Transcript Teoria

No todos los números son
Racionales
Pitágoras de
Samos
(murió entre
490-500 a.C.)
pensaba que
todos los
números eran
racionales.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
Hipaso de
Metaponto, un
estudiante de
Pitágoras, demostró,
en el siglo V a.C que
la raíz cuadrada de
dos no es un
número racional.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
2
1
1
Número Enteros, números Racionales y
números Reales.
Notación:
N   0,1, 2,3,...n,.. 
Números Naturales
Z   0, 1, 2, 3,...  n,.. Z
Enteros
 p

Q   , p  ¢ , q  ¢ , q  0, mcd ( p, q)  1 
 q

Números Racionales
p y q no tienen
factor común.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
Número Enteros, números Racionales y
números Reales.
Teorema:
No existe ningún número racional r tal que:
r2 = 2.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
Números Enteros, números Racionales
y números Reales.
Ampliando el conjunto de números racionales con
los números irracionales, la ecuación r2 = 2
tiene soluciones. Desde un punto de vista
práctico, los números irracionales están
tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Notación:
Números Reales:
R = { r | r racional o irracional }.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es
Racional
Teorema
No existe ningún número racional r
tal que: r2 = 2.
Demostración
Suponemos lo contrario (reducción al absurdo).
Entonces existen dos números enteros p y
q tales que p2/q2 = 2 siendo p y q primos
entre sí (sin ningún factor común)
Esto significa que p2 = 2q2. Demostraremos
el teorema probando que ésto es absurdo.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es
Racional
Teorema
No existe ningún número racional r
tal que: r2 = 2.
Demostración
(continuación)
Si p2 = 2q2, el área B del
cuadrado grande marrón
es dos veces el área G
del cuadrado verde.
p
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
G
q
B
La Raíz Cuadrada de 2 no es
Racional
Teorema
No existe ningún número racional r
tal que: r2 = 2.
Demostración
(continuación)
Observa que como p y q son
p
primos entre sí, son los
números más pequeños que
cumplen p2 = 2q2.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
G
q
B
La Raíz Cuadrada de 2 no es
Racional
Teorema
No existe ningún número racional r
tal que: r2 = 2.
Demostración
(continuación)
Por lo tanto B y G , en el
dibujo, son los cuadrados p
más pequeños de longitud de
lado un número entero tales
que el área de B es dos
veces el área de G.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
G
q
B
La Raíz Cuadrada de 2 no es
Racional
Teorema
No existe ningún número racional r
tal que: r2 = 2.
Demostración Si se sitúa una copia del cuadrado
(continuación) verde en la esquina superior
derecha del cuadrado más grande.
p
G
q
B
p
A
I
A
q
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
p-q
La Raíz Cuadrada de 2 no es
Racional
Teorema
No existe ningún número racional r
tal que: r2 = 2.
Demostración
(continuación) La intersección I de los dos
cuadrados verdes es el cuadrado I
con el área I.
p
G
q
B
p
A
I
A
q
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
p-q
La Raíz Cuadrada de 2 no es
Racional
Teorema
No existe ningún número racional r
tal que: r2 = 2.
Demostración
La construcción implica que
(continuación)
I = 2A.
Como la longitud del lado de A es p − q la del
lado del cuadrado I será p- 2(p-q) =2q − p.
p
G
q
B
p
A
I
q
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
A
p-q
La Raíz Cuadrada de 2 no es
Racional
Teorema
No existe ningún número racional r
tal que: r2 = 2.
I = 2A es ahora imposible,
Demostración
mientras G y B sean los los
(continuación)
cuadrados más pequeños con B
= 2G.
p
G
q
B
p
A
I
A
q
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
p-q
La Raíz Cuadrada de 2 no es
Racional
Teorema
No existe ningún número racional r
tal que: r2 = 2.
Demostración
de Hipaso
Supongamos lo contrario. Entonces existen
dos números enteros p y q, que no tienen factor
común tales que
p
2 .
q
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es
Racional
Teorema
No existe ningún número racional r
tal que: r2 = 2.
Demostración
2 = 2q2.
Por
lo
tanto
p
de Hipaso
Entonces p2 debe ser par. Pero esto es sólo
posible si p es par (porque
2 no es un
número entero).
Como p es par, es de la forma p = 2n para
un entero n.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es
Racional
Teorema
No existe ningún número racional r
tal que: r2 = 2.
Demostración
de Hipaso
La ecuación p2 = 2q2 entonces implica que
(2n)2 = 2q2.
Es decir:
4n2 = 2q2.
Por tanto se tiene: 2n2 = q2.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
La Raíz Cuadrada de 2 no es
Racional
Teorema
No existe ningún número racional r
tal que: r2 = 2.
Demostración de
Hipaso
La ecuación 2n2 = q2 implica que q es par.
Por lo tanto tanto p como q deberían ser pares
Pero ésto es imposible, porque suponemos que
p y q son primos entre sí.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
Otros Número Irracionales
Los siguientes números son famosos
números irracionales:
e,  ,e .
1
El número nm es irracional o un entero.
er es irracional para los números
racionales r tales que
r ≠ 0.
La raíz cuadrada de 2 no es racional.
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa