Transcript Okrajové úlohy pre ODR

Numerické metódy
riešenia diferenciálnych
rovníc
Matematicko-počítačové
modelovanie
4. semester
4. prednáška
Pojem okrajovej úlohy

Lineárna ODR 2. rádu:
a 2 (x)y(x)  a1(x)y(x)  a 0 (x)y(x)  g(x)
a 2 ( x ), a1 ( x ), a 0 ( x )
g( x )
pravá strana
koeficienty
Teplotné pole v tenkej tyči

Drôt dĺžky l premenného prierezu S(x)
je zohrievaný
S(x)
ψ
S(x+Δx)
S(l)
S(0)
x
h(x)
x+Δx
0
ψ
l
Stacionárne vedenie tepla v
tenkej tyči



y(x) - teplota tyče v priečnom reze S(x)
k(x)>0 – koeficient tepelnej vodivosti
Fourierov zákon: Tepelný tok, to jest
množstvo tepla, ktoré pretečie rezom S(x)
za jednotku času je dané výrazom:
dy ( x )
 k ( x )S( x )
dx
Stacionárne vedenie tepla v
tenkej tyči



Nech O(x) je obvod rezu S(x), potom pre malé
Δx bude plášť úseku drôtu medzi prierezmi
S(x) a S(x+Δx) rovný približne O(x) Δx
nech t(x) je teplota vonkajšej strany plášťa
Množstvo tepla, ktoré pretečie úsekom plášťa
za jednotku času je
(x)O(x)x( y(x)  t(x))

α(x) je koeficient prestupu tepla
Stacionárne vedenie tepla v
tenkej tyči


h(x)Δx – množstvo tepla
vyprodukovaného tepelným zdrojom vo
vnútri tyče dĺžky Δx za jednotku času
Tepelná bilancia v úseku Δx :
dy ( x )
 k( x )S( x )
 h ( x ) x 
dx
dy ( x  x )
 k( x  x )S( x  x )
 ( x )O( x )(y( x )  t ( x ))
dx
Stacionárne vedenie tepla v
tenkej tyči

pre Δx→0 dostávame
d 
dy( x ) 
  k( x )S( x )
  ( x )O( x ) y( x )  h( x )  ( x )O( x ) t( x )
dx 
dx 

alebo zjednodušene:
 ( p( x ) y( x ))  q( x ) y( x )  f ( x ),
p( x )  k( x )S( x )
q( x )  ( x )O( x )
f ( x )  h( x )  ( x )O( x ) t ( x )
Pojem okrajovej úlohy

Úloha: Nájsť funkciu y(x) definovanú na
intervale (a, b), ktorá je spojitá až do
druhej derivácie na tomto intervale, spĺňa
na ňom ODR a naviac spĺňa okrajové
podmienky:
y(a )  y(a )  ya
y( b)  y( b)  y b
, , , , ya , y b  R
    0,     0
Typy okrajových podmienok

Dirichletove:
y( a )  y a , y( b)  y b

Neumanove:
y(a )  ya , y( b)  y b

Newtonove:
y(a )  y(a )  ya
y( b)  y( b)  y b

Zmiešané: kombinácia predošlých
Príklad

Máme danú ODR:

Nájdite riešenie okrajovej úlohy na
intervale (0, π/2), ak OP sú:
y  y  0

y(0)  1, y(  / 2)  0

y(0)  0, y(  / 2)  0
Príklad
y  y  0

Máme danú ODR:

Nájdite riešenie okrajovej úlohy na
intervale (0, π), ak OP sú:


y(0)  1, y( )  2
y(0)  0, y( )  0
Samoadjungovaný tvar

ODR v samoadjungovanom tvare
 ( p( x) y)  q( x) y  f ( x)

Úloha: ODR a Dirichletove OP
 ( p( x) y)  q( x) y  f ( x)
y (a)  ya , y (b)  yb
Existencia riešenia OÚ





Veta: Nech platí:
q,f sú spojité funkcie na intervale (a, b)
p je spojitá aj so svojou 1. deriváciou na
(a, b)
p(x)>0, q(x)≥0 na intervale (a, b).
Potom existuje jediné riešenie OÚ na
intervale (a, b).
Príklad

y" -y =f(x), y(0)=1, y(2)=5,
f( x)
3
x
2
6x
5
1
6
4
pres
2
0
1.3 739 38 2
0
0
pres
 exp( X)
8.286134462
 exp( ( X) )
5.713865537
1
X
X3
2
2
6 X2
6X
13
Numerické metódy riešenia
OÚ





Metóda sietí -diferenčná metóda- riešenie
hľadáme v diskrétnych bodochuzly siete:
a  x0  x1  ....  x n  b
x0 , xn : hraničné uzly
x1, x2,...xn-1 : vnútorné uzly siete
h n  x n  x n1 : diskretizačný krok
Diferencie

x-h
Využijeme Taylorov rozvoj funkcie
x
x+h
odčítame:
h2
h3
y( x  h )  y( x )  y( x )h  y( x )  y()
2
3!
h2
h3
y( x  h )  y( x )  y( x )h  y( x )  y()
2
3!
y ( x  h)  y ( x  h) ( y( )  y(  ))h 2
y( x) 

2h
3!
Centrálna diferencia:y  y i 1  y i 1 O(h2)
i
2h
Diferencie

Ak vezmeme len prvý vzťah:
h2
y( x  h )  y( x )  y( x )h  y()
2
y( x  h)  y( x) ( y( )h
y( x) 

h
2
y i1  yi
Dopredná diferencia: yi 
O(h)
h
Diferencie

Taylorov rozvoj:
4
h2
h3
h
y( x  h)  y( x )  y( x )h  y( x )  y( x )  y( IV ) ()
2
3!
4!
4
h2
h3
h
y( x  h )  y( x )  y( x )h  y( x )  y( x )  y( IV ) ()
2
3!
4!
Sčítame:
y ( x  h)  2 y( x)  y ( x  h) ( y ( IV ) ( )  y ( IV ) (  ))h 2
y( x) 

2
h
4!
Štandartná druhá y  yi1  2 yi  yi1
2)
O(h
i
2
diferencia:
h
Numerické riešenie okrajovej
úlohy pre Dirichletove OP

Interval (a, b) rozdelíme na podintervaly s
uzlami
a  x0  x1  ....  xn1  b

Diferenciálnu rovnicu nahradíme
diferenčnou, to jest derivácie v bodoch
siete nahradíme diferenciami:
Numerické riešenie okrajovej
úlohy

ODR je splnená aj v i-tom uzle siete:
a 2 (xi )y(xi )  a1(xi )y(xi )  a 0 (xi )y(xi )  g(xi )



V tomto uzle nahradíme derivácie
diferenciami a zjednodušíme zápis:
Aproximovaná hodnota v bode xi : yi
a1(xi)=a1i....g(xi)=gi
Najjednoduchšia okrajová
úloha
u( x )  f ( x ), u(a )  u a , u( b)  u b

Numerická schéma pre i-ty uzol:
 ui1  2ui  ui1  h fi
2
Matica a
pravá strana
pre 4 uzly

 2 1 0 0 


 1 2 1 0 
 0  1 2  1


 0 0 1 2 


  h 2f1  u a 


2
  h f2 
  h 2f 
3


2
 h f  u 
4
b

Numerické riešenie okrajovej
úlohy

numerická schéma:
y i 1  2 y i  y i1
y i 1  y i 1
a 2i
 a1i
 a 0i yi  gi
2
h
2h

upravíme pre i=1,2,...n
a 2 i a1i
2a 2 i
a 2 i a1i
( 2  ) y i 1  (a 0i  2 ) y i  ( 2  ) y i 1  g i
h
2h
h
h
2h
Numerické riešenie okrajovej
úlohy

Zvlášť ošetríme prvú a poslednú rovnicu:
a 21 a11
2a 21
a 21 a11
( 2  ) y0  (a 01  2 ) y1  ( 2  ) y 2  g1
h
2h
h
h
2h

platí:

Prvá rovnica má tvar:
y(a )  ya ,
teda
y0  ya
2a 21
a 21 a11
a 21 a11
(a 01  2 ) y1  ( 2  ) y 2  g1  ( 2  ) ya
h
h
2h
h
2h
Numerické riešenie okrajovej
úlohy s Dirichletovými OP

Posledná rovnica:
a2 n a1n
2a2 n
a2 n a1n
( 2 
) yn 1  (a0 n  2 ) yn  ( 2 
) yn 1  g n
h
2h
h
h
2h

yn1  yb
y
(
b
)

y
,
b
platí:
teda

Posledná rovnica má tvar:
a2 n a1n
2 a2 n
a2 n a1n
( 2  ) yn 1  (a0 n  2 ) yn  g n  ( 2 
) yb
h
2h
h
h
2h
Numerické riešenie okrajovej
úlohy s Dirichletovými OP

Dostávame trojdiagonálny lineárny
systém rovníc Ay=F, kde
A je trojdiagonálna matica
typu n x n,
y je vektor neznámych hodnôt riešenia
F je vektor pravej strany
Trojdiagonálny systém

Vektor pravej strany:
a21 a11


 g1  ( 2  ) y a 
h
2h


g2


F


...


a2 n a1n
) yb 
 gn  ( 2 
h
2h


Trojdiagonálny systém

A má tvar:
2a21

 a01  2
h

 a22  a12
A   h 2 2h

...


...

a21 a11

2
h
2h
2a22
a02  2
h
..
0
0
a22 a12

2
h
2h
2 a2 n
a0 n  2
h

... 


0

... 
a2 n a1n 


2
h
2h 
Príklad

Diferenčnou metódou sietí riešte okrajovú
úlohu:
3
2
y  y  x  6x  1
y(0)  1, y(2)  5
Tvar matice a pravej strany
0
0
0
0
0
0
23.752
25 51 25 0
0
0
0
0
0
2.024
0
25 51 25 0
0
0
0
0
3.376
0
0
25 51 25 0
0
0
0
5.352
0
0
0
25 51 25 0
0
0
0
0
0
0
25 51 25 0
0
11.368
0
0
0
0
0
25 51 25 0
15.504
0
0
0
0
0
0
25 51 25
20.456
0
0
0
0
0
0
0
98.728
51 25 0
A

ries
lsolve( A  PS)
rr
25 51
1
A  PS
PS 
8
Numerické výsledky

h=0.4
Numerické výsledky

h=0.2
pres
 exp( X)
8.286134462
 exp( ( X) )
5.713865537
X
3
6X
2
6X
13
presne riesenie
5
4
3
2
1
numerické riešenie h=0.4
0.5
-1
1
1.5
2
numerické riešenie h=0.2
Príklad

Nájdite numerické riešenie okrajovej
úlohy s nekonštantnými koeficientami:
xy  xy  y  x (sin x  cosx )  2x sin x
2
y(0)  0, y( )  

A=
PS=
Výsledky v tabuľke

hodnota x num. ries. pres. ries odchylka
– presné riešenie
numerické riešenie n=5
numerické riešenie n=10
Graf
0.5
-1
-2
-3
1
1.5
2
2.5
3