Transcript math08.-HUBUNGAN-NON-LINEAR

HUBUNGAN NON-LINEAR
http://rosihan.web.id
Pada Pertemuan kali ini, kita akan
mempelajari ………….

Fungsi kuadrat
- Identifikasi persamaan kuadrat
- Lingkaran
- Elips
- Hiperbola
- Parabola
http://rosihan.web.id
Persamaan Berderajat Dua



Polinom atau suku banyak pada variabel x
dilambangkan dengan P(x), mengandung suku-suku
Kxn, dimana K = konstanta, dan n merupakan bilangan
bulat.
Bentuk umum polinom berderajat n adalah :
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + .… + anxn
Kedua suku pertama P(x) adalah juga berbentuk Kxn,
karena dapat ditulis a0x0 dan a1x1
http://rosihan.web.id
Persamaan Berderajat Dua ©



Kalau polinom berderajat n disamakan nol maka
diperoleh persamaan berderajat n dalam x.
a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn = 0
Buat n = 2, maka diperoleh persamaan derajat
dua dalam x :
a0 + a1x + a2x2 = 0
Yang sering juga ditulis :
ax2 + bx + c = 0
http://rosihan.web.id
Persamaan Berderajat Dua ©
ax  bx  c  0
2
pembagian
x 
2
b
dengan a memberikan
x
a
c
0
ini dapat dipecahkan
yang dinamakan
x 
2
:
a
Persamaan
b
a0
dengan
x
a
b
2
4a
2
melengkapk

2
b
2
4a
2
b 
b  4 ac

x
 
2
2
a
4
a



dengan cara
an bujursangk
ar :
c
a
2
r
http://rosihan.web.id
Persamaan Berderajat Dua ©
Kalau y  r , maka y  
2
x
b
:
b  4 ac
2

2a
x
r, sehingga
4a
b
2
b  4 ac
2
2a
Kedua jawaban ini yaitu :
x1 
b
2
x2 
2a
dinamakan
Jumlah
b  4 ac
akar persamaan
dan hasil kalinya
x1  x 2  
b
a
b
b  4 ac
2
2a
kuadrat.
adalah :
x1 x 2 
c
a
http://rosihan.web.id
Persamaan Berderajat Dua ©
Polinom atau suku banyak pada variabel x dan y yang
dilambangkan P(x,y) ialah ungkapan yang mengandung
suku Kxrys, dimana K=konstanta, r dan s = bilangan bulat.
 Harga tertinggi (r+s) suatu suku P(x,y) dinamakan derajat
polinom itu.
 Jika P(x,y) berderajat n=0  Ax + By + C = 0 (grafik
berupa garis lurus)
 Bentuk umum persamaan derajat dua x dan y:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
(Grafik persamaan ini adalah sebuah potongan kerucut
yaitu : lingkaran, elips, parabola dan hiperbola)

http://rosihan.web.id
Gambar Potongan Kerucut
Lingkaran
Parabola
Elips
Hiperbola
http://rosihan.web.id
Identifikasi Persamaan Kuadrat
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
 Jika B = 0 dan A = C ≠ 0  lingkaran
 Jika B2 – 4AC < 0  Elips
 Jika B2 – 4AC > 0  Hiperbola
 Jika B2 – 4AC = 0  Parabola
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
 Jika A = C ≠ 0  lingkaran
 Jika A ≠ C, tanda sama  elips
 Jika A dan C berlawanan tanda  Hiperbola
 Jika A=0 atau C=0, tapi tidak keduanya 
parabola
http://rosihan.web.id
Lingkaran


Lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan
atau lokus titik-titik P(x,y) yang jaraknya r sampai
suatu titik M yang dinamakan pusat lingkaran
adalah sama.
Persamaan lingkaran menjadi sederhana bila pusat
lingkaran berimpit dengan asal 0. Berlaku hukum
Pythagoras x2 + y2 = r2
http://rosihan.web.id
Lingkaran ©
y
Bila pusat lingkaran
dipindahkan dari 0 ke
M(h,k) , maka juga
dengan hukum pythagoras
diperleh persamaan
lingkaran :
P(x,y)
y
r
k
M(h,k)
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
x  (x – h), y  (y – k)
P(x,y)
r y
x
Dapat ditulis
h
x
x
x2 + y2 - 2hx - 2ky +
(h2+k2+r2)=0
h dan k bisa positif / negatif  persamaan lingkaran :
Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0  A http://rosihan.web.id
= C dan B = 0
Elips



Elips didefinisikan sebagai lokus titik-titik yang
jumlah jaraknya hingga dua titik tertentu, yang
dinamakan fokus F dan F’ adalah tetap.
Persamaan elips menjadi sederhana bila dipilih
asal 0 di pertengahan FF’ dan sumbu y tegak lurus
FF’.
Misal 0F = 0F’ = c, PF + PF’ = 2a dan
a2 – c2 = b2
http://rosihan.web.id
Elips ©
Y
0 F  0 F’  c, PF  PF’  2 a
dan a
bB
A’ F’
-c
r’
0
x
–c
2
 b
2
PF’  PF  2 a
P (x,y)
y
2
PF’  2 a – PF
r F A
c a
(c  x )  y
2
X
dikuadratk
2
 2a 
(c  x )  y
2
an dan dikurangi
c x  y
2
2
dikiri dan dikanan
B
2 cx  4 a  4 a ( c  x )  y  2 cx
2
(c  x )  y
2
dikuadratk
an : c  2 cx  x  y  a  2 cx 
2
2
2
2
c
2
a
2
2
x
2
2
a
c
x
a
2

c  2
1  2  x  y 2  a 2  c 2

a 

dibagi dengan a  c  b
2
2
2
-- 
x
2
a
2

y
2
b
2
1
http://rosihan.web.id
2
2
2
Elips ©

Adapun AA’ adalah sumbu mayor dan BB’ adalah
sumbu minor elips. Bila elips dipindahkan sejajar
sehingga pusatnya tidak lagi di 0.  titik M (h,k)
maka :
( x  h)
a

2
2

(y  k)
b
2
2
1
Bentuk umum persamaan elips :
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
http://rosihan.web.id
Parabola



Parabola ialah tempat kedudukan titik-titik yang
berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan
sebuah garis lurus yang disebut direkstris
Persamaan parabola menjadi sederhana bila dipilih
asal 0 di M dan FT = sumbu y.
Dengan hukum pythagoras :
x2 + (y – x)2 = (y + x)2
x2 – 2yp = 2yp
x2 = 4py
y = ¼ px2 = ax2
http://rosihan.web.id
Parabola ©
Y
y+p
F
Bila parabola dipindahan
sejajar sehingga puncaknya
tidak lagi 0 tetapi di M(h,k)
maka:
M(h,k)
P(x,y)
(x - h)2 = 4p(y - k)
y–p
p
0 p
X
d
T
Ax2 + Dx + Ey + F = 0
Titik Ekstrim
  b b  4 ac

 2a ,  4a

2
x2 - 2hx - 4py + (h2 + 4pk) = 0




Cx2 + Dx + Ey + F = 0
http://rosihan.web.id
Hiperbola

Hiperbola ialah tempat kedudukan titik-titik yang
perbedaan jaraknya terhadap dua fokus selalu
konstan. Sebuah hiperbola mempunyai dua sumbu
simetri yang saling tegak lurus dan sepasang
asimtot.
http://rosihan.web.id
Hiperbola ©
y
y
asimtot
(i,j)
(i,j)
asimtot
Sumbu
lintang
0
x
0
Sumbu
lintang
Rumus Umum :
Ax2 – Cy2 + Dx + Ey + F =0
http://rosihan.web.id
x
Latihan

Pertumbuhan jumlah pegawai sebuah perusahaan
diperkirakan akan mengikuti kurva Gompertz
y  1000 ( 0 , 01 )
0 ,5
t
Ditanyakan jumlah pegawai awalnya, pada akhirnya dan
sesudah 3 tahun.

Hitung harga dan kuantitas imbang (keseimbangan) kurva
permintaan dan penawaran berikut :
S = p2 +2p – 3
D = -p2 + 9
(Gambarkan)
http://rosihan.web.id