Transcript Aula 03 de Resistência I – Esforços 2
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Aula 03 continuação
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Cap. I: Conceitos Preliminares
I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
I.2. Elementos Básicos
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas
I.2.2. Esforços nas Estruturas
I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais I.3. Problemas e Métodos
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão
A
F
Reduzindo os esforços distribuídos ao longo de uma área elementar a um ponto qualquer desta área:
A
F
M
: : área elementar : força elementar
Tensão Média: Tensão num Ponto:
m
F
A
lim
A
0
F
A
dF dA
momento elementar (desprezível) A unidade de tensão é, portanto, unidade de “
força / comprimento 2
”: N/m 2 , kN/cm 2 , MPa, GPa, etc.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão
y
t
z x
s
z z
A tensão num ponto pode ser decomposta em:
Tensão Normal
s
z
, na direção normal z e
Tensão de Cisalhamento
t
z
, na direção tangencial (plano x-y, normal à direção z).
A Tensão de Cisalhamento t
z
pode ser decomposta em duas componentes: t
zx
, na direção x, e t
zy
, na direção y.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão
y
A
tensão normal
separação por se opõe à força de entre as moléculas do corpo, que impede a sua
afastamento
ou
coesão esmagamento
.
t
z x
s
z z
A
tensão de cisalhamento
se opõe à força de
atrito
entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por
deslizamento
ou
cisalhamento
.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão
y
t
z x
s
z z
Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infinito de valores da tensão ou de suas componentes s e t . A este conjunto dá-se o nome de
Estado de Tensão no Ponto
.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão
dy z y P x
O
Estado de Tensão Num Ponto
pode, no entanto, ser definido a partir do conhecimento das componentes s e t em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Se
dx
,
dy
e
dz
são as distâncias infinitesimais representação do ponto
P dx
entre planos paralelos que isolem um ponto
P
, o paralelepípedo resultante da interseção destes planos entre si pode ser utilizado para
dz
representar este ponto.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão
s
z
t
yz
s
y
t
zy
t
zx
t
yx
t
xy
t
xz
s
x
As componentes de tensão nas facetas deste paralelepípedo elementar são: s x , t xy , t xz , s y , t yz , t yx , s z , t zx brio estático.
e t zy . As forças resultantes nes tas facetas constituem um sistema em equilí t
xz
t
zx
s
x
t
xy
t
yx
t
yz
s
y
s t
zy z
t s
n n
Em um plano inclinado em relação aos planos das facetas do paralelepípedo agem as compo nentes s n e t n .
Este plano também contém o n ponto
.
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão
s
x
s
z
t
yz
t
zy
s
y
t
zx
t
yx
t
xy
t
xz
s
x
s n é a tensão normal e t n mento neste plano (
n
a tensão de cisalha é o eixo normal ao plano e
t
é um eixo tangente).
t
xz
t
zx
s
z
t
xy
t
yx
t
yz
s
y
t
zy
t
n
s
n n
A partir das condições de equilíbrio estático, S
F n
= 0 e S
F t
= 0 obtém-se as componentes s n e t n em função de s x , t xy , t xz , s y , t yz , t yx , s z , t zx , t zy e dos cossenos diretores da normal
n.
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão
s
x
s
y
t
yz
t
zy
t
yx
t
xy
Assim, conhecendo-se as componentes de tensão em três planos arbitrários, ortogonais s
z
t
zx
t
xz
s
x
entre si, pode-se conhecer as componentes em t
xz
t
zx
s
z
t
xy
t
yx
t
yz
s
y
t
zy
t
n
s
n n
qualquer outro plano que contenha o ponto, por meio de fórmulas de recorrência obtidas a partir das citadas condições de equilíbrio estático das forças elementares que atuam nas facetas do tetraedro infinitesimal indicado.
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão
z dy y
s
z
t
yz
s
y
t
zy
t
zx
t
yx
t
xy
t
xz
s
x x dz dx
Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto pode ser representado, como dito, pelas com ponentes em três planos ortogonais arbitrá rios: s x , t xy , t xz , s y , t yz , t yx , s z , t zx e t zy .
Da condição de equilíbrio de momentos em torno do eixo
x
indicado, tem-se: S
M x
= 0 a ( t yz
dxdz
)
dy
– ( t zy
dxdy
)
dz
= 0
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão
dy y
s
z
t
yz
s
y
t
zy
t
zx
t
yx
t
xy
t
xz
s
x
Logo, t yz = t zy Analogamente,
.
y
s
y
t
yx
t
xy
s
x dz x
t xy = t yx e t zx = t xz .
x z dx Teorema
: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão Num Ponto: s x , s y , s z , t xy , t yz , e t zx .
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão
dy y
s
z
t
yz
s
y
t
zy
t
zx
t
yx
t
xy
t
xz
s
x
Logo, t yz = t zy Analogamente,
.
y
s
y
t
yx
t
xy
s
x dz x
t xy = t yx e t zx = t xz .
x z dx Teorema
: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” Convenção de Sinais: + s
x
_ s
x
+ t
xy
_ t
xy Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão
t
zy
Relações entre Esforços Internos e Tensões
y
Se s
z
, t
zx
e t
zy
são as componentes de tensão num ponto qualquer do plano x-y, os esforços elementares correspondentes são: t
zx x
s
z z dV x
t
zx dA
,
dV y
t
zy dA
e
dN
s
z dA
.
Integrando estes esforços elementares:
V x
A
t
zx dA
esforço cortante na direção
x V y
A
t
zy dA N
A
s
z dA
esforço cortante na direção
y
esforço normal
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES y dV y dV x x dN z
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão
t
zy
Relações entre Esforços Internos e Tensões
y
t
zx x
s
z
Os momentos elementares em torno dos eixos de referência são:
dM dT x
ydN dM z
y
s
xdV y z dA
,
dM ydV x
y
x
t
xdN zy dA
y
t
x
s
z dA
e
zx dA y z
Integrando estes momentos elementares: momentos
M x T
A
A
x
t
y
s
zy z dA
y
t
M zx y
dA
A x
s
z dA
momento torsor fletores em torno de
x
e de
y dA
x dA y dxdy x Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES y dV y dV x x dN z y x dM y x dV y y dV x dN dM x dT z
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação
A’ A
q
B
Sejam
AB
e
AC
dois segmentos de reta defi nindo um plano do corpo e formando um ân gulo q entre si.
C
plano indeformado
q
’ B’
O corpo se deforma após a ação dos esforços e, consequentemente, os pontos
A
,
B
deslocam para as posições
A’
,
B’
e
C’
e
C
se , respec tivamente.
C’
plano deformado
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Deformação Linear Média:
A’ A B
q
C
plano indeformado
Se e AB AC
s
e A' B'
s
s
t
e A' C'
t
t
, q
’ B’
m AB
A
B
AB
AB
s
e
s m AC
A
C
AC AC
t t C’
plano deformado
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I.2.2. Esforços nas Estruturas
A A’
q
plano indeformado
q
’ B C B’
y x
Conceito de Deformação
Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento
AB
e y o eixo orientado que define a direção do segmento
AC
,
Deformação Linear de um Ponto:
x lim
AB
0
m AB
e y lim
AC
0
m AC
O conceito de deformação
linear
pressupõe a
direção
de um ponto na qual é medida.
C’
plano deformado
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I.2.2. Esforços nas Estruturas
A
q
B
x
Conceito de Deformação
x y é a deformação
linear
é a deformação
linear
do ponto
A
do ponto
A
na
direção
na
direção
x e y .
C
y
plano indeformado
A’ B’
q
’
Deformação Linear é uma grandeza adimensional. Pode ser expressa em %.
C’
plano deformado
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação
A B
q
C
plano indeformado Deformação Angular Média:
Se B ˆ C q e B' ˆ ' C' q q ,
m ABC
B ˆ C B ˆ C q
A’
q
’ B’ C’
plano deformado
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I.2.2. Esforços nas Estruturas
A A’
q
plano indeformado
q
’ B C B’
y x
Conceito de Deformação
Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento
AB
e y o eixo orientado que define a direção do segmento
AC
,
Deformação Angular de um Ponto:
xy lim
AB
AC
0 0
m ABC
O conceito de
deformação angular
ponto pressupõe o
plano
de um na qual é medida.
C’
plano deformado
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I.2.2. Esforços nas Estruturas
B
x
Conceito de Deformação
xy é a deformação
angular
do ponto
A
no
plano
xy.
A
q
C
y
plano indeformado
A’ B’
q
’
Deformação Angular é uma grandeza adimensional. Deve ser expressa em
rd
.
C’
plano deformado
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação
A’ A B
q
C
plano indeformado
Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infini to de valores das deformações e . A este conjunto dá-se o nome de
Estado de Defor mação no Ponto
.
q
’ B’ C’
plano deformado
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação
z
yz
y
yz
zx
xy
xy
zx
x
Analogamente ao Estado de Tensão, o
de Deformação Num Ponto Estado
também pode ser definido a partir do conhecimento das deformações e em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Representado o ponto pelo paralelepípedo elementar, as deformações em suas facetas são: x , y , z , xy , yz e zx .
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação
z
yz
y
yz
zx
xy
xy
zx
x
x y z : deformação linear na direção : deformação linear na direção : deformação linear na direção
z x y
, , , xy : deformação angular no plano
x-y
, yz : deformação angular no plano
y-z
, zx : deformação angular no plano
z-x
.
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações
v
A A y A’ AA'
deformação do corpo solicitado.
plano deformado
u w
x A’
Decompondo este deslocamento em direções x, y e z tri-ortogonaias arbitrárias:
u
: deslocamento do ponto A na direção x
v
: deslocamento do ponto A na direção y
w
: deslocamento do ponto A na direção z
z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações
A A’
Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma ção, este ponto se deslocará para uma posição B’.
A
'
xy
: projeção do ponto A’ no plano x-y
v
A y
plano deformado
u
A’ xy
w
B
'
xy
: projeção do ponto B’ no plano x-y
y x B
'
xy A’ A
'
xy v A u A
'
x x B B B
'
x
y B x
x B z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações
v
A A y A’ x B
: coordenada do ponto B segundo o eixo x
u
: deslocamento do ponto A na direção x
x B = u +
u
: deslocamento do ponto B na direção x
plano deformado
u
A’ xy
w
y x B
'
xy A’ A
'
xy v A u A
'
x x B B B
'
x
y B x
x B z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações
v
A A y
u
A’
plano deformado
A’ xy
w
Por definição, a deformação linear média do segmento AB é:
m AB y
m AB
A x
B x
u
AB
AB
u
u x B
x B
u x B
x B x B
u
x B
u x B
'
xy A’ A
'
xy v A u A
'
x x B B B
'
x
y B x
x B
x B
u
u z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações
A y A’
plano deformado
Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é:
y
x
Logo, lim
AB
0
m AB
x
u
x
, lim
x B
0
u x B
y
u
x
v
y
e
z
w
z
.
A’ xy x B
'
xy A’ A
'
xy
v u
A
w
v A u A
'
x x B B B
'
x
y B x
x B
x B
u
u z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações
v
A A y A’
Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma ção, este ponto se deslocará para uma posição C’.
C
'
xy
: projeção do ponto C’ no plano x-y
plano deformado
u
A’ xy
w
x A’ y
x C
y C C
'
y y C C v A
'
y A A
'
xy A
'
x u x B
q
y C
'
xy B B
'
xy
q
x
y B B
'
x x
x B
x B
u
u z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações
v
A A y A’ y C
: coordenada do ponto C segundo o eixo y
v
: deslocamento do ponto A na direção y
y C = v +
v
: deslocamento do ponto C na direção y
plano deformado
u
A’ xy
w
x A’
y C y A C
'
y y C C v A
'
y u
x C
q
y C
'
xy A
'
xy A
'
x x B B
'
xy B
q
x
y B B
'
x x
x B
x B
u
u z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações
A A’
plano deformado
Por definição, a deformação angular média do plano ABC é:
m ABC m ABC
B
xy
ˆ
y
xy B x B
C
xy
v
x B
u B
ˆ
C
y C
q
x C x
y c u
q
y v
x B
v
u
y C
u
v y
v
A
u
A’ xy
w
y
x C C
'
xy x A’
y C y C C v A C A
'
y
'
y u A
'
xy A
'
x x B
q
y B
q
B
x
'
x x B B
'
xy
y B x
x B
y C
u v
u
v z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações
A A’
m ABC
1
v
u x B x B
1
u
v y C y C
plano deformado
m ABC
x B
y B
x B v
u
v
1
x B
m AB y C
x C
y c u
v
1
u
y C
m AC x B
v
u
y C
u
v y
v
A
u
A’ xy
w
y
x C C
'
xy x A’
y C y C C v A C A
'
y
'
y u A
'
xy A
'
x x B
q
y B
q
B
x
'
x x B B
'
xy
y B x
x B
y C
u v
u
v z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações
A A’
m ABC
1
v
u x B x B
1
u
v y C y C
plano deformado
Como 1
m AB
1
m AC
1 ,
v
1
x B
m AB
m ABC
1
u
y C
m AC
v x B
u y C y
v
A
u
A’ xy
w
y
x C C
'
xy x A’
y C y C C v A C A
'
y
'
y u A
'
xy A
'
x x B
q
y B
q
B
x
'
x x B B
'
xy
y B x
x B
y C
u v
u
v z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações
Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é:
v
A A y
u
A’
plano deformado
A’ xy
w
y
xy
Logo,
x C
lim
AB AC
0 0
xy
m ABC
v x
u
lim
x B y C
0 0
y
,
yz
v x B
C
'
xy
w
y
u y C
v
x
v
z
e
x A’
y C y C C v A C A
'
y
'
y u A
'
xy A
'
x x B
q
y B
q
B
x
'
x x B B
'
xy
y B x
x B
y C
u v
u
v z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
zx
u
y
u
z
w
x
.
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações
A A’
Finalmente, as relações entre deslocamentos e deformações são:
y
plano deformado
deformações lineares
x
u
x
y
v
y
z
w
z A’ xy x
v
A
u
A’
deformações angulares
xy
v
x
u
y
yz
w
y
v
z
zx
u
z
w
x
w
z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
Estados de Tensão:
y
s
y y
s s
x dy
s
z x dz z dx
Estado Triplo ou Triaxial
s s
x
s
y
s
z
s
dy
s
x dz z dx
Estado Triaxial Uniforme
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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis
Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
Estados de Tensão:
y
s
y
t
yx
t
xy
s
x dy x z dx
Estado Plano
dz y dy
s
y
t
yx
t
xy
s
x dx x
notação alternativa
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
Estados de Tensão:
s
y y
s
y dy
s
x dx x
Estado Duplo ou Biaxial
dy
s
dx x
Estado Biaxial Uniforme
s
x
s
y
s
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
Estados de Tensão:
y dy dx
Estado Simples
x
s
x y
t
yx
t
xy dy
t
xy
t
yx dx x
Estado de Cisalhamento Puro
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
Estados de Deformação:
y
y y
x dy
z x dz z dx
Estado Triplo ou Triaxial
x
y
z
dy
x dz z dx
Estado Triaxial Uniforme
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
Estados de Deformação:
y
y
yx
xy
x dy x z dx
Estado Plano
dz y dy
y
yx
xy
x dx x
notação alternativa
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
Estados de Deformação:
y y
y dy
x dx x
Estado Duplo ou Biaxial
dy
dx x
Estado Biaxial Uniforme
x
y
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação
Estados de Deformação:
y dy dx
Estado Simples
x
x y
yx
xy dy
xy
yx dx x
Estado de Cisalhamento Puro
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke
: “
As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite
”
Às tensões normais correspondem deformações lineares
dy
y dy
s
x y
Às tensões tangenciais correspondem deformações angulares
t
yx y dy
elemento indeformado
elemento deformado dx
dx
x dx
s
x x
x y z
s s s
x x x dy
elemento indeformado elemento deformado
xy
dx
1 2 2 1 t
xy x Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
xy
t
xy
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke
: “
As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite
”
Constantes de Proporcionalidade:
dy
y dy
s
x y dy
elemento indeformado
elemento deformado dx
dx
x dx
s
x x
x y
s
x
E z
E
: Módulo de Young ou Módulo de Deformação Longitudinal s
x
: Coeficiente de Poisson
E Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke
: “
As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite
”
Constantes de Proporcionalidade:
xy
t
xy G y dy
t
yx
elemento indeformado elemento deformado t
xy G
: Módulo de Deformação Transversal
xy
dx
1 2 2 1
x Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke
: “
As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite
”
Constantes de Proporcionalidade: E
e
G
são também chamados de
Módulos de Elasticidade
Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke só é válida no
regime elástico
.
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke
: “
As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite
”
Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE):
“
Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se paradamente
”
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações
z
Lei Generalizada de Hooke
:
y
s
y
Utilizando o PSE, t
yz
t
zy
t
yx
t
xy
as somas das defor mações decorrentes s
x dy
s
z
t
zx
t
xz x
de cada componen te de tensão, no ca-
dz dx
so geral de Estado de Tensão em um ponto, serão:
x
y
z
s
x E
s
y E
s
z E
E
s
y
E
s
z
s
z
s
x
E
s
x
s
y
xy
yz
t
xy G
t
yz G
zx
t
zx G Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke
:
z
dy
y
s
z
t
yz
t
zy
s
y dx
t
zx
t
yx
t
xy
t
xz dz
s
x x
Resolvendo para obter as tensões : s s
x y
x
y
1 1 1 1
y z
z x
t t t
xy zx yz
G
xy G
G
yz zx
1
E
1 2 s
z
z
1 1
x
y
e
G
são as Constantes de Lamé
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações
y
Observações
:
y
y dy dx
Estado Simples de Tensão
x
s
x
A um estado simples de tensão corresponde um estado triplo de deformação s
x z x
E
y
z
s
E x dy
z dx dz
Estado Triplo de Deformação
x x Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações
y
Observações
:
y
s
y dy dx
Estado Simples de Deformação
x
x
A um estado simples de deformação corresponde um estado triplo de tensão s
x
x
s
y
s
z
1
x
z dy
s
z dx dz
s
x
Estado Triplo de Tensão
x Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação
: Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto, realizam onde
W U
TRABALHO
.
W
U
K
é o trabalho realizado pelos esforços, é a energia potencial do corpo deformado e
K
é a energia cinética da velocidade da massa do corpo.
K
W
U
.
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação
: Seja
dw
a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço
N
é
dU N = Ndw
.
O esforço
N
é proporcional ao deslocamento
w
.
N
k z w U N
dU N
k z
w wdw
k z
k z wdw w
2
U N
2
Nw
2
N Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES dz dw N
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação
: Seja
dw
a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço
N
é
dU N = Ndw
.
O esforço
N U N
é proporcional ao deslocamento
w
.
dN
.
dw N dw N Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação
: Seja
dw
a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço
N
é
dU = Ndw
.
N
O esforço
N dU
1 2
dN
.
dw
é proporcional ao deslocamento
w
.
x dU
dU
1 2 s
z dA
.
z dz
dU dV
1 2 s
z
z dV Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
x dz dw N
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação
: Como a energia é uma grandeza escalar,
dU dV
1 2 s
x
x
s
y
y
s
z
z
t
xy
xy
t
yz
yz
t
zx
zx
é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento de volume infinitesimal
dV=dx.dy.dz
.
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações
y
Energia Potencial de Deformação
:
dA
2 2 Seja o estado de cisalhamento puro. Em um plano inclinado de 45º, tem-se:
F n
0 s 45
dA
2 t
xy
dA
2 2 2 0 s 45 t
xy dy
F t
0 t 45
dA
t
xy
dA
2 2 2 2 t
xy
dA
2 2 2 2 0 t
yx
s 45 t
xy dx
t 45 t 45 0
dA x Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES
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I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações
y
Energia Potencial de Deformação
: s 45 Repetindo o raciocínio para um plano perpendicular ao plano inclinado considerado (-45º):
y
t
yx
s t
xy
s 45 t
xy
e t 45 0 t
xy dy
Logo, são equivalentes os seguintes estados de tensão:
dx x
cisalhamento puro
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45 45º
dx
biaxial t
yx
t
xy x
s t
xy
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação
: A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é:
dU dV
1 2 t
xy
xy
t 2
xy
2
G
Para o estado biaxial é:
dU x y
s s
E y E x
1 2 s
x
s
x
s
E x E y
s t
y
xy
E
t
E y
xy
1 1 t 2
xy
x
y
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação
: A energia potencial de deformação unitária para o Para o estado biaxial é:
dU
estado de cisalhamento puro é: 1 2 s
x
x
s
y
y
t 2
xy
x
y
dU dV
1 2 t
xy
xy
t 2
xy
2
G dU dV
t 2
xy E
1 Igualando as duas expressões:
G
2 1
E
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Cap. I: Conceitos Preliminares
I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação
: Em suma, as constantes de Lamé podem ser escritas em função do Módulo de Elasticidade e do Coeficiente de Poisson como: 1
E
1 2 e
G
2 1
E
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Fim da Aula 03
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