Transcript Оптимальный регулятор по состоянию

Л.Н. Кривдина
СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ
НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНЫХ
МАТРИЧНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Цель работы



Разработать подход к синтезу цифровых регуляторов для линейных
динамических объектов, основанный на применении аппарата
линейных матричных неравенств.
Синтезировать дискретные регуляторы следующих видов:
– стабилизирующий регулятор по состоянию;
– стабилизирующий регулятор по выходу;
– D-стабилизирующий регулятор;
– оптимальный и  -оптимальный регуляторы по состоянию;
– оптимальный и  -оптимальный регуляторы по выходу.
Разработать методы нахождения параметров соответствующих
регуляторов, основанные на применении аппарата линейных
матричных неравенств.
Оптимальные регуляторы по состоянию
Объект управления:
xt 1  A xt  B u t , x0 , t  0 ,1, 2 ,...
zt  C xt  D u t ,
(1)
где z t   n z – управляемый выход, x0 – начальное состояние.
Регулятор:
ut   xt
(2)
Цель управления: минимизация функционала

J   zt .
t 0
2
(3)
Теорема 1.
Оптимальный регулятор по состоянию существует тогда и
только тогда, когда существуют Y  Y T  0 , Z и число  2  0 ,
удовлетворяющие линейным матричным неравенствам
Y


0

 ( AY  BZ )T

Y
 T
 x0
0
I
(CY  DZ )T

 0,
2
x0 
x0

2
AY  BZ 

C Y  DZ   0 ,
 Y 
(4)
(5)
где x0  0 –заданное начальное состояние объекта. Если (4) и (5)
разрешимы, то   Z Y1 , где Y и Z – матрицы, соответствующие минимально возможному  2  0.
Оптимальные регуляторы по выходу
Объект управления:
xt 1  A xt  B ut , t  0 , 1 , 2 ,...
zt  C 1 xt  D ut ,
Регулятор:
(6)
yt  C2 xt .
xt(r 1)  A r xt( r )  Br yt ,
x0( r )  0 ,
(7)
ut  Cr xt( r )  Dr yt .
Цель управления: минимизация функционала

J   zt .
t 0
2
(8)
Теорема 2.
Оптимальный регулятор по выходу вида (7) с x0( r )  0 для дискретного объекта (6) с заданным
x0  0 существует тогда и только тогда ,
когда существуют X 11  X 11T  0 , Y11  Y11T  0 и число  2  0 , удовлетворяющие линейным матричным неравенствам
WC

 0
2
 W1 
 
W2 
0

I
T
T
 AT X 11 A  X 11 C1T  WC

 
C1
 I  0

2
0
0,
I
AY11C1T   W1 
 AY11 AT  Y11

    0 ,
T
T
C1Y11C1  I  W2 
 C1Y11 A
(9)
 X 11 I 
2

  0 , x0T X 11 x0   2 x0 ,
 I Y11 
где столбцы матрицы WC2 образуют базис ядра матрицы C2 , а столбцы
матрицы W1T W2T  T образуют базис ядра матрицы BT DT  .
 -оптимальные
регуляторы по выходу
Постановка задачи:

   inf   0 :  J ()   2 x0
2
 x0  0

(10)
Теорема 3.  -оптимальный регулятор по выходу вида (7) с x0( r )  0 для дискретного объекта (6) существует тогда и только тогда , когда существуют X 11  X 11T  0 ,
Y11  Y11T  0 и число  2  0, удовлетворяющие линейным
матричным неравенствам (9), в которых последнее неравенство заменено следующим
X 11   2 I .
(11)
Численные результаты
Уравнения двухзвенного перевёрнутого маятника:
 1 2 1  2  u ,
 2  2 1 2 2 .
 1.2660  0.1357 0.5433  0.0219 


  0.2715 1.2660  0.0438 0.5433 
A
,

1.1300  0.5871 1.2660  0.1357


  1.1740 1.1300  0.2715 1.2660 
(12)
 0.1303 


  0.0054 
B
0.5433 


  0.0438 
1 0 0 0
 0


 
C   0 1 0 0 , D   0
 0 0 0 0
 0


 
Оптимальный регулятор по состоянию
   15.2760 19.2566  4.6653 12.8023
(13)
Оптимальный регулятор по выходу
1 0 0 0
 0


 
C 1  0 1 0 0  , C2  1 1 0 0 , D   0 
 0 0 0 0
 0


 
  37.8202  34.5619

 9.6150
  10.7705
    184.2909  166.9650

 8.0676
  8.4791
 372.9398
338.4107

 0.0665 1.7263
 37.0662 

 0.0163 0.3766
 10.6175 
 1.2720
6.9603  177.0698 

 0.0626 0.5156
 8.0442 
4.6651  12.8007 357.6649 
(при начальном условии x0  1 0 0 0  )
T
 42.1501 
  43.0922  39.5116  0.1041 1.8365


 6.3333
0.0290
0.2448
 7.1758 
  7.1026
    199.0342  181.1498  1.3374 7.1509  191.4859 


 1.1063
0.0253
0.2599
 0.7724 
  0.7682
 390.5432
356.0141
4.6651  12.8007 375.26874 

(при начальном условии
T
x0   0.8660 0.5000 0 0  )
 -оптимальный регулятор по выходу
  40.3296  37.2322

  14.5065  13.1555
    202.9335  185.8910

  14.2756  13.4840
 418.2354
383.7064

 0.0646 1.6460
 39.6053 

 0.0186
0.4741
 14.3174 
 1.2686
6.8189  195.7647 

 0.0672 0.7053
 13.7707 
4.6651  12.8007 402.9606 
x0  cos a sin a 0 0 , a [0 ;  ]
T
(14)
Выводы




Разработан подход к синтезу цифровых регуляторов для линейных
дискретных динамических объектов, основанный на применении
аппарата линейных матричных неравенств.
Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия
существования дискретных динамических регуляторов следующих видов:
– стабилизирующий регулятор по состоянию;
– стабилизирующий регулятор по выходу;
– D-стабилизирующий регулятор;
– оптимальный и  -оптимальный регуляторы по состоянию;
– оптимальный и  -оптимальный регуляторы по выходу.
Разработаны методы нахождения параметров соответствующих
регуляторов, основанные на применении аппарата линейных матричных
неравенств.
В качестве иллюстрирующих примеров синтезированы регуляторы для
дискретной модели одно- и двухзвенного перевернутых маятников.
Многоцелевые законы управления дискретными
объектами при ограничениях
Объект управления:
xt 1  A xt  B ut , t  0 , 1 , 2 ,...
yt  C xt ,
zt(i )  C i xt  Di ut , i  1, m ,
zt( j )  C j xt  D j ut ,
Функционалы:

Ii  
t 0
(i ) 2
zt
I j  max
t 0
j  m  1, N
, i 1,m
( j) 2
zt
,
(15)
j  m 1, N
(16)
(17)
Целевой функционал:
N
I    k Ik ,  k  0 ,
k 1
N
 k 1
(18)
k 1
Функционал Is (s=1,2,…,N) входит в целевой критерий (18),
если  s  0 ,
или определяет ограничение
I s   s2
с заданным
s  0 ,
если
(19)
 s  0.
Цель управления:минимизация целевого функционала(18) при
выполнении ограничений (19), т.е.
I 2
при минимально возможном значении   0 с учетом
ничений (19).
(20)
огра-
Многоцелевые регуляторы по
состоянию
Объект управления:
xt 1  A xt  B ut , t  0 , 1 , 2 ,...
(21)
zt(i )  C i xt  Di ut , i  1, m ,
zt( j )  C j xt  D j ut ,
j  m  1, N
Регулятор:
ut   xt
(22)
I 2
(23)
Цель управления:
при минимально возможном
 0
с учетом ограничений (19).
Теорема 4.
Пусть  2 - минимальное значение  2 , при котором система линейных
матричных неравенств
Y
 T
 x0
Y


x0 
  0 , 
0
1
 Y AT  Z T BT


Y

 C jY  D j Z

0
  i2 I
YC Ti  Z T DiT
AY  BZ 

Ci Y  Di Z   0 ,

Y

YC Tj  Z T DTj 
 0 , i 1,m ,
2

 jI

N
  2k  k2   2
j  m 1, N ,
(24)
(25)
(26)
k 1
разрешима относительно Y  Y T  0 ,  2  0 и всех  k2  0 , для которых
в целевом функционале(18) имеет место  k  0 . Тогда закон управления (22)
в котором     Z  Y 1 , где Y и Z - решения, соответствующие
значению  2 , является многоцелевым законом управления по состоянию
для системы (21).
Многоцелевые регуляторы по выходу
Объект управления:
xt 1  A xt  B ut , t  0 , 1 , 2 ,...
yt  C xt ,
(27)
zt(i )  C i xt  Di ut , i  1, m ,
Регулятор:
zt( j )  C j xt ,
j  m  1, N
xt(r1)  A r xt( r )  B r yt , x0( r )  0 ,
Цель управления:
ut  Cr xt( r )  Dr yt
(28)
I 2
(29)
при минимально возможном
  0 с учетом ограничений (19).
Теорема 5.
Пусть  2- минимальное значение  2 , при котором система линейных
матричных неравенств
WCT ( AT X11 A  X11 )WC WCT C Ti 

0,
2 

Ci WC
 i I 

T
  W1 
 W1   AY11 AT  Y11
AY11C Ti
     0 ,
   
T
T
2
Ci Y11C i   i I  W2 
W2   Ci Y11 A
 X11 I 

  0 , i  1 , m ,
I
Y

11 
C j Y11C Tj   2j I ,
(30)
j  m 1, N ,
x0T X11x0  1 ,
(31)
N
  2k  k2   2
k 1
(32)
T
где BTW1  DTW2  0 , разрешима относительно (nx  nx )-матриц X11  X11
0,
T
Y11  Y11
 0 ,  2  0 и всех  k2  0 , для которых в целевом функционале
(18) имеет место  k  0 . Тогда существует многоцелевой закон управления
по выходу вида (28) для системы (27).
Численные результаты
Уравнения однозвенного перевёрнутого маятника:
   u

(33)

2
2
2

(




u
) dt

0
(34)
  0.5
(35)
 1.128 0.5211
 0.1276 
A
, B

 0.5211 1.128 
 0.5211
1 0
 0


 
C 1  0 1  , D1  0  , C2  0 1 , D 2 0
 0 0
1


 
   1.5277  2.1307 ,  2  11.3812 ,
x 0 1 0T
Выводы

Решена задача многоцелевого управления по
состоянию для дискретных объектов.

Решена задача многоцелевого управления по
выходу для дискретных объектов.
Спасибо за
внимание!