Transcript 數學處處聞 數學海報－應用和遊戲

「拈」：歷史
據說，「拈」遊戲源自中國，經由被販賣到美洲的奴工外傳。所以這個
小遊戲先在工人間流行，他們就地取材撿小石子來玩。後來流傳到上流
人士，改以銅板在酒吧櫃檯上玩。最有名的玩法是將十二枚銅板分三列
排成「三、四、五」的遊戲，如下圖：
「拈」：玩法
「拈」是二人對奕的遊戲。
對奕時，先擺出數行(橫行)任意數量的棋子。對奕者須交替地每次選取任
意一行，並於該行中拈走(取走)最少一只棋子，但不能同時取兩行的棋子。
能拈走最後的一只棋子者勝。
玩法：
拈走三行三子
「拈」：玩法
取勝：
拈走
二行
二子
對奕
犯規：
拈走一行二子及
三行三子
「拈」：玩法
例子：
「拈」活動
時間：５分鐘
「拈」：相關理論
Theorem：
In any finite two-person game of perfect information in which the players
move alternately and in which chance does not affect the decisionmaking
process, either
（a）one of the two plays must have a winning strategy
or
（b）the game is a theoretical draw (both players must have drawing
strategies).
「拈」：取勝策略（一）
甲若欲取勝，就得避免將某一列完全取光，否則對方可全取剩下的一列，
而拿到最後一枚棋子。
若甲留下兩列枚數相同的棋子給對方，必可獲勝。如下圖：
甲取
．．．
．．．
甲勝
．．．
甲勝
．．．
甲勝
．．．
甲勝
甲取
．．．
甲取
．．．
甲取
．．．
「拈」：取勝策略（一）
若甲欲贏得勝利，就必需避免在留下的三列棋子中，有兩列的棋子數相
同。如下圖：
甲取
乙取
．．．
甲取
乙勝
乙取
．．．
甲取
．．．
乙勝
乙取
乙勝
「拈」：取勝策略（一）
甲取完之後，若三列的棋子數分別剩下1, 2, 3，則甲勝。如下圖：
甲取
乙取
甲取
．．．
甲取
甲勝
乙取
甲取
．．．
甲取
．．．
甲勝
乙取
甲取
甲勝
「拈」：取勝策略（一）
甲取
乙取
甲取
．．．
甲取
甲勝
乙取
甲取
．．．
甲取
．．．
甲勝
乙取
甲取
甲勝
「拈」：取勝策略（一）
開始時，若甲在第一列取二枚，則一定可取得勝利。如下圖：
甲取
乙取
甲取
甲取
乙取
甲取
甲取
乙取
甲取
「拈」：取勝策略（一）
甲取
乙取
甲取
甲取
乙取
甲取
甲取
乙取
甲取
「拈」：取勝策略（一）
甲取
乙取
甲取
甲取
乙取
甲取
甲取
乙取
甲取
「拈」：取勝策略（一）
甲取
乙取
甲取
「拈」：取勝策略（二）
在上世紀初，哈佛大學數學系副教授查理士．理昂納德．包頓 (Chales
Leonard Bouton) 提出一篇極詳盡的分析和證明，利用數的二進位表示法，
解答了這個遊戲的一般法則。
將開局時的情況列表，以二進數來表示棋子數量，並計算各列（直行）
的總和，但不進位，然後再看各個位數。
例子：
棋子數量
二進數
第一行
4
1
0
0
第二行
2
0
1
0
第三行
3
0
1
1
1
2
1
列的總和（不進位）
觀察各位值
「拈」：取勝策略（二）
用列的總和的奇偶性將棋局作分類，若所得各列的總和全是偶數，則稱為
「好局」／「安全殘局」，否則稱為「壞局」 ／「不安全殘局」 。
「好局」：
棋子數量
二進數
棋子數量
二進數
第一行
5
1
0
1
第一行
6
1
1
0
第二行
1
0
0
1
第二行
5
1
0
1
第三行
4
1
0
0
第三行
3
0
1
1
2
0
2
列的總和（不進位）
2
2
2
列的總和（不進位）
全是偶數
「拈」：取勝策略（二）
「壞局」：
棋子數量
二進數
棋子數量
二進數
第一行
5
1
0
1
第一行
3
0
1
1
第二行
2
0
1
0
第二行
3
0
1
1
第三行
4
1
0
0
第三行
5
1
0
1
2
1
1
列的總和（不進位）
1
2
3
列的總和（不進位）
不全是偶數
「拈」：取勝策略（二）
「壞局」
「好局」
棋子數量
棋子數量
二進數
第一行
1
0
0
1
第二行
4
1
0
0
1
第三行
5
1
0
1
2
列的總和（不進位）
2
0
2
第一行
3
0
1
1
第二行
4
1
0
0
第三行
5
1
0
2
1
列的總和（不進位）
「好局」
二進數
拈走一行二子
「壞局」
棋子數量
棋子數量
二進數
第一行
0
0
0
0
第二行
4
1
0
0
1
第三行
5
1
0
1
2
列的總和（不進位）
2
0
1
第一行
1
0
0
1
第二行
4
1
0
0
第三行
5
1
0
2
0
列的總和（不進位）
二進數
拈走一行一子
「拈」：取勝策略（二）
「壞局」
「壞局」
棋子數量
棋子數量
二進數
第一行
3
0
1
1
第二行
2
0
1
0
1
第三行
5
1
0
1
2
列的總和（不進位）
1
2
2
第一行
3
0
1
1
第二行
4
1
0
0
第三行
5
1
0
2
1
列的總和（不進位）
「好局」
拈走二行二子
「好局」
棋子數量
二進數
第一行
1
0
0
1
第二行
4
1
0
0
第三行
5
1
0
1
2
0
2
列的總和（不進位）
二進數

「好局」
「拈」：取勝策略（二）
每次拈走棋子之後，剩下的棋局不是「好局」就是「壞局」。
在所有「好局」的情況下，不管對方如何拈走棋子，剩下的棋局總是「壞
局」，你可以再拈走適當的棋子達到「好局」的情況，這樣一直到拿光棋
子為止，也就是說你必勝了。
「好局」
「壞局」
「好局」
「壞局」
「好局」
反之，你如果留下「壞局」的情況，對方必有方法在適當的某一列，取走
適當枚數的棋子，達到「好局」的情況，也就是說你輸定了。
「拈」：取勝策略（二）
「好局」
甲取
「壞局」
乙取
「好局」
甲取
．．．
棋子數量
二進數
棋子數量
二進數
棋子數量
二進數
1
0 0 1
1
0 0 1
0
0 0 0
1
0 0 1
0
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
列的總和
（不進位）
0 0 2
列的總和
（不進位）
0 0 1
列的總和
（不進位）
0 0 0
「拈」：問題思考１
小明和小英一起對奕，小明先取。棋子的擺放如下：
第一、二及三行分別有四只、五只及一只棋子，
問那位可勝？取勝者的第一步應該是怎樣？試解釋你的答案。
答：１，４，５形態是「好局」，先取者把形態轉為「壞局」，所以先取
者會敗。小英勝。
棋子數量
二進數
第一行
1
0
0
1
第二行
4
1
0
0
第三行
5
1
0
1
2
0
2
列的總和（不進位）
「拈」：問題思考２
「取勝策略」是一定可行的嗎？在一個「好局」中拈走棋子後，仍可以是
一個「好局」嗎？
答：不可以。若留下是「好局」，即總和的每一位數都是偶數，由於不論
對方取那一列的多少枚棋子，該列棋子數所對應的二進位數中，必定
至少有一位數會由０變成１或者由１變成０，於是其總和的相對位數
也會由偶數變成奇數，即「壞局」。
棋子數量
棋子數量
二進數
第一行
2
0
1
0
第二行
4
1
0
0
1
第三行
7
1
1
1
2
列的總和（不進位）
2
2
1
第一行
3
0
1
1
第二行
4
1
0
0
第三行
7
1
1
2
2
列的總和（不進位）
「好局」
二進數
拈走一行一子
「壞局」
「拈」：問題思考３
有其他「取勝策略」嗎？
答：沒有其他「取勝策略」。
但拈走那一行的多少枚棋子可以多於一種方式。
１４
０
１
１
１
０
１５
０
１
１
１
１
１８
１
０
０
１
０
２２
１
０
１
１
０
２
２
３
４
１
１４
０
１
１
１
０
１５
０
１
１
１
１
１８
１
０
０
１
０
２２
１
０
１
１
０
２
２
３
４
１
拈走一行三子
拈走二行五子
１１
０
１
０
１
１
１５
０
１
１
１
１
１８
１
０
０
１
０
２２
１
０
１
１
０
２
２
２
４
２
１４
０
１
１
１
０
１０
０
１
０
１
０
１８
１
０
０
１
０
２２
１
０
１
１
０
２
２
２
４
０
「拈」：教學建議
相關數學課程：
（1）二進數
（2）數學歷史
「拈」的變形遊戲
（1）擦線遊戲 ：
在一張紙上用筆做出任意線段數條，兩人輪流用橡皮擦擦去若干相
連的小段，如此輪流擦線，最後一個擦線而再無線段留下的人勝（
或敗）。
（2）單堆遊戲：
置若干火柴（或小石子）於桌上，兩人輪流取，每人每次最少取一
根，最多取ｋ根，取得最後一根火柴者獲勝。
「拈」的變形遊戲
（3）方形棋 ：
將１６個棋子排列成方形，兩人輪流從中拿取棋子，取子的時候，
可以在任一行或列中取一枚或多枚棋子，但所取的子必須為同一直
線上相連的棋子，直到最後將棋子取光的人勝（或敗）。
「拈」的變形遊戲
（4）三角棋 ：
將１５個棋子排列成三角形，兩人輪流從中拿取棋子，取子的時
候，可以是一枚或多枚棋子，但所取的子必須為同一直線上相連
的棋子，最後將棋子取光的人勝（或敗） 。
參考網址／資料
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
http://www.edp.ust.hk/previous/math/
http://calculus.nctu.edu.tw/upload/calculus_web/map
le/Site/carnival/game/index.htm
http://oddest.nc.hcc.edu.tw/math242.htm
http://home.educities.edu.tw/oddest/math222.htm#op
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多謝！