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Technique des Plans d’Expériences 1 Plans d’Expériences Introduction Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 2 Stratégie de recherche pour répondre à un certain nombre de questions : • Comment sélectionner les expériences à faire ? • Quelle est la meilleure stratégie pour : • conduire le plus rapidement possible aux résultats espérés ? • éviter des expériences inutiles ? • apporter une bonne précision ? • modéliser et optimiser des phénomènes étudiés ? Un plan d'expériences peut être utilisé comme une méthode d'optimisation, pour trouver une ou des solutions au problème posé, mais aussi comme une étape préliminaire à l’optimisation et a alors pour objectif le choix des variables à optimiser et des fonctions à prendre en compte dans une formulation mathématique classique pour résoudre le problème par une méthode de gradient par exemple. Plans d’Expériences Le problème des pesées Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 3 Le Problème des Pesées (Hotelling 1944) Un résultat statistique est totalement dépendant de l’expérimentation. illustration par l’exemple de la pesée… Plans d’Expériences La question et le matériel expérimental Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple • La question Déterminer les masses de trois objets A, B et C en quatre pesées et avec un maximum de précision. Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 4 • Le matériel expérimental Une balance à deux plateaux à équilibrer avec des poids. Plans d’Expériences Les hypothèses Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • Chaque pesée est entachée d’une erreur e : Y=m+e • L’ordre de grandeur de l’erreur de pesée est constant quelque soit l’objet à peser : Variance (e) = s² • Les pesées ne sont pas liées entre elles : Covariance (Yi, Yj) = 0 • En l’absence d’objet sur la balance l’aiguille n’est pas forcément sur zéro. Il y a un « biais systématique ». • Chaque pesée coûte 100€ 5 Plans d’Expériences STRATEGIE 1 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple On pèse un objet à la fois Matrice d’expérience Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 6 0 : l’objet n’est pas sur la balance 1 : l’objet est sur le plateau de droite -1 : l’objet est sur le plateau de gauche Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 7 STRATEGIE 1 Estimation des masses des objets Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 8 STRATEGIE 1 Quelle est la précision des mesures ? Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 9 Comment obtenir une meilleure précision ? Plans d’Expériences STRATEGIE 2 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 10 On pèse deux objets à la fois Matrice d’expérience Plans d’Expériences STRATEGIE 3 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 11 On pèse trois objets à la fois Matrice d’expérience Plans d’Expériences STRATEGIE 4 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 12 La première pesée est inversée Matrice d’expérience Plans d’Expériences Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ? Introduction . Exemple Concepts Plan 2k • Avec la quatrième stratégie la précision est 8 fois meilleure qu’avec la première sans pour autant augmenter le nombre d’essais, . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple • On comprend intuitivement qu’il n’est pas possible d’améliorer davantage la précision (tous les objets participent à chaque essai), Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 13 • La limite inférieure de la précision est s²/n où n désigne le nombre d’essais, • On démontre que la précision est en relation directe avec la matrice tXX où X est la matrice d’expérience, • Pour la stratégie optimale cette matrice vérifie la relation : tXX = nI où I est la matrice d’identité. Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Stratégie 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ? Stratégie 2 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 Stratégie 3 Stratégie 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • une matrice « pleine » de 1 est préférable : tous les facteurs varient à la fois, • meilleure stratégie matrice équilibrée (Nb objets à G = Nb objets à D) ; tous les niveaux sont présents en nombre égal de fois dans les colonnes, • entre deux colonnes toutes les permutations de niveaux sont présentes le plan d’expérience est orthogonal La qualité de l’estimation dépend de la matrice d’expérience 14 Plans d’Expériences Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ? Introduction . Exemple Concepts Plan 2k Stratégie 1 Stratégie 2 . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 15 Stratégie 3 Stratégie 4 Plans d’Expériences Reformulation du problème des pesées Introduction . Exemple Concepts Plan 2k (Reformulation / transposition du problème des pesées) . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Mauvaise 16 Optimale Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Concept et Définitions Constat : Les problèmes d’optimisation, de caractérisation ou de mise au point de procédés, de méthodes, …, sont souvent associés à la conjonction de plusieurs paramètres ayant une influence sur la réponse. La grandeur d’intérêt Y ou réponse est une fonction de plusieurs variables Xi que l’on appelle facteurs. Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 17 Y = f (X1, X2,…, Xn) Étude du phénomène ≡ mesure de la réponse en fonction de différentes valeurs ou niveaux des facteurs. On effectue des essais pour mettre en évidence les effets de chacun des paramètres sur la réponse. Les facteurs peuvent êtres ensuite fixés aux niveaux qui optimisent la réponse. Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 18 Concept et Définitions Expérimentation « bidouille » Variation un à un des paramètres • Méthode lourde si paramètres et/ou niveaux nombreux, • souvent employée car l’analyse des résultats est simple. Expérimentation méthodique Variation des niveaux de tous les facteurs à la fois à chaque expérience • diminution du nombre d’essais • étude d’un grand nombre de facteurs • détection des interactions entre facteurs • obtention de la meilleure précision possible • obtention d’un modèle du système • analyse rigoureuse conduisant + rapidement aux résultats espérés Les plans d’expériences Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Concept et Définitions Vocabulaire Facteur : variable qui agit sur le système. Réponse : grandeur que l’on mesure pour connaître l’effet des facteurs sur le système. Continu Discret quantitatif qualitatif Facteur significatif : facteur qui modifie la réponse lorsqu’on le modifie. Niveau d’un facteur : valeur que prend un facteur au cours des essais. Définition Un plan complet consiste à étudier toutes les combinaisons possibles des facteurs pris en considération dans l’expérience. Plan Xk k facteurs à X niveaux • Si 3 facteurs à 2 niveaux alors le plans 23 23 = 8 expériences • Si 3 facteurs à 2 niveaux et 2 facteurs à 4 niveaux alors le plans complet comporte 23 42 = 128 expériences 19 Plan 2k plan factoriel dont les k facteurs ne possèdent que 2 niveaux. Plan factoriel complet 2k Plans d’Expériences Introduction Le domaine expérimental . Exemple Le domaine de validité de l’expérience correspond aux limites raisonnables de variation des facteurs. Il y a deux écueils à éviter : Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple • niveaux trop proches pas d’effet significatif sur les facteurs • niveaux trop éloignés mise en défaut de l’hypothèse de linéarité Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Choix aux effets antagonistes 20 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Plan factoriel complet 2k Stratégie de mise en place d’un plan : Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 1 – Rechercher l’ensemble des facteurs influents sur le système. 2 – Trier entre les facteurs contrôlés et non contrôlés (bruits). 3 – Sélectionner les facteurs contrôlés à retenir pour l’expérience (les autres seront figés au cours des essais). 4 – Définir le domaine de variation de chacun des facteurs. 5 – Faire le plan. 6 – Évaluer les dispersions des résultats (répétition d’essais où tous les facteurs sont figés). 7 – Dépouiller et interpréter (effets, interactions, signification des effets…). 21 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 22 Concept et Définitions La matrice d’expérience tableau indiquant : • le nombre d’expérience à réaliser, • la façon de faire varier les facteurs, • l’ordre de réalisation des expériences. Ici pour ce plan 22, le niveau bas est codé à l’aide du nombre -1 et le niveau haut à l’aide du nombre +1. (notation de Yates) Exp X1 X2 1 -1 -1 2 +1 -1 3 -1 +1 4 +1 +1 La matrice d’expérience et des réponses Exp X1 X2 Réponse : Yrep 1 -1 -1 y1 2 +1 -1 y2 3 -1 +1 y3 4 +1 +1 y4 Effets global et moyen d’un facteur Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Cas d’un seul facteur • effet global d'un facteur (sur la réponse) : variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1. • effet moyen d'un facteur (sur la réponse) : demi-variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1. effet moyen = moitié de l'effet global. Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Exp Effet global de X1 : y2 - y1 Effet moyen de X1 : a1 y2 y1 2 y 2 y1 Effet au centre : a 0 2 (moyenne des réponses) X1 Rép : Yrep 1 -1 y1 2 +1 y2 Rép a0 X1 23 -1 0 +1 Effets global et moyen d’un facteur Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Cas de deux facteurs • L'effet moyen de X1 : demi-variation de la réponse lorsque X1 passe de -1 à +1. X2 Rép : Yrep 1 -1 -1 y1 Or, pour chacun des niveaux de X1, il y a 2 expériences 2 +1 -1 y2 3 -1 +1 y3 travail à partir des réponses moyennes. 4 +1 +1 y4 • Réponse moyenne quand X1 est au niveau –1 : y y1 y3 2 • Réponse moyenne quand X1 est au niveau +1 : y y2 y4 2 • Effet moyen de X1 24 Exp X1 y 2 y 4 y1 y3 y1 y 2 y3 y 4 2 2 a1 2 4 Effet global de X1 : EX y y 1 Effet moyen de X1 : a1 y y 2 Effets global et moyen d’un facteur Plans d’Expériences Introduction Cas de deux facteurs . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple • Rép. moyenne quand X2 est au niveau –1 : • Rép. moyenne quand X2 est au niveau +1 : • Effet moyen de X2 yX 2 yX 2 y1 y2 2 y3 y 4 2 Exp X1 1 -1 -1 y1 2 +1 -1 y2 3 -1 +1 y3 4 +1 +1 y4 y3 y 4 y1 y 2 y1 y 2 y3 y 4 2 2 a2 2 4 • Réponse théorique pour X2 = 0 (au centre de son domaine de variation) : moyenne des réponses observées aux niveaux -1 et +1 y3 y4 y1 y2 y y 2 y3 y 4 2 2 a0 1 2 4 25 X2 Rép : Yrep Plans d’Expériences Notion d’interaction entre facteurs Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 26 • Il y a interaction entre deux facteurs si l’effet moyen de l’un varie suivant le niveau de l’autre. • Il y a distorsion de la surface de réponse. La distorsion est d’autant plus importante que l’interaction est grande. ou Il existe une interaction entre 2 facteurs A et B si l’effet du facteur A sur la réponse dépend du niveau du facteur B et réciproquement. Plans d’Expériences Introduction Notion d’interaction entre facteurs Calcul de l’interaction X1X2 . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 27 L’interaction est considérée comme un nouveau facteur et l’effet moyen de l’interaction est la ½ variation de l’effet moyen de X2 lorsque X1 passe du niveau bas au niveau haut Exp X1 X2 Réponse : Yrep 1 -1 -1 y1 = 60 2 +1 -1 y2 = 85 3 -1 +1 y3 = 75 4 +1 +1 y4 = 90 y4 y2 90 85 2.5 2 2 y y1 75 60 7 .5 • Effet moyen de X2 au niveau bas de X1 : 3 2 2 y4 y2 y3 y1 2 2 • Effet moyen de l'interaction X1X2 : a12 2 y y 2 y3 y 4 1 4 • Effet moyen de X2 au niveau haut de X1 : Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Calcul des effets avec la notation de Yates On appelle matrice des effets la matrice X servant au calcul des coefficients dans la régression linéaire multiple. La matrice X des effets, servant au calcul des coefficients du modèle, s'obtient en ajoutant à gauche de la matrice d'expérience une colonne ne contenant que des 1. Les estimations des coefficients du modèle sont données par la matrice  telle que  = X-1 Yrep = (1/n) tX Yrep où Yrep est la matrice colonne des réponses expérimentales. La meilleure précision sur les coefficients de chacun des facteurs dans la régression linéaire multiple est obtenue si l'on fait varier les niveaux de tous les facteurs à chaque expérience et si toutes les expériences concourent à l'estimation de chaque coefficient. Critère d'optimalité au sens d'Hadamard Pour obtenir en n expériences une variance minimale, la matrice des effets X doit vérifier la relation : tXX = n In 28 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 29 Algorithme de Yates On s'intéresse à un plan 2k et à un modèle polynomial du premier d° : Y = a0 +a1X1 + a2X2 + ... + akXk Pour k facteurs, la matrice d'expérience comporte k colonnes et 2k lignes. On alterne les -1 et le +1 - toutes les lignes pour la première colonne, - toutes les deux lignes pour la seconde colonne, - toutes les quatre lignes pour la troisième, etc. Plus généralement : - toutes les colonnes commencent par -1. - on alterne les -1 et les +1 toutes les 2j-1 lignes pour la jème colonne. Chaque estimation d'un coefficient du modèle est égale à la somme algébrique des réponses expérimentales yi affectés des signes de la colonne de la matrice X correspondant au facteur Xi divisé par le nombre d'expériences. Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Exemple numérique Construction d’un plan 23 pour un essai d'arrachement mettant en jeu 3 facteurs. (plan 2k où k=3 soit 23=8 expériences) Les facteurs : X1 : la température de pressage, X2 : la pression lors du pressage, X3 : le temps de pressage. Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 30 Matrice d’expérience et des réponses Exp X1 X2 X3 Yexp 1 -1 -1 -1 18,1 2 +1 -1 -1 16,0 3 -1 +1 -1 17,1 4 +1 +1 -1 17,0 5 -1 -1 +1 17,8 6 +1 -1 +1 17,2 7 -1 +1 +1 18,1 8 +1 +1 +1 17,0 Niveau bas : -1 Niveau haut : +1 X1 80 °C 120 °C X2 0,5 bars 2 bars X3 1h 2h J=1 J=2 J=3 Matrice des 1 1 1 1 effets 1 1 1 X 1 1 1 2J-1=…. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Plans d’Expériences Exemple numérique Exp Moy X1 X2 X3 Yexp . Exemple 1 +1 -1 -1 -1 18,1 Concepts Plan 2k 2 +1 +1 -1 -1 16,0 3 +1 -1 +1 -1 17,1 4 +1 +1 +1 -1 17,0 5 +1 -1 -1 +1 17,8 6 +1 +1 -1 +1 17,2 7 +1 -1 +1 +1 18,1 8 +1 +1 +1 +1 17,0 Diviseur 8 8 8 8 Effets a0=17,2 9 a1=0,49 a2=0,0 1 a3=0,2 4 Introduction . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple a0 31 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y y y y y y y y ; a2 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 Le modèle s’écrit : Y 17,29 0,49 X1 0,01 X 2 0,24 X3 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple • Pour calculer l'effet d'une interaction entre deux variables Xi et Xj on ajoute à la matrice des effets une colonne, que l'on baptise XiXj, et que l'on obtient en faisant le produit "ligne à ligne" des colonnes des variables Xi et Xj. • Le calcul des coefficients du modèle se fait comme énoncé précédemment. Exemple numérique • Considérons un plan d’expérience 2² construit afin d’étudier une réaction chimique dont le rendement dépend de deux facteurs Plan Frac. Matrice d’expérience et des réponses Domaine expérimental . Principe . Exemple 32 Plan complet avec interactions Niveau bas : -1 Niveau haut : +1 Température : T 60°C 80°C Pression : P 1 bar 2 bars Exp T P Y (%) 1 -1 -1 60 2 +1 -1 65 3 -1 +1 75 4 +1 +1 85 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k Matrice d’expérience et des réponses pour les facteurs et les interactions. Exemple numérique Exp 1 Moy ( +1 T × -1 × P TP Y (%) -1 ) = +1 60 2 +1 +1 -1 -1 65 3 +1 -1 +1 -1 75 4 +1 +1 +1 +1 85 Statistique Diviseur 4 4 4 4 . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Effets a0=71,25 a1=3,75 a2=8,75 a12=1,25 . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Calcul des coefficients 60 65 75 85 60 65 75 85 71.25 ; a1 3.75 4 4 60 65 75 85 60 65 75 85 a2 8.75 ; a12 1.25 4 4 a0 Le modèle s’écrit : Y a0 a1 X 1 a2 X 2 a12 X 1 X 2 Soit : Y = 71,25 + 3,75 T + 8,75 P + 1,25 P T 33 Plans d’Expériences Tableau des réponses moyennes . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple T P Niveau -1 60 75 67.5 2 60 65 62.5 2 Niveau +1 65 85 75 2 75 85 80 2 -1 +1 -1 60 75 T +1 65 85 Rép 85 . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple 80 Plan Frac. 70 80 Rép P=+1 Ec1 75 T 60 -1 +1 -1 70 65 60 P Graphe des effets 34 P T Statistique . Principe . Exemple P +1 Ec2 Introduction Exemple numérique P=-1 55 -1 TP +1 Visualisation de l’interaction (Ec1Ec2) interaction Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Construction d’un plan 2² pour une étude sur les conditions idéales pour passer un examen mettant en jeu 2 facteurs. Niveau bas : -1 Les facteurs : X1 : le stress, X2 : la compréhension. Niveau haut : +1 X1 Faible Elevé X2 Totale Nulle Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple N° des essais 1 2 3 4 Note obtenue 17.7 12.9 10.3 2.5 Plan Frac. . Principe . Exemple 35 1. 2. 3. 4. Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions Tracer le diagramme des effets Construire le modèle mathématique associé Plans d’Expériences Exemple numérique Exp Moy X1 X2 X1X2 Yexp 1 +1 -1 -1 +1 17,7 2 +1 +1 -1 -1 12,9 . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple 3 +1 -1 +1 -1 10,3 4 +1 +1 +1 +1 2,5 Statistique Diviseur 4 4 4 4 Effets 10,85 -3,15 -4,45 -0,75 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Niveau -1 X1 X2 14 15,3 Niveau +1 7,7 6,4 X2 -1 X1 -1 +1 17.7 12.9 20 16 18 14 16 36 +1 10.3 2.5 X2 12 8 X1 6 4 2 X1=-1 X2=-1 14 12 10 X1=1 8 0 X2 Y 10.85 3.15 X1 4.45 X2 0.75 X1X2 18 10 X1 y1 y 2 y 3 y 4 4 y y y y a1 1 2 3 4 4 y y y y a2 1 2 3 4 4 y y y y a12 1 2 3 4 4 Le modèle s’écrit : a0 6 4 2 0 X2=1 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Construction d’un plan 23 pour un test en fatigue mettant en jeu 3 facteurs. Niveau bas : -1 Les facteurs : X1 : la température, X2 : le nombre de cycles, X3 : la charge appliquée. Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Niveau haut : +1 X1 20 °C 120 °C X2 1 200 X3 10 MPa 50 MPa N° des essais 1 2 3 4 5 6 7 8 Déformation (mm) 2 1 4 3 7 2 5 6 Plan Frac. . Principe . Exemple 37 1. 2. 3. 4. Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions Tracer le diagramme des effets Déterminer une loi de comportement du matériau testé Plans d’Expériences Exemple numérique Exp Moy X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X1X2X3 Yexp . Exemple 1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 2 Concepts Plan 2k 2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 1 3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 4 4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 3 5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 7 6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 2 . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple 7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 5 8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 6 Plan Frac. Diviseur 8 8 8 8 8 8 8 8 Effets a0=3,75 a1=-0,75 a2=0,75 a3=1,25 a12=0,75 a13=-0,25 a23=-0,25 a123=0,75 Introduction . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Principe . Exemple a0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y y y y y y y y ; a2 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 Le modèle s’écrit : 38 Y 3,75 0,75 X1 0,75 X 2 1,25 X3 0,75X12 0,25X13 0,25X 23 0,75X123 Plans d’Expériences Introduction Exemple numérique Tableau des réponses moyennes . Exemple Concepts Plan 2k X1 . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple 2475 4,5 4 Niveau -1 Niveau +1 3 X2 X3 3 2,5 4,5 5 Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 6 5 4,5 5 4 X1=-1 3,5 4 3 3 2,5 X1 2 X1=+1 2 X2 X3 1,5 1 1 0,5 0 -1 +1 -1 +1 -1 Graphe des effets 39 +1 0 -1 +1 Visualisation de l’interaction X1X2 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 40 Statistique & interprétation des résultats Plans d’Expériences Introduction Statistique - Rappels Rappels élémentaires . Exemple X n X i 1 i Concepts Plan 2k • Moyenne . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple • Variance s² : moyenne des carrées des écarts à la moyenne Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 41 n - Pour un échantillon variance vraie : s e2 ( X i X) 2 n où X est la moyenne exacte de l’échantillon et n l’effectif total ou nombre total de ddl. - Pour une population variance estimée : s p2 2 ( ) X M i n 1 X où M est la moyenne estimée de la population : M N N N nombre d’échantillons n-1 : effectif total ou nombre effectif de ddl dont on dispose (-1 pour la moyenne) Plans d’Expériences Statistique - Rappels •Test de comparaison de deux variances Introduction . Exemple On cherche à comparer deux distributions statistiques normales Concepts Plan 2k (les deux échantillons sont ils issus d’une même loi normale ?) . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple On observe n1 individus 1ier échantillon Variance s12 On observe n2 individus 2ième échantillon Variance s22 s 12 On forme le rapport de Fisher-Snedecor : Fcalculé 2 s2 Le rapport de Fisher suit une loi de probabilité et ne dépend que des nombres de ddl de chacun des échantillons n1 et n2 avec n1=n1-1 et n2=n2-1. F est tabulé pour différentes valeurs du risque de première espèce a, c’est-àdire le risque d’accepter une hypothèse fausse alors qu’elle est vraie. Si on désire évaluer le risque à 5% table à 0,95 ( ) On cherche dans la table la valeur de F a ,n 1 ,n 2 que l’on compare à Fcalculé. On accepte l’hypothèse d’identité des variances si : Fcalculé F (a ,n1 ,n 2 ) 42 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Statistique - Rappels Exemple : Deux agents dosent un composant dans des échantillons provenant d’un même produit. Pour chaque échantillon les analyses sont doublées. Les agents travaillent ils de la même façon ? B est-il meilleur que A ? Agent A : 11 échantillons sA2 = 3,02 Agent B : 22 échantillons sB2 = 1,22 s A2 Fcalculé 2 2.47 sB Table de Snedecor pour un risque de 5%. ddl(sA2) = 11-1 = 10 = n1 ddl(sB2) = 22-1 = 21 = n2 F(5%,10, 21) 2.32 Fcalculé F(5%,10, 21) La différence des variances est significative (au seuil de 5%) On en déduit que l’agent A travaille d’une façon moins précise que l’agent B. 43 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Test de signification des effets Effets : coefficients des facteurs et des interactions dans l'écriture du modèle. Les calculs statistiques permettent : - savoir si les effets sont significatifs, - calculer les intervalles de confiance, - de valider la linéarité du modèle. Ils font intervenir d'une part les résidus ei, et d'autre part un estimateur sans biais de la variance commune des résidus, soit : s2 1 n p ei2 n est le nombre d'expériences réalisées p est le nombre de coefficients du modèle Plan Frac. . Principe . Exemple 44 On peut montrer que tous les effets ont même variance s 2 i s2 n Si pour un plan complet n = p alors on ne peut pas calculer la variance commune des résidus s². Dans la pratique on néglige les interactions d’ordre élevé pour pouvoir évaluer s². Plans d’Expériences Test de signification des effets Introduction Pour tester un effet on utilise le test de Student : Un effet sera dit . Exemple significatif s'il est pour un risque donné, significativement différent de 0. Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 45 On testera donc l'hypothèse : H0 = << ai = 0 >> contre l'hypothèse H1 = << ai ≠ 0 >> Pour cela on calcule : ti ai si Pour le test on utilise la table de Student à n = n - p ddl où n est le nombre d'expériences réalisées, p est le nombre d'effets y compris la constante. Pour un risque de première espèce a (5% ou 1%), on lit dans la table de Student la valeur tcrit(a, n), en utilisant la partie de la table relative à un test bilatéral. D’où la règle : si ti > tcrit(a, n), on rejette H0 au risque accepté. si ti < tcrit (a, n), on accepte H0 au risque accepté. H0 accepté l’effet en question n’est pas, au risque a, significativement différent de 0. La variable associée n’a pas d’influence sur la réponse. Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Test de signification des effets Exemple : On considère une réaction chimique dont le rendement dépend de deux facteurs (température T, pression P), prenant respectivement pour niveau haut et bas 60 et 80°C pour T, et, 1 et 2 bars pour P. On cherche à déterminer la non influence d'une variable sur la réponse pour un risque choisit de 5 %. Exp Moy T P Y (%) Yest ei ei² 1 +1 -1 -1 60 58.75 1.25 1.5625 2 +1 +1 -1 65 66.25 -1.25 1.5625 3 +1 -1 +1 75 76.25 -1.25 1.5625 4 +1 +1 +1 85 83.75 1.25 1.5625 Diviseur 4 4 4 Le modèle : Y 71.25 3.75 T 8.75 P Effets a0=71.2 5 a1=3.7 5 a2=8.7 5 Variance des résidus : 1 s2 (4 3) e Variance commune des estimateurs : 46 3 coefficients 2 i 6.25 s 2 i s2 n 6.25 1.5625 4 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Test de signification des effets Les ti sont calculés avec la relation : ti ai si ai 1.25 La table de Student donne pour un risque de 5% avec n = n - p = 4 - 3 = 1 : tcrit (0.05, 1) 12.71 - Pour a1 = 3.75 (effet de T) on a t1 = 3 < 12.71 : on accepte H0 au risque de 5 % et l'effet de la température T n'est pas significatif. - Pour a2 = 8.75 (effet de P) on a t2 = 7 < 12.71 : on accepte H0 au risque de 5 % et l'effet de la pression P n'est pas significatif. On peut donc considérer que les coefficients a1 et a2 ne sont pas significativement différents de 0 ; leur valeur est probablement due à un « bruit ». La conclusion est que l'on doit rejeter un modèle linéaire pour expliquer le rendement de cette réaction chimique. Il faudrait refaire une étude avec un modèle polynomial du second degré. 47 Plans d’Expériences Intervalle de confiance des effets a/ variance expérimentale connue Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple On suppose que compte tenu de nombreuses expériences faites on connaît l'écart type expérimental s. L'intervalle de confiance d'un effet est donné, par : risque 5% : [(ai - 1,96 si) ; (ai + 1,96 si)] risque 1% : [(ai - 2,58 si) ; (ai + 2,58 si)] où si² est la variance commune des estimateurs des coefficients. Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple s m0 Plan Frac. . Principe . Exemple s n a a 2 m0 48 Intervalle de confiance 2 Plans d’Expériences Intervalle de confiance des effets b/ variance expérimentale inconnue (cas le plus courrant) Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 49 La variance commune des résidus est estimée avec n = n-p degrés de libertés et en négligeant au moins un effet. 1 s n p 2 ei2 et s 2 i s2 n Si l’on choisit un risque a, on détermine à l’aide de la table de Student le nombre t(a,n) et l'intervalle de confiance d'un effet est donné, par : risque a% : [(ai – t(a,n) si) ; (ai + t(a,n) si)] Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique Exemple Considérons le plan d'expérience 23 suivant dans lequel on néglige l'interaction d'ordre 3 X1 X2 X3 X1X X1X X2X 2 3 3 Yobservé Yi estimés ei e²i 5,1875 + 0,0125 0,000156 -1 -1 -1 +1 +1 +1 5.2 4,7125 - 0,0125 0,000156 +1 -1 -1 -1 -1 +1 4.7 5,1125 - 0,0125 0,000156 -1 +1 -1 -1 +1 -1 5.1 5,4875 + 0,0125 0,000156 +1 +1 -1 +1 -1 -1 5.5 4,9125 - 0,0125 0,000156 . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple -1 -1 +1 +1 -1 -1 4.9 4,5875 + 0,0125 0,000156 +1 -1 +1 -1 +1 -1 4.6 4,7875 + 0,0125 0,000156 -1 +1 +1 -1 -1 +1 4.8 5,3125 - 0,0125 0,000156 Plan Frac. +1 +1 +1 +1 +1 +1 5.3 . Principe . Exemple Le calcul des effets permet d’obtenir le modèle suivant : Y = 5.0125 + 0.0125 X1 + 0.1625 X2 – 0.1125 X3 + 0.2125 X1X2 + 0.0375 X1X3 0,0125 X2X3 à partir duquel on évalue Yestimé, puis les écarts. 50 Plans d’Expériences Introduction Exemple 2 • Variance commune des résidus : s . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple 1 1 2 (8 * 0.000156) 0.00125 e i n p 87 • Variance commune de tous les effets : s 2 i s2 n • Calcul du « t » de Student pour chaque effet : t i 0.00125 0.000156 8 ai si • La table de Student t(a;n) = t(0,05;1)=12,71 pour un risque de 5%. Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Constante 5,0125 X1 Plan Frac. . Principe . Exemple 51 Variable effet t Résultat t0 = 401 > 12,71 significatif a1 = 0,125 t1 = 1 < 12,71 non significatif X2 a2 = 0,1625 t2 = 13 > 12,71 significatif X3 a3 = - 0,1125 t3 = 9 < 12,71 non significatif X1X2 a12 = 0,2125 t12 = 17 > 12,71 significatif X1X3 a13 = 0,0375 t13 = 3 < 12,71 non significatif X2X3 a23 = - 0,0125 t23 = 1 < 12,71 non significatif Modèle à retenir : Y = 5,0125 + 0,1625 X2 + 0,2125 X1X2 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 52 Analyse de la variance • Lever le doute quant à la significativité des effets Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Analyse de la variance • Validité du modèle linéaire ? - Yi les réponses observées lors de la réalisation des expériences, est - Yi la réponse estimée à l'aide du modèle linéaire, - Ymoy la moyenne des réponses. 1 - La variation due à la liaison linéaire : SCEL (Y i est Ymoy ) 2 SCEL se lit : "somme des carrés des écarts dues à la liaison". 2 - La variation résiduelle : SCER (Y i Yi est ) 2 SCER se lit : "somme des carrés des écarts des résidus". 3 - La variation totale : SCET = SCEL + SCER STCE se lit : " somme totale des carrés des écarts". Le "carré moyen" est le quotient d'une somme de carrés par son degré de liberté. SCEL a (p-1) ddl (p : nombre de coefficients estimés à partir du modèle). SCER a (n-p) degrés de libertés (n est le nombre d'expériences réalisées). SCET a (n-1) degrés de liberté. 53 Plans d’Expériences Analyse de la variance Introduction Variation due à Somme des carrés ddl . Exemple Liaison (entre échantillons) SCEL p–1 SCEL CML p 1 Résidus (intérieur échantillon) SCER n–p SCER σ2 n p Total SCET n–1 Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Carré moyen F Fobs CML s2 • Le test F permet de comparer pour un risque fixé à l'avance le Fobs que l'on a calculé dans le tableau avec un F(critique) lu dans la table de Fisher-Snedecor avec (p - 1) et (n - p) degrés de liberté. Le test est : H0 : « les deux carrés moyens sont de même grandeur » la régression n'est pas significative. H1 : « le carré moyen dû à la régression est significativement plus grand que le carré moyen dû aux résidus » la régression est globalement significative. La règle du test est alors pour un risque a choisi : Si Fobs < F(critique), on accepte l'hypothèse H0 . Si Fobs > F(critique), on accepte l'hypothèse H1 avec la confiance 1-a. 54 Plans d’Expériences Exemple Reprenons l’exemple précédent avec tous les effets et leurs interactions : Introduction Moy X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 Y Concepts Plan 2k +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 5.2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 4.7 . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 5.1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 5.5 Statistique . Exemple . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 55 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 4.9 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 4.6 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 4.8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 5.3 a0 a1 a2 a3 a12 a13 a23 5,0125 0,0125 0,1625 -0,1125 0,2125 0,0375 -0,0125 Variation due à Somme des carrés DDL Carré moyen Liaison SCEL 7–1 SCEL 0.1146 CML 7 1 Résidus SCER 8–7 SCEE s 2 0.0012 87 Total SCET 8–1 0.0984 F Fobs CML s2 91.6667 (Y SCER (Y SCEL est i i ) 2 Ymoy Yi est ici, p = 7 n=8 n1 = 6 n2 = 1 d’où Fcrit = 234 pour a = 5% (Fobs = 91,667) < (Fcrit = 234) on rejette l'hypothèse de linéarité du modèle. ) 2 Plans d’Expériences Exemple Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple SCEL 0.1146 CML 7 1 SCEE s 2 0.0012 87 56 Fobs CML s2 91.6667 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Exemple Effectuons une nouvelle analyse de la variance, avec le modèle ne contenant que les coefficients significatifs a2 et a12. Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Variation due à Somme des carrés DDL Liaison SCEL 3–1 Statistique Résidus SCER 8–3 . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Total SCET 8–1 Plan Frac. . Principe . Exemple Carré moyen SCEL 0.2863 CML 3 1 SCEE s 2 0.0232 83 F Fobs CML 12,3 s2 ici, p = 3 n=8 n1 = 3-1 = 2 n2 = 8-3 = 5 a = 5% 0.0984 On évalue Fcrit avec la table de Fischer Snédecor pour n1=2 et n2=5, pour un risque a=5% (Fobs = 12,3) > (Fcrit = 5,79) on accepte donc l'hypothèse de linéarité du modèle. 57 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Plans fractionnaires Constatation : Lorsque le nombre de facteurs ou le nombre de niveaux par facteur augmente, les plans complets donnent très vite un nombre d’essais peu compatible avec la réalité industrielle. Question : Doit on réaliser toutes les expériences du plan complet pour estimer le modèle du système ? En effet si l’on veut étudier un modèle à 3 facteurs à 2 niveaux mais sans interaction, il faut identifier 4 coefficients 4 essais et non 8 comme pour le plan complet 23. Le plan fractionnaire à 4 essais suppose les interactions nulles. Si l’une d’entre elles est ≠ 0 alors elle perturbera les coefficients du modèle. L’utilisation d’un plan fractionnaire n’est pas sans risque. Il faut pouvoir statuer sur les points suivants : - Conditions nécessaires pour établir un plan fractionnaire, - Quels sont les risques liés à l’utilisation d’un plan fractionnaire. 58 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 59 Plans fractionnaires Condition sur le nombre de degrés de liberté Le nombre de ddl d’un modèle indique le nombre de valeurs qu’il est nécessaire de calculer pour connaître l’ensemble des coefficient du modèle. D’une manière générale, pour pouvoir calculer X valeurs indépendantes il faut introduire dans les calculs au moins X expériences La règle : Le nombre minimal d’expériences à réaliser est égal au nombre de degrés de liberté du modèle étudié. Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Plans fractionnaires Condition d’orthogonalité Condition indispensable pour pouvoir calculer les effets d’un facteur indépendamment des autres facteurs. Statistique Condition nécessaire et suffisante d’orthogonalité de 2 actions Deux actions disjointes sont orthogonales si à chaque niveau de l’une, tous les niveaux de l’autre sont associés le même nombre de fois dans le plan d’expériences. . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Orthogonalité d’un plan d’expérience Un plan d’expériences est orthogonal vis à vis d’un modèle, si toutes les actions disjointes du modèle sont orthogonales dans le plan d’expériences. Plan Frac. . Principe . Exemple 60 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 61 Plans fractionnaires Loi de composition des colonnes des matrices d’expériences On définit une multiplication dans E de la manière suivante. Le produit de deux vecteurs de E est un vecteur de E dont les composantes dans la base canonique sont les produits des composantes de même rang. 1 1 1 1 1 1 Exemple dans IR4, si A et B alors AB 1 1 1 1 1 1 Plans factoriels fractionnaires à 2 niveaux = 2k-p 2k-p nombre total de facteur à étudier nombre de fois où le plan complet est coupé en deux • Choisir le nb de facteurs à étudier et le nb d’expériences à réaliser. • Choisir le plan complet correspondant au nb d’expériences à réaliser. • Affecter aux colonnes des interactions d’ordre le + élevé du plan complet le(s) facteur(s) supplémentaires à étudier. Plans fractionnaires 23-1 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Plan fractionnaire 23-1 pour étudier 3 facteur (notion d’aliase ou de contraste). Un plan complet pour étudier trois facteurs (A, B, C) est un plan 23 nécessitant 8 expériences, mais nous désirons réaliser seulement 4 expériences. Pour cela nous utiliserons une matrice d'expériences d'un plan 22. Le facteur C sera placé dans la colonne de l’interaction AB Exp Imo A B AB y 1 +1 -1 -1 +1 2 +1 +1 -1 -1 3 +1 -1 +1 -1 4 +1 +1 +1 +1 Matrice du plan complet 22 AB = C Exp A B C 1 -1 -1 +1 2 +1 -1 -1 3 -1 +1 -1 4 +1 +1 +1 Matrice du plan fractionnaire 23-1 La matrice 23-1 servira à calculer les effets de A, B et C + leurs interactions C = AB le facteur C est aliasé avec l’interaction AB. 62 Plans d’Expériences Introduction Plans fractionnaires 23-1 Nous avons : C = AB et donc CC = I = ABC . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 63 Soit : I = CAB d’où AI = ACAB = C(AA)B = CIB et donc A = CB BI = BCAB = CA(BB) = CAI et donc B = CA On a vu que C est aliasé avec l’interaction AB. On montre également que A est aliasé avec l’interaction CB et B avec CA. Les effets obtenus avec le plan fractionnaire ne sont pas des effets purs. L’égalité I = CAB fournit tous les aliases : c’est un générateur d’aliases Hypothèses d’interprétation retenues en général : • Les interactions d’ordre supérieur (3ième ordre et +) sont négligeables. • si deux effets sont faibles, leur interaction est faible. • si deux effets sont forts, leur interaction peut également l’être. • si un alias est nul - soit les effets aliasés sont tous nuls (++) - soit les effets se compensent Plans fractionnaires 23-1 Plans d’Expériences Introduction Exp I A B C ABC CB CA AB 1 +1 -1 -1 +1 y1 2 +1 +1 -1 -1 y2 3 +1 -1 +1 -1 y3 4 +1 +1 +1 +1 y4 effets a0 a1 a2 a3 . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Yexp Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 64 Plan complet 23 Plan fractionnaire 23-1 Les lignes 1, 2, 3, 4 du plan fractionnaire correspondent aux lignes 5, 2, 3, 8 du plan complet. a1 - y1 y 2 - y 3 y 4 4 Exp I A B C AB AC BC ABC Yexp 1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 z1 2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y2 3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y3 4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 z4 5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y1 6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 z6 7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 z7 8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y4 effets a'0 a'1 a'2 a'3 a'12 a'13 a'23 a'123 Plans fractionnaires 23-1 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple - y y 2 - y3 y 4 - z1 y2 - y3 z4 - y1 z6 - z7 y4 a1 1 4 8 On sait que A est aliasé avec CB, calculons l’effet de CB : a' 1 a' 23 z1 y2 - y3 z4 - y1 z6 z7 y4 8 a1 obtenu avec le plan fractionnaire n’est pas un effet pur, d’où : Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple A = CB a1 = a'1+a'23 Plan Frac. . Principe . Exemple B = CA a2 = a'2 + a'13 C = AB a3 = a'3 + a'12 65 on remarque alors que a1=a’1+a’23 Exp I A B C AB AC BC ABC Yexp 1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 z1 2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y2 3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y3 4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 z4 5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y1 6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 z6 7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 z7 8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y4 effets a'0 a'1 a'2 a'3 a'12 a'13 a'23 a'123 Plans fractionnaires 24-1 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple 66 Utilisation de la matrice d’un plan 23 pour étudier l'influence de 4 facteurs sur la pureté d'un précipité ?? Les variables retenues sont : Niveau –1 Niveau +1 A : quantité de base utilisé normale en excès B : vitesse d'addition de la base lente rapide C : température de la filtration à chaud à froid D : lavage du précipité normal prolongé Variables Les trois premières variables (ABC) seront placées dans la trois premières colonnes de la matrice du plan 23. Moy A B C ABC AB AC BC Y D La quatrième variable D, sera mise à la place d’une des interactions. Elle sera dite aliasée avec l'interaction d'ordre la plus élevé du plan 23, c'est à dire l'interaction ABC. L’aliase est D=ABC Ainsi I = DABC est le générateur d’aliases Plans fractionnaires 24-1 Plans d’Expériences Introduction I = DABC est un générateur d’aliases . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple AI ADABC DAABC DIBC BI BDABC DABBC DAIC CI CDABC DABCC DABI ABI ABDABC DAABBC DIIC ACI .............................................. ADI .............................................. A DBC B DAC C DAB AB DC AC DB AD BC Plan Frac. . Principe . Exemple Moy A B C ABC AB AC BC DBC DAC DAB D DC DB AD Y Si, comme il est d'usage, on néglige les interactions d'ordre 3, on obtient les effets principaux. 67 Plans fractionnaires 24-1 Plans d’Expériences Introduction La matrice des effets et des réponses est la suivante : . Exemple Concepts Plan 2k Moy . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple A B C ABC AB AC BC DBC DAC DAB D DC DB AD +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 3, 1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 4, 1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 2, 2 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 1, 3 +1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 4, 0 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 4, 1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -0, 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 0, 6 a0 aA 2,41 0,11 aB -1,41 aC -0,26 aD 0,31 aab- aac- abc- dc db ad -0,16 0,09 -0,49 Y En négligeant les interactions d'ordre 3, on obtient les effets principaux : A 0,11 68 B -1,41 C -0,26 D 0,31 Plans fractionnaires 24-1 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Soit la valeur de l’écart type expérimental telle que : s 0 0,07 L’écart type de l’estimateur d’un coefficient est : s i s0 n 0,025 Un coefficient sera significatif au risque a=5% ssi : ai > ttable(n-p+1, a) × si Ici nous obtenons : ai 0,318 et donc, Moy 2,41 A B C ABC AB AC BC DBC DAC DAB D DC DB AD 0,11 -1,41 -0,26 0,31 -0,16 0,09 -0,49 Plan Frac. . Principe . Exemple Seuls les effets de la variable B et de l’aliase (BC,AD) sont significatifs. La question qui se pose est : Laquelle de ces 2 interactions est la plus plausible ? 69 Plans fractionnaires 24-1 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k Étude de l’interaction BC . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple B = -1 B = +1 C = -1 P = (3,1 + 4,1) / 2 = 3,6 P = (2,2 + 1,3) / 2 = 1,7 C = +1 P = (4 + 4,1) / 2 = 4,05 P = (0,6 - 0,1) / 2 = 0,35 A = -1 A = +1 D = -1 P = (3,1 - 0,1) / 2 = 1,5 P = (1,3 + 4,1) / 2 = 2,7 D = +1 P = (2,2 + 4) / 2 = 3,1 P = (4,1 + 0,6) / 2 = 2,35 Étude de l’interaction AD 4,5 3,5 4 3 A=+1 B=-1 3,5 2,5 3 2 1,5 2,5 2 A=-1 1,5 1 1,95 1 0,5 0 70 1,8 B=+1 0,5 0 -1 +1 -1 +1 Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k Étude de la planéité de panneaux de structure fabriqués à l'aide d'un processus de moulage par injection. Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Niveau haut : +1 A : température de fusion 260 °C 287.78 °C B : température du moule 26.67 °C 60°C C : temps de cuisson 150 s 200 s D : vitesse d'injection 1s 2.25 s N° des essais Plan Frac. 71 Niveau bas : -1 facteurs . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple . Principe . Exemple Exercice Planéité 1. 2. 3. 4. 5. 1 2 1,37 1,4 3 4 5 6 7 8 1,17 1,27 1,17 1,14 0,76 0,61 Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan fractionnaire Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions Déterminer le paramètres influents avec un risque de 5% et s 0 0,016 Construire le modèle mathématique associé Vérifier la linéarité du modèle Plans d’Expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates . Exemple Statistique . Rappels . Tests effets . Exemple . Variance . Exemple Plan Frac. . Principe . Exemple Exercice I A B C ABC AB AC BC ABCD BCD ACD ABD D DC BD AD 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1,37 2 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1,4 3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1,17 4 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1,27 5 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1,17 6 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1,14 7 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 0,76 8 1 1 1 1 1 1 1 1 0,61 1,11125 -0,00625 -0,15875 -0,19125 -0,02375 -0,00625 -0,03875 -0,07625 s 0 0,016 s 0,016 s 0 0,00565685 n 8 ai t(1, 5%) * 0,00565685 0,07189862 Y 1,11125 0,15875.B 0,19125.C 0,07625.BC 72 Y Plans d’Expériences FIN 73