.
Leçon 48 : Mesure des longueurs (2).
Leçon 49 : Aire et périmètre.
Leçon 53 : Mesure des masses.
Leçon 59 : Angles et triangles particuliers.
Leçon 60 : Périmètre du disque.
Leçon 62 : Calcul des durées.
Leçon 64 : Mesure des aires : unités usuelles.
Leçon 65 : Aire du triangle.
Leçon 71 : Mesure des contenances.
Leçon 75 : Sport et mathématiques
Leçon 80 : Vers la sixième : Volume du pavé droit.
Conclusion
Les grandeurs mesurables ne sont pas aussi évidentes à
percevoir au travers des objets qui les portent qu’un adulte
instruit peut le penser.
Le protocole expérimental de comparaison des objets
relativement à une grandeur donnée est ce qui permet le mieux
aux élèves de concevoir la grandeur mise en jeu, il ne faut
donc pas le négliger.
La mesure d’une grandeur ne doit pas être présentée de façon
trop précoce sous peine de masquer la grandeur qu’elle est
censée représenter.
L’apprentissage s’étalant toujours dans la durée, il faut offrir
plusieurs occasions aux élèves de revenir sur les notions
abordées comme la collection PCLM s’efforce de le faire.
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• FABRIQUER UN MILLIGRAMME : Quand on utilise du
papier pour photocopieuse de format A4 de 80 g cela signifie
qu’un mètre carré de ce papier pèse 80 g.
Or une feuille de format A0 a une aire de 1 m², elle pèse donc
80 g
Le format normalisé vérifie la propriété qu’en pliant une
feuille de format An en deux suivant un pli parallèle à sa
largeur, on obtient deux feuilles de format An+1
A0 = 2 A1 = 4A2 = 8A3 = 16A4
On en déduit qu’une feuille de format A4 pèse 5 g Retour
Ses dimensions étant 21 cm sur 29,7 cm, il devient possible de
la diviser en 5, puis en 10, puis en 100
42 mm  297 mm pèse 1 g
42 mm  29,7 mm pèse 1dg
42 mm  2,97 mm pèse 1cg 4,2 mm  2,97 mm pèse 1 mg