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Chapter 3
Design & Analysis of Experiments
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3.5 Interpretações práticas dos resultados
• Após terminar o experimento, realizar a análise
estatística e investigar as suposições subjacentes, o
experimentador está pronto para inferir conclusões
práticas sobre o experimento que está conduzindo.
• Em geral isso é relativamente fácil, e certamente, nos
experimentos simples que consideramos até aqui, isto
pode ser de algum modo informal, talvez pela inspeção
de dispositivos gráficos tais como diagramas de
dispersão e boxplot .
• Porém, em alguns casos técnicas mais formais precisam
ser incorporadas.
• Apresentaremos aqui algumas dessas técnicas.
3.5.1 Um modelo de regressão
• Os fatores envolvidos no experimento podem ser qualitativos ou
quantitativos.
• Até aqui ambos foram tratados da mesma forma.
• De fato, a ANOVA trata o fator como uma variável categórica.
• Se o fator é uma variável quantitativa, em geral é de interesse todo
o campo de variação dos valores.
• Por exemplo se os níveis potência 160, 180, 200 e 220 foram
usados, pode-se estar interessado em obter uma resposta para um
nível intermediário de 190W, por meio de alguma equação de
interpolação. Essa equação representa um modelo empírico do
processo que foi estudado.
• A abordagem comum para ajustar modelos empíricos é chamada
Análise de Regressão.
• No caso do exemplo em questão, podemos propor, olhando
diagrama de dispersão das taxas de gravação vs níveis de
potência, um modelo linear e um quadrático.
Modelos ajustados
y   0  1 x  
y   0  1 x  x 2  
yˆ  137,62  2,527x
yˆ  1147,77  8,2555x  0,028375x 2
• Em geral, o melhor modelo é o mais simples de modo que se
vamos usar uma função polinomial, aquela que parece se ajustar
bem aos dados e tem menor grau possível deve ser escolhida.
• Nesse exemplo o modelo quadrático parece se ajustar melhor aos
dados do que o linear de tal modo que a complexidade adicional
do modelo quadrático deve ser considerada.
• Selecionar a ordem da aproximação polinomial nem sempre é
fácil.
• A inclusão de termos de maior ordem que de fato não melhoram o
ajuste e aumentam a complexidade do modelo prejudica a
utilidade do modelo empírico como equação preditora.
• Nesse exemplo, o modelo empírico poderia ser usado para prever
a taxa de gravação para valores de potência dentro da região de
experimentação, isto e, entre 160 e 220 watts.
• Em outros casos, o modelo empírico poderia ser usado para
processos de otimização, isto é, obter níveis de variáveis de
planejamento que resultam nos melhores valores da resposta.
Post-ANOVA Comparison of Means
• The analysis of variance tests the hypothesis of equal
treatment means
• Assume that residual analysis is satisfactory
• If that hypothesis is rejected, we don’t know which
specific means are different
• Determining which specific means differ following an
ANOVA is called the multiple comparisons problem
• There are lots of ways to do this…see text, Section 3.5,
pg. 84
• We will use pairwise t-tests on means…sometimes
called Fisher’s Least Significant Difference (or Fisher’s
LSD) Method
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Comparações entre as médias de tratamento
• Suponha que a hipótese nula, de médias de tratamento
iguais, foi rejeitada. Assim, há evidências de que
existem diferenças nas médias de tratamento, mas não
exatamente que diferença existe.
• Pode ser útil realizar análises entre grupos de médias de
tratamento.
• A média do i-ésimo tratamento é dada por μi=+i e μi é
estimado pela média amostral correspondente.
• Os procedimentos para fazer essas comparações são
chamados métodos de comparações múltiplas.
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Design-Expert Output
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Gráficos para comparação de médias
• É fácil desenvolver procedimentos gráficos para a comparação de
médias numa ANOVA.
• Suponha que o fator de interesse possua a níveis.
• Se conhecemos o desvio-padrão σ, então qualquer média amostral
terá erro-padrão dado por σ /√n.
• Se as médias são iguais deve-se esperar que os valores das
médias amostrais estejam próximos um do outro.
• A única falha nessa forma de pensar é que σ não é conhecido.
• Box, Hunter e Hunter (2005) mostraram que podemos substituir σ
por √(MSE) da ANOVA e usar uma distribuição t com um fator de
escala √(MSE) /√n em vez da distribuição normal.
• A figura a seguir ilustra esse gráfico no caso do exemplo analisado.
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Graphical Comparison of Means
Text, pg. 88
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CONTRASTES
• Um CONTRASTE é uma combinação linear dos
a
a
parâmetros.

c 
i
i 1
i
em que
c
i
0
i 1
• As hipóteses a serem testadas são do tipo:
a

ci  i  0
H 0 :

i 1

a
H :
ci  i  0
 1
i 1



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Exemplos de CONTRASTES
• Suponha a=4, como no exemplo da taxa de gravação vs
potência.
H 0 : 3   4

 H1 : 3   4
c1  c2  0; c3  1; c4  1
H 0 : 1   2  3   4

 H1 : 1   2  3   4
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c1  c2  1; c3  c4  1
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Testes de hipóteses envolvendo contrastes
• Veremos duas formas de testar hipóteses sobre
contrastes.
• A primeira delas usa um teste t.
• Escreva o contraste de interesse em função da média
amostral.
a
C

i 1
ci yi.
 Var (C ) 
2
n
n

ci2 , para experimentos balanceados.
i 1
Se a hipótese nula é verdadeira, segue que:
C
2
n
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~ N (0,1)
a
c
2
i
i 1
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Testes de hipóteses envolvendo contrastes
• Como a variância é desconhecida, ela é substituída pelo
erro quadrado médio MSE e sob a hipótese nula
t0 
C
MSE
n
~ t N a
a

ci2
i 1
• A região crítica de um teste de nível de significância  é
dada por:
t0  t , N a
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Testes de hipóteses envolvendo contrastes
• A segunda abordagem usa um teste F.
• De fato, sob a hipótese nula,
F0  t 02 
C2
MSE
n
a
c
~ F1, N  a
2
i
i 1i
Nesse caso, rejeitamos a hipótese nula ao nível de
significância  se
F0  F ,1, N a
Observe que podemos escrever
F0 
MSC SSC / 1

em que
MSE
MSE
SSC 
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C2
1
n
com1 grau de liberdade.
a

ci2
i 1
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Intervalos de confiança para contrastes
a


i 1
ci i , C 
a

ci yi. , E[C ]   e Var(C ) 
2
i 1
IC (,1   ) :C  t / 2, N  a
MSE
n
n
n

ci2
i 1
a

ci2
i 1
Se o intervalo inclui o valor zero, não rejeitamos a hipótese
nula ao nível de significância .
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Contrastes padronizados
• Quando se está interessado em mais de um contraste
pode ser útil avaliá-los na mesma escala.
• Um modo de fazerisso é padronizar os contrastes tal
que eles tenham variância σ2. Para isso, basta tomar as
constantes
ci
*
ci 
1
n
a

c 2j
j 1
para obter o contraste padronizado.
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Tamanhos amostrais desiguais
• Quando os tamanhos amostrais são desiguais,
pequenas modificações são feitas nos resultados
anteriores.
• Primeiro, note que a definição de contraste, agora
requer a n c  0

i i
i 1
• As outras mudanças são imediatas:
t0 
C
a
MSE

i 1
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C2
e SSC  a
2
 ci2 
ci
 
n 
ni
i 1  i 

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Contrastes ortogonais
• Dois contrastes com coeficientes ci e ki são ortogonais se
Σ ci ki =0 ou, se Σ ni ci ki =0 no caso não-balanceado.
• Para a tratamentos, o conjunto de a-1 contrastes ortogonais
particiona a soma de quadrados devido à tratamento (SSTr)
em a-1 componentes independentes com 1 grau de liberdade.
• Desse modo, testes realizados em contrastes ortogonais são
independentes.
• Existem várias formas de escolher coeficientes de contrastes
ortogonais dado um conjunto de tratamentos.
• Em geral, algo na natureza do experimento deve sugerir que
comparações serão de interesse.
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Contrastes ortogonais
• Por exemplo, se a-3 com o nível 1 um controle e os
níveis 2 e 3 representando níveis reais de um fator de
interesse, contrastes ortogonais podem ser definidos
como segue:
Tratamento (i)
ci
ki
1
-2
0
2
1
-1
3
1
1
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correspondendo às hipóteses
 2   3  2 1
2  3
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Contrastes
• O método de contrastes é útil para o que é chamado de
comparações pré-planejadas.
• Se as comparações são especificadas após a realização
do experimento, muitos experimentadores tenderão a
construir comparações com base nas maiores
diferenças observadas na média.
• Esse tipo de estratégia poderá inflacionar o erro tipo I
(rejeitar uma hipótese nula verdadeira).
• Chama-se data snooping (snoop=bisbilhotar, espionar) o
exame dos dados antes de definir as comparações.
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Exemplo
• Usando os dados do exemplo taxa de
gravação vs potência e o R, teste as
seguintes hipóteses:
1   2
1   2  3   4
3   4
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