Transcript Entwicklung verständnisorientierter Mathematikaufgaben für

Entwicklung
verständnisorientierter
Mathematikaufgaben
für die Kursstufe
auf der Grundlage
des Bildungsplans BW
H. Buck, 2012
Programm
1. Orientierungsrahmen und Folgerung
2. Ideen aus dem Bildungsplan:
Kompetenzen - Schülertätigkeiten - Aufgaben
3. Beispiele
.
Ziele
Aufgaben
• … kritisch sichten und bewerten
• … sorgfältig auswählen
im Hinblick auf:
Entwicklung von math. Verständnis
• ... selbst entwickeln
Schwerpunkte
Beschreibung der Aufgaben
• Umfang: Bewusst kleine Aufgabenstellungen
• Gestaltung: Schülertätigkeiten stehen im
Vordergrund
Werden aus den zentralen Kompetenzen des
Bildungsplans ableitet
Analyse der Aufgaben
• Schülertätigkeit
–
Kompetenzen
• Darstellung der Aufgabe –
Erwartete
Erwartete Darstellung
der Lösung
Orientierungsrahmen
Bildungsplan
• legt die Ziele des MU fest
• beschreibt die Ziele durch Kompetenzen
• besteht aus inhaltsbezogenen Kompetenzen
und aus prozessbezogenen Kompetenzen
Kompetenzen
bestehen aus Fähigkeiten, Fertigkeiten,
Kenntnissen und Einstellungen
Schülerinnen und Schüler
Kenntnisse und Fertigkeiten
• kann man abfragen
• bestehen aus Wissen und Verfahren
Fähigkeiten und Einstellungen
• kann man nicht abfragen
• entwickeln / zeigen sich im Umgang mit Inhalten
Folgerung
Um Fähigkeiten und Einstellungen zur fördern,
muss man zum Handeln anregen / auffordern!
Ideen aus dem Bildungsplan
„Kommunizieren“
•Überlegungen darstellen
•Mathematikspezifische
Beschreibungen
verwenden
•Auf Einwände dialogisch
eingehen, argumentieren...
Mögliche Schülertätigkeiten
1. Begriffe erläutern
2. Situationen und Verfahren
Kommunizieren
beschreiben, auch darstellen
3. Systematisieren
(Struktur beschr., verallg., spezialisieren)
Begründen
4. Begründen/argumentieren/widerlegen
5. Lösungen reflektieren/bewerten
6. Hilfsmittel nutzen
Problemlösen
7. Heuristisch arbeiten
Begriffe erläutern
Wesentliche Begriffe der Kursstufe
a) Analysis
Differenzenquotient, Änderungsrate, Gesamtänderung einer Größe,
rekonstruierter Bestand, 1. Ableitung, 2. Ableitung, Ableitungsfunktion,
Integral, Stammfunktion, Integralfunktion, Mittelwert, Rauminhalt,
Amplitude, Periode, Grenzwert, Monotonie, Verkettung,
Krümmungsverhalten, …
b) Analytische Geometrie
Vektor, Skalarprodukt, Parametergleichung der Geraden,
Parametergleichung/Normalengleichung der Ebene, Winkel,
Linearkombination, ...
c) Stochastik
Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsdichte, stetige
Verteilung, Erwartungswert, Ablehnungsbereich, Annahmebereich,
normalverteilte Zufallsvariable, Fehler 1. Art, ...
Beispiel
Beispiel„Integral“
„Integral“
Situation:
Die Definition des Integral wurde exemplarisch erarbeitet, z. B.
aus einem Schulbuch:
Quelle: Buck, H. et. al. LS Analysis, Grundkurs, Gesamtband, Ausgabe A. Seite 130. Ernst Klett Verlag GmbH. Stuttgart 2001
Kenntnis
Wie ist das Integral definiert?
Verständnis
Definition wird vorgelegt:
Erläutern Sie den
Summanden h∙f(x1) geometrisch
anhand des Graphen.
Vergleichen Sie verschiedene Summanden
und ihren Beitrag zur Zerlegungssumme in Worten.
Welche Bedeutung hat die Grenzwertbildung?
Geschlossen
Oder:
Erläutern Sie die Zerlegungssumme anhand des Graphen.
Welche Bedeutung hat die Grenzwertbildung?
Offen
Darstellungswechsel:
Geometrisch - In eigenen Worten
Verständnis
Geschwindigkeit
Die Abbildung zeigt die
Geschwindigkeit eines
Fahrzeugs zum
Zeitpunkt t.
Welche Bedeutung hat
v(t)
Geschlossen
t2
 v(t )dt
t1
?
t
t1
t2
t3
Oder:
Erläutern Sie den Integralbegriff anhand eines
selbstgewählten Anwendungsbeispiels.
Offen
Deutung im Anwendungsbezug
Verständnis
Geschwindigkeit
Die Abbildung zeigt die Geschwindigkeit eines
Fahrzeugs zum Zeitpunkt t.
Welche Bedeutung hat
v( t 2 )  v( t1)
a)
t 2  t1
v(t  h)  v( t 2 )
b) lim 2
h0
h
c) v‘(t3)
v(t)
t4
t
d)  v( t )dt ?
t3
t1
Abgrenzen
t2
t3
t4
Verständnis
„Mit dem Integral berechnet man die Fläche
unter der Kurve.“
Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage.
Fehlvorstellungen aufgreifen
Begriffe erläutern
-Mögliche Aufgabenstellungen•Darstellungswechsel vornehmen: Deuten Sie geometrisch.
Beschreiben Sie in eigenen Worten, mithilfe von Skizzen.
•Deutung im Anwendungsbezug:
Nennen Sie ein Anwendungsbeispiel im Zusammenhang mit …
Umkehrung: Deuten Sie das „Anwendungsbeispiel“ als … .
• Mit Beispielen arbeiten:
Geben Sie jeweils ein Beispiel und ein Gegenbeispiel an.
•Fehlvorstellungen aufgreifen:
Vorgabe verschiedener Darstellungen: Welche Darstellung
beschreibt den Begriff, welche nicht?
Verbessern/ergänzen Sie so, dass der Begriff richtig beschrieben
wird.
Abgrenzen zu anderen Begriffen
Analyse einer Aufgabe
Im Blick
Schülertätigkeiten
Was soll der Schüler tun?
Kompetenzen
Welche Kompetenzen
werden gefördert?
Aufgabenstellung
In welcher Form ist die
Aufgabe formuliert?
Darstellung der Lösung
In welcher Form kann/soll
der Schüler antworten?
Analyse: Beispiel
Geschwindigkeit
Die Abbildung zeigt die Geschwindigkeit eines
Fahrzeugs zum Zeitpunkt t.
Welche Bedeutung hat
v( t 2 )  v( t1)
a)
t 2  t1
v(t  h)  v( t 2 )
b) lim 2
h0
h
c) v‘(t3)
v(t)
t4
t
d)  v( t )dt ?
t3
t1
t2
t3
t4
Kompetenzen
•Begriffe verstehen
•Sachverhalte beschreiben
•Darstellungsform wechseln
Lösungen reflektieren/bewerten
„Das ist doch keine anspruchsvolle
Aufgabenstellung!
Da steht ja schon die ganze Lösung da!“
Die ursprüngliche Aufgabe
e-Funktion-Tangente
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = e0,25x  2, x  IR .
Die Tangente t in einem Kurvenpunkt P(u|f(u))
schneidet die x-Achse im Punkt A
und die y-Achse im Punkt B.
Gesucht ist derjenige Kurvenpunkt P,
so dass das Dreieck OAB gleichschenklig ist.
1. Variante:
Vollständige Lösung vorgegeben
Lösung:
Die Gleichung der Tangente in P(u| e  0,25u  2 ) lautet:
y = -0,25 e  0,25u  2 (x – u) + e  0,25u  2
yA = 0 liefert:
xA = 4 + u
(*)
u
xB = 0 liefert:
yB = e 0,25u  2 (1  )
(*)
4
u
Also:
4 + u = e 0,25u  2 (1  ) ,
(*)
4
u  8  4 ln( 4)  2,45, f (u)  4, damit P(2,45 | 4).
Beschreiben Sie die mit (*) gekennzeichneten Schritte in Worten
Fertigen Sie eine erläuternde Skizze an.
Kompetenzen
•Lösungsidee erfassen und reflektieren
•Formale Rechnung in Worten beschreiben und skizzieren
•Im Kontext argumentieren
2. Variante:
Lösungsansatz vorgegeben
Lösung:
Die Gleichung der Tangente in P(u| e  0,25u  2 ) lautet:
y = -0,25 e  0,25u  2 (x – u) + e  0,25u  2
Schnittpunkt mit der x-Achse: yA = 0 liefert: xA = 4 + u
Schnittpunkt mit der y-Achse: xB = 0 liefert: …..
Setzen Sie die Lösung fort.
Kompetenzen
•Lösungsidee erfassen
•Geometrische Beschreibung formalisieren
3. Variante:
Verschiedene Lösungen vorgegeben
Lösung:
1. Möglichkeit:
Die Gleichung der Tangente in P(u| e
) lautet:
y = -0,25 e  0,25u  2 (x – u) + e  0,25u  2
Schnittpunkt mit der x-Achse: yA = 0 liefert: xA = 4 + u .....
0,25 u2
2. Möglichkeit:
Bedingung: m = f’(u) = -1
Aus f’(u) =  0,25e 0,25u  2  1 erhält man u  8  4 ln( 4) ...., also P(2,45 | 4) .
Vergleichen Sie die verschiedenen Lösungswege.
Beschreiben Sie die jeweilige Lösungsidee in Worten.
Bewerten Sie das jeweilige Vorgehen.
Kompetenzen
•Lösungen erfassen, reflektieren und vergleichen
•Lösungsideen bewerten
Lösungen reflektieren/bewerten
Verständnis fördern
•Zentrale Lösungsidee erfassen
• Lösung strukturieren
• Lösungsschritte begründen
• Lösungsidee anhand einer Skizze
veranschaulichen
•Lösungsidee in Worten beschreiben
•Verschiedene Lösungswege vergleichen
• Vorgehen bewerten (z.B. im Hinblick auf
Allgemeingültigkeit, Genauigkeit, Eleganz,
Anschaulichkeit, …)
•...
Situationen und Vorgehensweisen
beschreiben/darstellen
„Beschreiben:
Dazu muss man doch
einfach alles auswendig
lernen und
aufschreiben!“
„Beschreiben:
Das gehört in den
Deutschunterricht.“
Eine Tätigkeit - Viele Facetten
Wachstum
Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = S – c e(-kx).
Beschreiben Sie die Bedeutung der auftretenden Parameter im
Zusammenhang mit Wachstumsprozessen.
Elfmeter
Ein Fußballspieler schießt beim Elfmetertraining 10 Mal auf das Tor.
Wie groß muss seine Trefferwahrscheinlichkeit p sein, damit er bei
diesem Training mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% mindestens 6
Mal trifft?
Beschreiben Sie, wie man p ermitteln kann.
Gerade-Dreiecke
Die Gerade g geht durch die Punkte P und Q.
Beschreiben Sie: Wo liegen alle Punkte Y, für die das Dreieck PQY
gleichschenklig ist mit der Basis PQ?
Mehr aus auswendig lernen!
Kenntnisse als Voraussetzung,
um Verständnis zu entwickeln / zeigen:
•Situation im Gesamtzusammenhang sehen,
beschreiben, abgrenzen
•Graphisch oder verbal darstellen
•Beispiele/ Gegenbeispiele nennen
•Dynamisch denken
•Parameter / Voraussetzungen variieren
•Verfahren zielgerecht auswählen
•...
Hilfsmittel nutzen
„GTR
und Formelsammlung:
Die Schüler verlernen doch das
Denken!“
Ein Blick in die Formelsammlung
a) Gegeben sind die Funktionen
2x
ex  4
1  cos( x )
f1( x )  2
, f2 ( x )  x
, f3 ( x ) 
.
sin( x )  x
x x
e  4x
Kompetenzen
•Text erfassen und
reflektieren
•Formel sachgerecht
anwenden
•Im Kontext
argumentieren
g' ( x )
Welche Funktionen erfüllen die Voraussetzung f ( x ) 
?
g( x )
b) Geben Sie für die Funktion f mit f ( x ) 
4x 3
x4  1
1
die Funktion g an. Berechnen Sie
 f ( x )dx .
0
1
c) Mit der oben genannten Formel kann man auch

x3
dx
x 1
berechnen. Beschreiben Sie, wie man dazu vorgehen muss.
0
4
Quelle: Dorn, H.-J. et. al. Formelsammlung Mathematik, Gymnasium. Seite 74. Ernst Klett Schulbuchverlage, Stuttgart . Leipzig. 2005
Was ich noch sagen wollte:
Verständnisaufgaben sind
hervorragend
für Binnendifferenzierung geeignet!
Zu finden ...
...auf dem
Lehrerinnen Fortbildungs Server der
Landesakademie für Fortbildung und
Personalentwicklung
Stichwort: Kompetenzorientierter Unterricht
http://lehrerfortbildung-bw.de/allgschulen/gy/kompsta/
DANKE!
DANKE
An dieser Stelle möchte ich mich ganz herzlich für die
jahrelange, spannende und begeisterte Zusammenarbeit mit
meinen Kollegen
Prof. Dieter Koller, Karlsruhe
Prof. Rolf Reimer, Karlsruhe,
SD Michael Flaig, Karlsruhe,
SD Wolfgang Staib, Rottweil,
Prof. Bernd Hatz, Eßlingen,
Prof. Rolf Dürr, Tübingen
bedanken, denen ich eine Menge von Anregungen zu
verdanken habe, die u.a. auch in diesen Beitrag mit
eingeflossen sind!
Fazit
You can‘t command the winds,
but you can set the sails!