Transcript ALJABAR LINIER oleh : RIESKA INDAH ASTUTI

ALJABAR LINIER
ALJABAR LINIER
 Deskripsi :
Mata Kuliah ini mempelajari tentang matriks
dengan sifat-sifat serta operasinya, vektor beserta
sifat dan operasinya, aplikasi matriks dalam
menyelesaikan sistem persamaan linier, serta
aplikasi matriks dalam bentuk kuadrat, bentuk
bilinier dan bentuk hermit
ALJABAR LINIER
 Tujuan instruksional umum :
mahasiswa mengerti dan memahami tentang
matriks dan vektor serta operasi terhadapnya
serta dapat mengaplikasikan dalam persoalanpersoalan sehari-hari
 Buku acuan :
Anton, Howard, “Aljabar Linier Elementer”,
Edisi 8 Jilid 1 , Erlangga, Jakarta 1997
MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
-Untuk memudahkan menentukan lokasi
tempat duduk, dapat dibuat denah
berdasarkan baris dan kolom
-Banyaknya lulusan STIS berdasarkan jurusan
jenis kelamin dapat dibuat tabel
JK\Jurusan
Komputasi
Ekonomi
Sosial
Laki-laki
45
50
35
Perempuan
30
125
75
MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Dengan menghilangkan judul baris dan
kolomnya, penulisan data tersebut dapat
diringkas menjadi:
45 50 35
30 125 75


Definisi :
Sebuah matriks adalah susunan kumpulan
bilangan dalam bentuk persegi panjang yang
diatur menurut baris dan kolom (dengan
menggunakan kurung biasa atau siku).
MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Sebuah matriks dapat diberi nama menggunakan
huruf kapital, seperti A, B, C, dan seterusnya.
Misalnya nama matriks di atas adalah matriks A.
Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut
dinamakan elemen/entri dalam matriks A.
MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Matriks A terdiri dari 2 baris dan 3 kolom , oleh
karena itu disebut berordo 2x3.
45 50 35
A2x3  

30 125 75
Kolom Pertama
Kolom kedua
Kolom ketiga
Baris pertama
Baris kedua
MATRIKS
 Definisi
Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan –
bilangan real yang tersusun atas baris dan
kolom
 a11 a12  a1n 
a

a

a
22
2n 
A   21
 



am1 am 2  amn 
m baris
n kolom
di katakan matriks A berukuran m x n
 Baris ke-i dari A adalah :
ai1 ai2  ain  (1  i  m)
 Kolom ke-j dari A adalah :
 a1 j 
a 
 2j
  



 am j 

(1  j  n)
 Matriks A dapat juga ditulis :
A = [aij]
 Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur
sangkar, dan bilangan a11, a22, …, ann disebut
dengan diagonal utama
Jenis – jenis Matriks
1. Matriks Diagonal
 Matriks b.s. dengan elemen diluar diagonal
utama adalah nol, yaitu aij = 0 untuk i  j
2. Matriks Skalar
 Matriks diagonal dengan elemen pada
diagonal utama adalah sama, yaitu
aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i  j
3. Matriks Segitiga Atas
 Matriks b.s. dengan elemen dibawah diagonal
utama adalah nol
Jenis – Jenis Matriks
4. Matriks Segitiga Bawah
 Matriks b.s. dengan elemen diatas diagonal
utama adalah nol
5. Matriks Identitas
 Matriks diagonal dengan elemen pada
diagonal utama adalah 1 , yaitu
aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i  j
6. Matriks Nol
 Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.
Operasi Matriks
 Persamaan Dua Matriks
 Penjumlahan Matriks
 Perkalian Skalar dan Matriks
 Transpose Matriks
 Perkalian Matriks
Persamaan Dua Matriks
 Definisi
Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan
sama jika : aij = bij, 1  i  m, 1  j  n
yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua
matriks tersebut adalah sama.
 Contoh :
1 2  1
 1 2 w
A  2  3 4  dan B   2 x 4 
0  4  5
 y  4 z 
Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x =
-3, y = 0, dan z = -5
Penjumlahan Matriks
 Definisi
Jika A = [aij] dan B = [bij] adalah matriks ukuran m
x n, maka jumlah A dan B adalah matriks C = [cij]
ukuran m x n dengan cij = aij + bij
Contoh
Diberikan Matriks A dan B adalah
1 2  4
1  2 4
B
A


1
3
1
2

1
3




1 0 0
maka
A B  

3
2
4


Perkalian Skalar & Matriks
 Definisi
Jika A = [aij] ukuran m x n dan r adalah
sebarang skalar real, maka perkalian skalar
rA adalah matriks B = [bij] ukuran m x n
dengan bij = r aij
 Contoh
Jika r = -3 dan A  1  2 4
maka rA   3 6  12
Transpose Matriks
 Definisi
Jika A = [aij] adalah matriks ukuran m x n, maka
transpose dari A adalah matriks
At = [aijt] ukuran n x m dengan aijt = aji
 Contoh
maka
4  2 3 
A

0
5

2


0
4
At    2 5 
 3  2
Transpose Matriks
Matriks Simetrik
Matriks A yang berukuran nxn disebut matriks
simetrik jika dan hanya jika aij = aji untuk semua
I dan j.
Teorema-teorema di bawah ini berhubungan dengan
transpose matriks.
1. (AT)T= A
2. (A+B)T = AT + BT
Transpose Matriks
4.
(kA)T = k(AT)
5.
(AB)T = BTAT
6.
(Ar)T = (AT)r
7.
Jika A adalah matriks bujursangkar, maka A +
AT adalah matriks simetrik
8.
Untuk sembarang matriks A, maka AAT dan ATA
adalah matriks simetri
Perkalian Matriks
 Definisi
Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka
perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah matriks C = [cij]
ukuran m x n dimana
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj
Ilustrasi
rowi(A)
 a11
a
 21
 

 ai1
 


am1
a12

a22

ai 2

am 2

a1 p 
a2 p 



aip 


amp 

Colj(B)
 b11 b12  b1 j  b1n 
b

b

b

b
21
22
2
j
2
n


 



b p1 b p 2  b pj  b pn 
 c11 c12
c
c22
  21
 


cm1 cm 2
rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij
c1n 
c2n 
cij
 

 cmn 


Latihan Soal
1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:
1 2  3
A

4 0  2
3
2
D


1

2


 3 1
B   2 4
 1 5
1
2 3
C  3  4 5 
1  1  2
 1 0  3
E   2 1  5
 3 4 2 
Jika mungkin, maka hitunglah
a. AB
d. CB + D
b. BA
e. AB + DF
c. A(C + E)
f. (D + F)A
2  3
F 

4
1


g. BA + FD
h. A(BD)
2. Sebuah perusahaan membuat dua macam product, P
dan Q, dari setiap dua tanaman, X dan Y. Polutan
sulfur dioxide, nitric oxide, dan materi khusus juga
dihasilkan dalam proses pembuatan product tersebut.
Jumlah polutan – polutan yang dihasilkan tersebut
diberikan (dalam kg) dalam bentuk matriks berikut :
Sulfur
dioxide
Nitric
oxide
Materi
khusus
300 100 150 Product P
A

200 250 400 Product Q
Pemerintah setempat mensyaratkan polutan – polutan
tersebut harus didaur ulang. Biaya untuk itu per kg
adalah (dalam dollar) diberikan dalam matriks B berikut :
Tanaman X
Tanaman Y
 8 12


B7
9

15 10

Sulfur dioxide
Nitric oxide
Materi khusus
apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi perusahaan ?
TEOREMA DALAM PERKALIAN
MATRIKS
1. (AB)C = A(BC) untuk matriks A berukuran mxn,
Matriks B berukuran nxp dan matriks C berukuran pxq
2.
t(AB) = (tA)B = A(tB)
3.
A(-B) = (-A)B = -(AB)
4.
(A+B)C = AC + BC untuk matriks A dan B yang
berukuran mxn dan matriks C berukuran nxp
5.
D(A+B) = DA + DB untuk matriks A dan B yg
berukuran mxn dan matriks D yg berukuran pxm
TEOREMA DALAM PERKALIAN
MATRIKS
6.
Ar = A A A A …. A
r kali
7.
ArAs = Ars
8.
(Ar)s = Ars
Teorema :
 A+B=B+A
 k(B+C) = kB + kC
 A + (B + C) = (A+B) + C  k(B-C) = kB– kC
 A(BC) = (AB)C
 (k+l)A = kA + lA
 A(B+C) = AB + AC
 (k-l)A = kA - lA
 (B+C)A = BA + CA
 (kl)A = k(lA)
 A(B-C) = AB – AC
 k(AB) = (kA)B = A(kB)
 (B-C)A = BA – CA