Transcript 異質性
Chapter 8 異質性 異質性 複迴歸，其同質性假設，都是假設條件於自變數 之未觀測誤差u 的變異數為一常數。當解釋變數 在不同值的情況下，使得u 的變異數也隨之變動 ，這將導致同質性假設失效；例如，在儲蓄函數 中，影響儲蓄的未觀測因素的變異數會隨著收入 的增加而增加，此時異質性情況就會出現。 <例，所 得越高的家庭，其家庭儲蓄的差異性也會越高，因此，所得與儲蓄的 分佈圖，在所得越高的地方，會越分散。> CH8 異質性 第323頁 異質性 無論是大樣本或是小樣本，要讓t 檢定、F 檢定及 OLS 下的信賴區間可以使用，必須做同質性假設 。在本章，我們將討論在異質性發生時可能的解 決方法，我們也將指出如何檢定異質性的存在。 一開始我們簡單地回顧以前在OLS 估計下出現異 質性的情況。 Recall: p110, MLR.5 同質變異性 CH8 異質性 第323頁 8.1 OLS 異質性的結果 考慮線性複迴歸模型： y 0 1 x1 2 x2 k xk u 8.1 異質性並不會引起OLS 估計式的偏誤或不一致性 ，若忽略掉某個或某些重要變數才會造成偏誤或 不一致性。 ＜P323, 在高斯馬可夫假設MLR.1 ~ MLR.4之下，可證明 OLS估計式具不偏性及一致性，故MLR.5 對於不偏及一致 不具影響力。＞ CH8 異質性 第323頁 8.1 OLS 異質性的結果 配適度的衡量，即R2或 R 2 的解釋也不會受到異質 性的影響。 ＜模型的配適度是指解釋的能力(Xs)，而各 個解釋變數不受誤差項影響。＞ 既然，不影響估計式的不偏、一致性及配適度， 那模型具異質性會怎樣！？？ 由於OLS 的標準誤是基於這些變異數，它們也就 不再能夠有效的建構出信賴區間或t 統計量了。 在異質性下，普通OLS 的t 統計量並沒有t 分配， 且不會因為「大樣本」就能解決這個問題。 若有異質性，則我們在高斯馬可夫的假設下用來 檢定的統計量全都失效的。 ＜沒法做檢定啦！！＞ CH8 異質性 第324頁 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 因為假設檢定對於任何一種計量分析都是重要的 一環，且普通OLS 的推論在模型存在異質性的情 況下會發生錯誤，我們必須決定是否要完全放棄 OLS。 OLS 仍然是有用的。在最近20 年內，計量經濟學 家已經發現如何調整標準誤、t、F 以及LM 統計 量，經過調整後可以使得這些工具在模型存在有 未知形式的異質性(heteroskedasticity of unknown form) 的情況下仍能發揮作用。 CH8 異質性 第324-325頁 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 這個發現是非常有用且便利的，因為它使我們在進 行研究時可以忽略異質性的問題而提出有用的統計 量。這種方法稱為異質穩健(heteroskedasticityrobust) 程序，因為這個程序在不知道模型誤差項 的變異數是否固定的情況下是能夠發揮作用的(至 少在大樣本的條件下是有用的)，且並不需要去判 斷誤差是否真有異質性的問題。 CH8 異質性 第325頁 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 使用單一獨立變數來考慮這個模型，為強調起見 ，我們利用i 作為下標： ＜不同的i 表示不同的觀察對象＞ yi = β0 + β1xi +ui 假定高斯馬可夫的前四項假設成立。若誤差項有 異質性，則 Var(ui | xi ) i2 其中我們使用2 下標i 指出誤差項的變異數依賴 個別xi的值來決定。 CH8 異質性 第325頁 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 將OLS 的估計式寫為： n ˆ1 1 ( x x )u i 1 n i i 2 ( x x ) i i 1 CH8 異質性 第325頁 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 在MLR.1 至MLR.4 成立之下(意指，沒有同質性 假設)，條件於樣本中個別xi 的值， <from p57, (2.52)式> n Var( ˆ1 ) 2 2 ( x x ) i i i 1 2 x SST 8.2 其中SSTx i 1 ( xi x ) 2是所有xi項的總平方和。 n CH8 異質性 第325頁 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 對所有i 當 時，這個公式可以簡化為 2/SSTx。 將 uˆi 定義為y 對x 迴歸式中的OLS 殘差項，在任 何異質性的形式下(包含同質性)，一個有效的 Var(ˆ1 ) 估計式為： 2 i 2 n 2 2 ( x x ) uˆi i i 1 SSTx2 CH8 異質性 第326頁 8.3 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 一般化複迴歸模型中可以得到類似的公式 y = β0 + β1x1 + … + βkxk + u 在MLR.1 至MLR.4 成立下，可證明 Var( ˆ j ) 的一 個有效力的估計式為： n Var( ˆ j ) r 2 ij u i 1 SSR 2j 2 i 8.4 其中rˆij 定義為xj對其他獨立變數迴歸，式中的第i 個殘差，且SSRj是此迴歸式的殘差項平方和。 (8.4) 式的值開根號後可以得到 ˆ j 的異質穩健標準 誤 (heteroskedasticity-robust standard error)。 CH8 異質性 第326頁 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 建立一個異質穩健t 統計量(heteroskedasticityrobust t statistic) 是非常容易的。可以藉由一般化t 統計量來表示： 估計- 假設值 t 標準誤 8.5 一般OLS 的t 統計量與異質穩健t 統計量的唯一差 異在分母中標準誤的計算方式。 異質穩健F 統計量(heteroskedasticity-robust F statistic) 又可稱為異質穩健Wald 統計量。 CH8 異質性 第327.329頁 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 練習 課本 p 327 範例8.1 計算異質穩健標準誤 CH8 異質性 第330頁 8.2 估計OLS 後之異質穩健的推論 總而言之，誤差項具異質性，對於估計式的不偏 性、一致性及配適度皆無影響；但是～～若要再 進一步從事統計相關的推論時，則因為估計式的 標準誤是有偏誤的，無法做任何的檢定！ 話雖如此，但是～～只要調整具偏誤的估計式標 準誤，還是能從事統計推論。 問題來了：此處介紹的調整過程對同學而言：太 難了！！難道，要放棄了嗎！？ CH8 異質性 第330頁 計算異質穩健LM 檢定 並不是所有的迴歸軟體都可以算出穩健於異質性 的F 統計量。因此，有時候有一個穩健於異質性 且不需要特殊的計量軟體就可以對多個排除性限 制做檢定的方法是很方便的。我們可利用任何迴 歸軟體求得異質穩健LM 統計量 (heteroskedasticityrobust LM statistic)。 CH8 異質性 第330頁 計算異質穩健LM 檢定 為了計算穩健LM 統計量，我們先建立一個迴歸模 型： y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + β5x5 + u 且假設我們要做H0: β4 = 0, β5 = 0的檢定。 CH8 異質性 第330頁 計算異質穩健LM 檢定 在整理之後可以得到異質穩健LM 統計量一般化的 步驟如下。 異質穩健LM 統計量： 1. 由受限制的模型中得到 u。 2. 將欲排除的獨立變數對其他未排除的獨立變數作 迴歸，如果有q個排除變數，則有q組殘差 (r1, r2 , , rq )。 CH8 異質性 第331頁 計算異質穩健LM 檢定 異質穩健LM 統計量： 3. 得到每一個 r j以及 u的乘積(對所有觀察值)。 , rqu的沒有截距項的迴歸式，且 4. 作1 對 ru 1 , r2u, 異質穩健LM統計量為n－SSR1 ，其中SSR1就是這 個最後迴歸的殘差平方和。在虛無假設H0下，LM 2 的分配接近 。 q CH8 異質性 第331頁 計算異質穩健LM 檢定 練習 課本 p 331 範例8.3 異質穩健LM統計量之計算 CH8 異質性 第331頁 小結： 當模型的誤差項具有異質性時＜利用OLS所求得的估計式 不會影響其不偏性、一致性及配適度＞： 檢定單一解釋變數是否具有解釋能力＜一般而言 ，我們都會用 t 檢定＞，需要調整估計式的變異 數，以求得異質穩健標準誤，進一步計算調整 後的 t 檢定統計量。 檢定二個（含）以上的變數是否同時具解釋能 力＜一般而言，我們都會用 F 檢定＞，此時可計算 異質穩健 LM 統計量＜與卡方查表值比較＞即可。 CH8 異質性 第331頁 8.3 異質性的檢定 當模型具異質性時，我們已經有辦法經由調 整再進一步做統計推論。 但是，要如何知道模型的誤差項是否具異質 性呢！？ 利用檢定的方式，若檢定結果呈現具異質性 ，才需要調整後再推論；否則，便回到以前 最簡單的 t 檢定及 F 檢定即可！ CH8 異質性 第332-333頁 8.3 異質性的檢定 異質穩健標準誤可以在不確定迴歸模型是否存在 異質性的情況下，提供一個計算為漸近t 分配之t 統計量的簡單方法。我們也可以計算出異質穩健F 以及LM 統計量。 適用這些檢定並不需要知道異質性是否存在。然 而，仍然有許多理由來解釋異質性檢定方法的重 要性。 第一，在古典線性迴歸模型假設下，一般t 統計量 服從確切的t 分配。 第二，假如存在有異質性，則OLS 估計式將不再 是最佳線性不偏估計式。 CH8 異質性 第332-333頁 8.3 異質性的檢定 由下列迴歸方程式開始 y 0 1 x1 2 x2 k xk u 8.10 檢定過程中的虛無假說是同質性的假設MLR.5 成 立 H0 : Var(u | x1, x2 , , xk ) 2 8.11 假設誤差的條件期望值等於零，可以得到Var(u|x) = E(u2|x)，故同質性的虛無假設可以寫成 H0 : E(u 2 | x1, x2 , , xk ) E(u 2 ) 2 CH8 異質性 第333頁 8.3 異質性的檢定 一個簡單的方法是先假設一個直線方程式： u2 0 1x1 2 x2 k xk v 8.12 k 0 8.13 同質性的虛無假說為： H0 : 1 2 無法得知母體真實的誤差項，但是對於觀察值i 可 以藉由OLS 殘差估計式，uˆi ，作為一個合理的母體 誤差項ui的估計。因此，可估計方程式 uˆ 2 0 1x1 2 x2 k xk error CH8 異質性 第333-334頁 8.14 8.3 異質性的檢定 F 統計量可以寫成 2 uˆ 2 R /k F (1 Ruˆ2 2) /(n k 1) CH8 異質性 第334頁 8.15 8.3 異質性的檢定 有異質性的LM 統計量為樣本大小乘上(8.14) 式的 R2 ： LM n R 2 uˆ 2 8.16 LM 的檢定方式又可以稱為Breusch-Pagan 檢定 (BP 檢定)，Breusch 及Pagan (1979) 在假設誤差為 常態分配下提出了一個不同形式的檢定。Koenker (1981) 則提出(8.16) 式的LM 統計量，由於較大的 可應用性，所以較受歡迎。 CH8 異質性 第334-335頁 8.3 異質性的檢定 關於BP 檢定方法： 1. 利用OLS 估計(8.10) 迴歸式並求得OLS 殘差項的平 方 。uˆ 2 2. 估計(8.14) 迴歸式，並求出 Ruˆ2。 2 3. 求出F 或LM 統計量及對應的p 值(前者用Fk, n－k － 1 2 分配，後者用 分配)。若p 值夠小，亦即，其小 k 於所選定的顯著水準，則拒絕同質性的虛無假設。 CH8 異質性 第335頁 8.3 異質性的檢定 練習 課本 p 335 範例8.4 BP檢定（檢定模型的誤差項是否具異質性） CH8 異質性 第335頁 異質性的White 檢定 同質性假設Var(u1|x1, ..., xk) = 2 是可以被u2與所有 2 自變數xj 、自變數平方 x j 以及所有的交叉項(xjxh, j ≠ h) 無關的較弱假設取代。 假定有一個包含三個獨立變數(k = 3) 的迴歸式， White 檢定是基於下列的估計式： uˆ 2 0 1 x1 2 x2 3 x3 4 x12 5 x22 6 x32 7 x1 x2 8 x1 x3 9 x2 x3 error CH8 異質性 第336頁 8.19 異質性的White 檢定 異質性的White 檢定(White test for heteroskedasticity) 是用來檢定除了截距項之外， (8.19) 式所有的δj 值皆為0 的LM 統計量。因此， 在這種情況有九個限制要檢定。對此假設也可用F 檢定；這二種檢定在大樣本下都是可行的。 太多獨立變數是純粹White 檢定的一個弱點：它 在有限個獨立變數的模型中用了太多自由度。 可透過估計以下方程式來檢定異質性 2 2 u 0 1 y 2 y error CH8 異質性 第337頁 8.20 異質性的White 檢定 何以原本複雜的檢定估計式可以利用配適 值及配適值的平方即可！？ 若我們假定配適方程式為： 則平方項為＜同時具有平方項及交叉項＞： CH8 異質性 第337頁 異質性的White 檢定 異質性的White 檢定之特例： 1. 用OLS 估計模型(8.10)。求得OLS 殘差 uˆ和配適 2 uˆ 2和配適值平方 yˆ。 值 。計算殘差平方 ˆy 2 2. 做(8.20) 式的迴歸。求出迴歸的R平方值， Ruˆ2。 3. 求出F 或LM 統計量，並計算p 值(前者用F2,n 3分 2 配，而後者用 2分配)。 CH8 異質性 第338頁 異質性的White 檢定 練習 課本 p 338 範例8.5 White檢定（檢定模型的誤差項是否具異質性） CH8 異質性 第338頁 小結： 當我們不知道模型是否具有異質性時，應該 先檢定模型。 檢定的方法有： 1.BP檢定 2.White檢定 確定模型具異質性時，才需要經由調整方式 進行統計上的相關推論。 CH8 異質性 第338頁 以下小節skip 一般同學可略過8.4及8.5小節 建議： 1.若有同學日後確定考上研究所也決定會繼續 往下念時，屆時請自行研讀此兩節，研究所 的計量課程包含此部分！ CH8 異質性 第338頁