Aula 03 de Resistência I – Esforços 2

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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

Aula 03 continuação

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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

I.2. Elementos Básicos

I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

I.2.2. Esforços nas Estruturas

I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais I.3. Problemas e Métodos

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão

A

 

F

Reduzindo os esforços distribuídos ao longo de uma área elementar a um ponto qualquer desta área: 

A

 

F

 

M

: : área elementar : força elementar

Tensão Média: Tensão num Ponto:

m

   

F

A

lim 

A

 0 

F

A

dF dA

momento elementar (desprezível) A unidade de tensão é, portanto, unidade de “

força / comprimento 2

”: N/m 2 , kN/cm 2 , MPa, GPa, etc.

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão

y

 t

z x

s

z z

A tensão num ponto pode ser decomposta em:

Tensão Normal

s

z

, na direção normal z e

Tensão de Cisalhamento

t

z

, na direção tangencial (plano x-y, normal à direção z).

A Tensão de Cisalhamento t

z

pode ser decomposta em duas componentes: t

zx

, na direção x, e t

zy

, na direção y.

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão

y

 A

tensão normal

separação por se opõe à força de entre as moléculas do corpo, que impede a sua

afastamento

ou

coesão esmagamento

.

t

z x

s

z z

A

tensão de cisalhamento

se opõe à força de

atrito

entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por

deslizamento

ou

cisalhamento

.

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão

y

 t

z x

s

z z

Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infinito de valores da tensão ou de suas componentes s e  t . A este conjunto dá-se o nome de

Estado de Tensão no Ponto

.

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão

dy z y P x

O

Estado de Tensão Num Ponto

pode, no entanto, ser definido a partir do conhecimento das componentes s e t em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Se

dx

,

dy

e

dz

são as distâncias infinitesimais representação do ponto

P dx

entre planos paralelos que isolem um ponto

P

, o paralelepípedo resultante da interseção destes planos entre si pode ser utilizado para

dz

representar este ponto.

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão

s

z

t

yz

s

y

t

zy

t

zx

t

yx

t

xy

t

xz

s

x

As componentes de tensão nas facetas deste paralelepípedo elementar são: s x , t xy , t xz , s y , t yz , t yx , s z , t zx brio estático.

e t zy . As forças resultantes nes tas facetas constituem um sistema em equilí t

xz

t

zx

s

x

t

xy

t

yx

t

yz

s

y

s t

zy z

t s

n n

Em um plano inclinado em relação aos planos das facetas do paralelepípedo agem as compo nentes s n e t n .

Este plano também contém o n ponto

.

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão

s

x

s

z

t

yz

t

zy

s

y

t

zx

t

yx

t

xy

t

xz

s

x

s n é a tensão normal e t n mento neste plano (

n

a tensão de cisalha é o eixo normal ao plano e

t

é um eixo tangente).

t

xz

t

zx

s

z

t

xy

t

yx

t

yz

s

y

t

zy

t

n

s

n n

A partir das condições de equilíbrio estático, S

F n

= 0 e S

F t

= 0 obtém-se as componentes s n e t n em função de s x , t xy , t xz , s y , t yz , t yx , s z , t zx , t zy e dos cossenos diretores da normal

n.

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão

s

x

s

y

t

yz

t

zy

t

yx

t

xy

Assim, conhecendo-se as componentes de tensão em três planos arbitrários, ortogonais s

z

t

zx

t

xz

s

x

entre si, pode-se conhecer as componentes em t

xz

t

zx

s

z

t

xy

t

yx

t

yz

s

y

t

zy

t

n

s

n n

qualquer outro plano que contenha o ponto, por meio de fórmulas de recorrência obtidas a partir das citadas condições de equilíbrio estático das forças elementares que atuam nas facetas do tetraedro infinitesimal indicado.

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão

z dy y

s

z

t

yz

s

y

t

zy

t

zx

t

yx

t

xy

t

xz

s

x x dz dx

Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto pode ser representado, como dito, pelas com ponentes em três planos ortogonais arbitrá rios: s x , t xy , t xz , s y , t yz , t yx , s z , t zx e t zy .

Da condição de equilíbrio de momentos em torno do eixo

x

indicado, tem-se: S

M x

= 0 a ( t yz

dxdz

)

dy

– ( t zy

dxdy

)

dz

= 0

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão

dy y

s

z

t

yz

s

y

t

zy

t

zx

t

yx

t

xy

t

xz

s

x

Logo, t yz = t zy Analogamente,

.

y

s

y

t

yx

t

xy

s

x dz x

t xy = t yx e t zx = t xz .

x z dx Teorema

: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão Num Ponto: s x , s y , s z , t xy , t yz , e t zx .

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão

dy y

s

z

t

yz

s

y

t

zy

t

zx

t

yx

t

xy

t

xz

s

x

Logo, t yz = t zy Analogamente,

.

y

s

y

t

yx

t

xy

s

x dz x

t xy = t yx e t zx = t xz .

x z dx Teorema

: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” Convenção de Sinais: + s

x

_ s

x

+ t

xy

_ t

xy Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão

t

zy

Relações entre Esforços Internos e Tensões

y

Se s

z

, t

zx

e t

zy

são as componentes de tensão num ponto qualquer do plano x-y, os esforços elementares correspondentes são: t

zx x

s

z z dV x

 t

zx dA

,

dV y

 t

zy dA

e

dN

 s

z dA

.

Integrando estes esforços elementares:

V x

 

A

t

zx dA

esforço cortante na direção

x V y

 

A

t

zy dA N

 

A

s

z dA

esforço cortante na direção

y

esforço normal

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES y dV y dV x x dN z

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão

t

zy

Relações entre Esforços Internos e Tensões

y

t

zx x

s

z

Os momentos elementares em torno dos eixos de referência são:

dM dT x

 

ydN dM z

 

y

s

xdV y z dA

 ,

dM ydV x

y

x

t 

xdN zy dA

  

y

t

x

s

z dA

e

zx dA y z

Integrando estes momentos elementares: momentos

M x T

  

A

A

x

t

y

s

zy z dA

y

t

M zx y

dA

  

A x

s

z dA

momento torsor fletores em torno de

x

e de

y dA

x dA y dxdy x Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES y dV y dV x x dN z y x dM y x dV y y dV x dN dM x dT z

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação

A’ A

q

B

Sejam

AB

e

AC

dois segmentos de reta defi nindo um plano do corpo e formando um ân gulo q entre si.

C

plano indeformado

q

’ B’

O corpo se deforma após a ação dos esforços e, consequentemente, os pontos

A

,

B

deslocam para as posições

A’

,

B’

e

C’

e

C

se , respec tivamente.

C’

plano deformado

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Deformação Linear Média:

A’ A B

q

C

plano indeformado

Se e AB AC 

s

e A' B' 

s

 

s

t

e A' C' 

t

 

t

, q

’ B’

m AB

A

B

 

AB

AB

s

e 

s m AC

A

C

 

AC AC

 

t t C’

plano deformado

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I.2.2. Esforços nas Estruturas

A A’

q

plano indeformado

q

’ B C B’

y x

Conceito de Deformação

Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento

AB

e y o eixo orientado que define a direção do segmento

AC

,

Deformação Linear de um Ponto:

 x  lim

AB

 0 

m AB

e  y  lim

AC

 0 

m AC

O conceito de deformação

linear

pressupõe a

direção

de um ponto na qual é medida.

C’

plano deformado

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I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

q

B

x

Conceito de Deformação

 x  y é a deformação

linear

é a deformação

linear

do ponto

A

do ponto

A

na

direção

na

direção

x e y .

C

y

plano indeformado

A’ B’

q

Deformação Linear é uma grandeza adimensional. Pode ser expressa em %.

C’

plano deformado

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação

A B

q

C

plano indeformado Deformação Angular Média:

Se B ˆ C  q e B' ˆ ' C'  q   q , 

m ABC

 B  ˆ  C   B ˆ C   q

A’

q

’ B’ C’

plano deformado

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I.2.2. Esforços nas Estruturas

A A’

q

plano indeformado

q

’ B C B’

y x

Conceito de Deformação

Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento

AB

e y o eixo orientado que define a direção do segmento

AC

,

Deformação Angular de um Ponto:

 xy  lim

AB

AC

 0 0 

m ABC

O conceito de

deformação angular

ponto pressupõe o

plano

de um na qual é medida.

C’

plano deformado

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I.2.2. Esforços nas Estruturas

B

x

Conceito de Deformação

 xy é a deformação

angular

do ponto

A

no

plano

xy.

A

q

C

y

plano indeformado

A’ B’

q

Deformação Angular é uma grandeza adimensional. Deve ser expressa em

rd

.

C’

plano deformado

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação

A’ A B

q

C

plano indeformado

Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infini to de valores das deformações  e  . A este conjunto dá-se o nome de

Estado de Defor mação no Ponto

.

q

’ B’ C’

plano deformado

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação

z

yz

y

yz

zx

xy

xy

zx

x

Analogamente ao Estado de Tensão, o

de Deformação Num Ponto Estado

também pode ser definido a partir do conhecimento das deformações  e  em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Representado o ponto pelo paralelepípedo elementar, as deformações em suas facetas são:  x ,  y ,  z ,  xy ,  yz e  zx .

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação

z

yz

y

yz

zx

xy

xy

zx

x

   x y z : deformação linear na direção : deformação linear na direção : deformação linear na direção

z x y

, , ,  xy : deformação angular no plano

x-y

,  yz : deformação angular no plano

y-z

,  zx : deformação angular no plano

z-x

.

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações

v

A A y A’ AA'

deformação do corpo solicitado.

plano deformado

u w

x A’

Decompondo este deslocamento em direções x, y e z tri-ortogonaias arbitrárias:

u

: deslocamento do ponto A na direção x

v

: deslocamento do ponto A na direção y

w

: deslocamento do ponto A na direção z

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações

A A’

Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma ção, este ponto se deslocará para uma posição B’.

A

'

xy

: projeção do ponto A’ no plano x-y

v

A y

plano deformado

u

A’ xy

w

B

'

xy

: projeção do ponto B’ no plano x-y

y x B

'

xy A’ A

'

xy v A u A

'

x x B B B

'

x

y B x

x B z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações

v

A A y A’ x B

: coordenada do ponto B segundo o eixo x

u

: deslocamento do ponto A na direção x 

x B = u +

u

: deslocamento do ponto B na direção x

plano deformado

u

A’ xy

w

y x B

'

xy A’ A

'

xy v A u A

'

x x B B B

'

x

y B x

x B z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações

v

A A y

u

A’

plano deformado

A’ xy

w

Por definição, a deformação linear média do segmento AB é: 

m AB y

m AB

 

A x

B x

u

AB

AB

u

u x B

  

x B

u x B

 

x B x B

u

  

x B

u x B

'

xy A’ A

'

xy v A u A

'

x x B B B

'

x

y B x

x B

x B

u

 

u z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações

A y A’

plano deformado

Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é:

y

x

 Logo, lim

AB

 0 

m AB

x

 

u

x

 , lim

x B

 0 

u x B

y

  

u

x

v

y

e 

z

 

w

z

.

A’ xy x B

'

xy A’ A

'

xy

v u

A

w

v A u A

'

x x B B B

'

x

y B x

x B

x B

u

 

u z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações

v

A A y A’

Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma ção, este ponto se deslocará para uma posição C’.

C

'

xy

: projeção do ponto C’ no plano x-y

plano deformado

u

A’ xy

w

x A’ y

x C

y C C

'

y y C C v A

'

y A A

'

xy A

'

x u x B

q

y C

'

xy B B

'

xy

q

x

y B B

'

x x

x B

x B

u

 

u z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações

v

A A y A’ y C

: coordenada do ponto C segundo o eixo y

v

: deslocamento do ponto A na direção y 

y C = v +

v

: deslocamento do ponto C na direção y

plano deformado

u

A’ xy

w

x A’

y C y A C

'

y y C C v A

'

y u

x C

q

y C

'

xy A

'

xy A

'

x x B B

'

xy B

q

x

y B B

'

x x

x B

x B

u

 

u z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações

A A’

plano deformado

Por definição, a deformação angular média do plano ABC é:  

m ABC m ABC

 

B

xy

ˆ 

y

xy B x B

C

xy

v

x B

 

u B

ˆ

C

y C

 q 

x C x

   

y c u

q 

y v

x B

v

 

u

y C

u

 

v y

v

A

u

A’ xy

w

y

x C C

'

xy x A’

y C y C C v A C A

'

y

'

y u A

'

xy A

'

x x B

q

y B

q

B

x

'

x x B B

'

xy

y B x

x B

y C

 

u v

  

u

v z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações

A A’

m ABC

 1  

v

u x B x B

 1  

u

v y C y C

plano deformado

m ABC

x B

y B

  

x B v

u

  

v

1 

x B

m AB y C

x C

  

y c u

v

  1 

u

y C

m AC x B

v

 

u

y C

u

 

v y

v

A

u

A’ xy

w

y

x C C

'

xy x A’

y C y C C v A C A

'

y

'

y u A

'

xy A

'

x x B

q

y B

q

B

x

'

x x B B

'

xy

y B x

x B

y C

 

u v

  

u

v z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações

A A’

m ABC

 1  

v

u x B x B

 1  

u

v y C y C

plano deformado

Como 1  

m AB

 1  

m AC

 1 ,  

v

1 

x B

m AB

m ABC

 1 

u

y C

m AC

 

v x B

 

u y C y

v

A

u

A’ xy

w

y

x C C

'

xy x A’

y C y C C v A C A

'

y

'

y u A

'

xy A

'

x x B

q

y B

q

B

x

'

x x B B

'

xy

y B x

x B

y C

 

u v

  

u

v z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações

Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é:

v

A A y

u

A’

plano deformado

A’ xy

w

y

xy

 Logo, 

x C

lim

AB AC

  0 0  

xy

m ABC

 

v x

  

u

 lim

x B y C

  0 0  

y

, 

yz

v x B

C

'

xy

 

w

y

u y C

    

v

x

v

z

e

x A’

y C y C C v A C A

'

y

'

y u A

'

xy A

'

x x B

q

y B

q

B

x

'

x x B B

'

xy

y B x

x B

y C

 

u v

  

u

v z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

 

zx

u

y

 

u

z

 

w

x

.

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações

A A’

Finalmente, as relações entre deslocamentos e deformações são:

y

plano deformado

deformações lineares 

x

 

u

x

y

 

v

y

z

 

w

z A’ xy x

v

A

u

A’

deformações angulares 

xy

 

v

x

 

u

y

yz

 

w

y

 

v

z

zx

 

u

z

 

w

x

w

z Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Tensão:

y

s

y y

s s

x dy

s

z x dz z dx

Estado Triplo ou Triaxial

s s

x

 s

y

 s

z

 s

dy

s

x dz z dx

Estado Triaxial Uniforme

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Tensão:

y

s

y

t

yx

t

xy

s

x dy x z dx

Estado Plano

dz y dy

s

y

t

yx

t

xy

s

x dx x

notação alternativa

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Tensão:

s

y y

s

y dy

s

x dx x

Estado Duplo ou Biaxial

dy

s

dx x

Estado Biaxial Uniforme

s

x

 s

y

 s

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Tensão:

y dy dx

Estado Simples

x

s

x y

t

yx

t

xy dy

t

xy

 t

yx dx x

Estado de Cisalhamento Puro

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Deformação:

y

y y

 

x dy

z x dz z dx

Estado Triplo ou Triaxial

 

x

 

y

 

z

 

dy

x dz z dx

Estado Triaxial Uniforme

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Deformação:

y

y

yx

xy

x dy x z dx

Estado Plano

dz y dy

y

yx

xy

x dx x

notação alternativa

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Deformação:

y y

y dy

x dx x

Estado Duplo ou Biaxial

dy

dx x

Estado Biaxial Uniforme

x

 

y

 

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

Estados de Deformação:

y dy dx

Estado Simples

x

x y

yx

xy dy

xy

 

yx dx x

Estado de Cisalhamento Puro

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke

: “

As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite

Às tensões normais correspondem deformações lineares

dy

 

y dy

s

x y

Às tensões tangenciais correspondem deformações angulares

t

yx y dy

elemento indeformado

elemento deformado dx

dx

x dx

s

x x

  

x y z

   s s s

x x x dy

elemento indeformado  elemento deformado

xy

dx

 1    2 2  1 t

xy x Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

xy

 t

xy

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke

: “

As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite

Constantes de Proporcionalidade:

dy

 

y dy

s

x y dy

elemento indeformado

elemento deformado dx

dx

x dx

s

x x

 

x y

  s

x

E z

  

E

: Módulo de Young ou Módulo de Deformação Longitudinal s

x

 : Coeficiente de Poisson

E Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke

: “

As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite

Constantes de Proporcionalidade:

xy

 t

xy G y dy

t

yx

elemento indeformado elemento deformado t

xy G

: Módulo de Deformação Transversal 

xy

dx

 1    2 2  1

x Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke

: “

As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite

Constantes de Proporcionalidade: E

e

G

são também chamados de

Módulos de Elasticidade

Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke só é válida no

regime elástico

.

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke

: “

As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite

Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE):

Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se paradamente

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações

z

Lei Generalizada de Hooke

:

y

s

y

Utilizando o PSE, t

yz

t

zy

t

yx

t

xy

as somas das defor mações decorrentes s

x dy

s

z

t

zx

t

xz x

de cada componen te de tensão, no ca-

dz dx

so geral de Estado de Tensão em um ponto, serão: 

x

y

z

 s

x E

 s

y E

 s

z E

 

E

 s

y

 

E

 s

z

 s

z

 s

x

  

E

 s

x

 s

y

  

xy

yz

 t

xy G

 t

yz G

zx

 t

zx G Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke

:

z

dy

y

s

z

t

yz

t

zy

s

y dx

t

zx

t

yx

t

xy

t

xz dz

s

x x

Resolvendo para obter as tensões : s s

x y

      

x

   

y

  1 1 1   1      

y z

   

z x

       t t t

xy zx yz

  

G

xy G

G

yz zx

 1  

E

  1  2   s

z

     

z

 1 1    

x

 

y

    e

G

são as Constantes de Lamé

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações

y

Observações

:

y

y dy dx

Estado Simples de Tensão

x

s

x

A um estado simples de tensão corresponde um estado triplo de deformação  s

x z x

E

y

 

z

  s

E x dy

z dx dz

Estado Triplo de Deformação

x x Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações

y

Observações

:

y

s

y dy dx

Estado Simples de Deformação

x

x

A um estado simples de deformação corresponde um estado triplo de tensão s

x

  

x

s

y

 s

z

  1   

x

z dy

s

z dx dz

s

x

Estado Triplo de Tensão

x Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação

: Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto, realizam onde

W U

TRABALHO

.

W

U

K

é o trabalho realizado pelos esforços, é a energia potencial do corpo deformado e

K

é a energia cinética da velocidade da massa do corpo.

K

W

U

.

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação

: Seja

dw

a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço

N

é

dU N = Ndw

.

O esforço

N

é proporcional ao deslocamento

w

.

N

k z w U N

dU N

k z

w wdw

k z

k z wdw w

2 

U N

2 

Nw

2

N Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES dz dw N

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação

: Seja

dw

a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço

N

é

dU N = Ndw

.

O esforço

N U N

 é proporcional ao deslocamento

w

.

dN

.

dw N dw N Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação

: Seja

dw

a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço

N

é

dU = Ndw

.

N

O esforço

N dU

 1 2

dN

.

dw

é proporcional ao deslocamento

w

.

x dU

dU

1 2  s

z dA

.

 

z dz

 

dU dV

 1 2 s

z

z dV Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

x dz dw N

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação

: Como a energia é uma grandeza escalar,

dU dV

 1 2  s

x

x

 s

y

y

 s

z

z

 t

xy

xy

 t

yz

yz

 t

zx

zx

 é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento de volume infinitesimal

dV=dx.dy.dz

.

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações

y

Energia Potencial de Deformação

:

dA

2 2 Seja o estado de cisalhamento puro. Em um plano inclinado de 45º, tem-se: 

F n

 0  s 45

dA

 2 t

xy

dA

2  2 2  0  s 45  t

xy dy

F t

 0  t 45

dA

 t

xy

dA

2 2  2 2  t

xy

dA

2 2  2 2  0 t

yx

s 45 t

xy dx

t 45  t 45  0

dA x Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações

y

Energia Potencial de Deformação

: s  45 Repetindo o raciocínio para um plano perpendicular ao plano inclinado considerado (-45º):

y

t

yx

s  t

xy

s  45   t

xy

e t  45  0 t

xy dy

Logo, são equivalentes os seguintes estados de tensão:

dx x

cisalhamento puro

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 45 45º

dx

biaxial t

yx

t

xy x

s  t

xy

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação

: A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é:

dU dV

 1 2 t

xy

xy

 t 2

xy

2

G

 Para o estado biaxial é: 

dU x y

   s s

E y E x

1 2    s  

x

 s

x

s

E x E y

 s   t

y

xy

E

t

E y

xy

 1    1 t  2

xy

     

x

 

y

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação

: A energia potencial de deformação unitária para o Para o estado biaxial é:

dU

estado de cisalhamento puro é:  1 2  s

x

x

 s

y

y

  t 2

xy

 

x

 

y

dU dV

 1 2 t

xy

xy

 t 2

xy

2

G dU dV

 t 2

xy E

 1    Igualando as duas expressões:

G

 2  1

E

  

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação

: Em suma, as constantes de Lamé podem ser escritas em função do Módulo de Elasticidade e do Coeficiente de Poisson como:    1  

E

  1  2   e

G

 2  1

E

  

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Fim da Aula 03

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