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Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 1
3.5.6 Método de Scheffé para a comparação de todos os contrastes
.
• Scheffé (1953) propôs um método para comparar qualquer e todos os possíveis contrastes entre médias de tratamento.
• Em seu método, o erro tipo I é no máximo comparações possíveis.
para qualquer das • Suponha um conjunto de
m
contrastes das médias de tratamento.
l
i a
1
c il
i
,
l
1 , 2 ,...,
m C l
i a
1
c il y i
.
Var(
C l
) 2
i a
1
c il
2 tal que o erro padrão de
C l
é
n i SC l
MS E i a
1
c il
2
n i
Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 2
3.5.6 Método de Scheffé para a comparação de todos os contrastes.
H H
1 0 :
l
:
l
0 0
RC
:
C l
S
,
l
com
S
,
l
SC l
(
a
1 )
F
,
a
1 ,
N
a
O procedimento de Scheffé também pode ser usado para construir intervalos de confiança para todos os contrastes possíveis entre as médias de tratamento.
IC
(
l
, 1 ) :
C l
S
,
l
intervalos simultâneos tal que o nível de confiança conjunto é pelo menos 1 .
Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 3
Chapter 3
Exemplo
1 2
C
1 1 1 2 4 193 , 80 3
C
2 4 155 , 80
SC
1 16 , 34
SC
2 11 , 55
S
0 .
01 , 1 65 , 09
S
0 .
01 , 2 45 , 97
RC
:
C
1
C
2 65 , 09 45 , 97 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 4
3.5.7 Comparação de pares de médias de tratamento • Nesse caso poderíamos fazer
l
i
j
,
i
j
e usar Scheffé.
Porém, nesse contexto, o método de Scheffé não é o mais sensível para tais comparações.
Existem vários métodos para esse tipo de comparação.
Veremos os dois mais populares.
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Teste de Tukey
• Suponha uma ANOVA na qual a hipótese nula de médias iguais foi rejeitada e que deseja-se testar as hipóteses
H
0 :
i
j
,
i
j
,
i
,
j
1 , 2 ,...,
a
• Tukey (1953) propôs um procedimento para o qual o nível de significância global é exatamente , quando os tamanhos amostrais são iguais e, no máximo , quando os tamanhos são desiguais.
• Também é possível usar esse método para construir intervalos de confiança para as diferenças entre médias.
•Os intervalos têm nível de confiança conjunto de 100(1 no caso balanceado e pelo menos 100(1 )% no caso não balanceado.
)% Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 6
Teste de Tukey para a comparação de pares de médias • O procedimento de Tukey usa a estatística
studentizada q
e
y y
min max
y
min , com
MS E n
Min {
y
1 .
,
y
2 .
,...,
y
max
y a
.
} Max {
y
1 .
,
y
2 .
,...,
y a
.
} • Valores da distribuição da estatística
q
foram tabulados
q
(
p
,
f
), com
p
n.de
tratament os e
f
n.
de graus de liberdade • Para um experimento balanceado, o teste de Tukey rejeita a hipótese nula se
MS y i
.
y j
.
T
q
(
p
,
f
)
n E
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Teste de Tukey para a comparação de pares de médias • Equivalentemente, podemos construir intervalos de confiança de 100(1 )% para todos os pares dados por
y i
.
y j
.
q
(
p
,
f
)
MS E
,
n i
j
• Quando as amostras são não balanceadas
T
q
(
p
,
f
) 2
MS E
1
n i
1
n j
Chapter 3
IC
(
i
j
, 1 ) :
y i
.
y
.
j
q
(
p
,
f
) 2
MS E
1
n i
1
n j
Procedimen to de Tukey Kramer Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 8
Teste de Tukey para a comparação de pares de médias • No R, há as função
TukeyHSD
e
plot(TukeyHSD).
Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level Fit: aov(formula = dados$y ~ dados$rf) $`dados$rf` diff lwr upr p adj p180-p160 36.2 3.145624 69.25438 0.0294279
p200-p160 74.2 41.145624 107.25438 0.0000455
p220-p160 155.8 122.745624 188.85438 0.0000000
p200-p180 38.0 4.945624 71.05438 0.0215995
p220-p180 119.6 86.545624 152.65438 0.0000001
p220-p200 81.6 48.545624 114.65438 0.0000146
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Comparação de médias
• É possível obter um teste F global da ANOVA significativo e, ao comparar todos os pares de médias, concluirmos que as diferenças não são significativas.
• Essa situação pode ocorrer porque o teste F está considerando simultaneamente todos os contrastes possíveis envolvendo as médias de tratamento e não somente os pares.
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Método de Fisher da menor diferença significante (mds) • O método de Fisher da menor diferença significante para comparar todos os pares de média controla a taxa de erro para cada comparação individual, mas não a taxa de erro global do experimento.
• Esse procedimento usa a estatística t para testar a hipótese H 0 : i = j .
t
0
i
.
y j
.
MS E
1
n i
1
n j
• Supondo uma alternativa bilateral uma região crítica Para um teste de nível é:
y i
.
y j
.
t
/ 2 ,
N
a MS E
1
n i
n
1
j
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Método de Fisher da menor diferença significativa (mds) • A quantidade
MDS
t
/ 2 ,
N
a MS E
1
n i
1
n j
é chamada menor diferença significativa. Se o experimento é balanceado
MDS
t
/ 2 ,
N a
2
MS E
/
n
• Para usar um procedimento de Fisher, simplesmente comparamos a diferença observada em cada par com a correspondente MDS.
• O risco global pode ser consideravelmente inflacionado por esse método.
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Que método usar?
• Não existe uma resposta e muitos estatísticos discordam sobre a utilidade dos vários procedimentos.
• Carmer e Swanson (1973) realizaram uym estudo de simulação de Monte Carlo de vários procedimentos de comparações múltiplas, incluindo procedimentos que não foram apresentados aqui. O método MDS é efetivo para detectar diferenças verdadeiras se aplicado somente após o teste F da ANOVA ter resultado significante a 5%, apesar do método não controlar a taxa de erro global.
Muitos preferem o método de Tukey por controlar a taxa de erro global.
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Comparações de médias de tratamento com um controle • Se um dos tratamentos é um controle e se está interessado em comparar cada um dos outros
a
-1 tratamentos com o controle, apenas
a
1 comparações são feitas.
• Um procedimento para fazer essas comparações foi desenvolvido por Dunnett (1964). Suponha que entre os tratamentos, o
a
ésimo seja o controle e que
H
H
1 0 : :
i
i
a
a
• O procedimento é uma modificação do teste t usual.
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Procedimento de Dunnett
• Para cada hipótese calcula-se a diferença
y i
.
y a
.
,
i
1 ,...,
a
1
RC
:
y i
.
y a
.
d
(
a
1 ,
f
)
MS E
1
n i
1
n j
em que a constante
d
Aqui, é obtida por meio de tabela apropriada.
é o nível conjunto dos
a
-1 testes.
Quando comparamos tratamentos com um controle, uma boa estratégia é usar mais observações no controle do que nos demais.
A razão
n a /n
de
a
. de ve ser aproximadamente igual à raiz quadrada Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 16
3.7 Sample Size Determination Text, Section 3.7, pg. 101
•
FAQ
in designed experiments • Answer depends on lots of things; including what type of experiment is being contemplated, how it will be conducted, resources, and desired
sensitivity
• Sensitivity refers to the
difference in means
that the experimenter wishes to detect • Generally,
increasing
the number of
replications increases
the
sensitivity
or it makes it easier to detect small differences in means Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 17
Sample Size Determination Fixed Effects Case
• Can choose the sample size to detect a specific difference in means and achieve desired values of
type I and type II errors
• • Type I error – reject
H
0 • • Type II error – fail to reject
H
0
Power
= 1
Operating characteristic curves
n a
i
1
a
2
i
2 Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 18
Sample Size Determination Fixed Effects Case---use of OC Curves
• The
OC curves
for the fixed effects model are in the Appendix, Table V • A very common way to use these charts is to define a difference in two means
D
of interest, then the minimum 2
nD
2
a
2 of
n
until the
desired power
sample size calculations
D
/ is achieved – see page 103 • Most statistics software packages will perform power and • There are some other methods discussed in the text Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 19
Power and sample size calculations from Minitab (Page 103) Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 20
Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 21
Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 22
Chapter 3 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery 23
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