Transcript Document
МОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный Параллельность прямых и плоскостей в пространстве Автор: Елена Юрьевна Семенова Содержание Взаимное расположение прямых в пространстве Параллельные прямые в пространстве Теорема о параллельных прямых Лемма Теорема о параллельности трех прямых Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Определение параллельности прямой и плоскости Признак параллельности прямой и плоскости Свойства параллельных плоскостей (1°) Свойства параллельных плоскостей (2°) Признак скрещивающихся прямых Теорема о скрещивающихся прямых Теорема об углах с сонаправленными сторонами Примеры и задачи Примеры и задачи Пример с параллелепипедом Задача 1 Задача 2 Проверка самостоятельной работы 1 вариант №1 А M Р К №2 а В С А 1 S = d1 d2 sinα 2 D Проверка самостоятельной работы 2 вариант №1 d n с В №2 С O 1 S = d1 d2 sinα 2 А D Определите ошибку на рисунке α m p q n Взаимное расположение прямых в пространстве а b а ll b с d n c∩d m m –― n Параллельные прямые в пространстве Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. а α b а ll b Теорема о параллельных прямых Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. а b М α Дано: а, М а Доказать: 1) b, М b, a ll b 2) b – ! Ε Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. b Дано: а || b, a ∩ α a Доказать: b ∩ α M α Теорема о параллельности трех прямых Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. c К α b а Дано: а || c; b || c Доказать: а || b (а α, b α, a ∩ b) Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве b а α М aα β b∩β γ с с || γ Определение параллельных прямой и плоскости Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. c с || α α Пример B1 А1 C1 D1 С В А D Признак параллельности прямой и плоскости Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. a b α Дано: а, α, a α, b α, а || b Доказать: а || α Свойства параллельных плоскостей (1°) Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. β а Дано: a β, a α, а || α, α ∩ β = b b α Доказать: а || b Свойства параллельных плоскостей (2°) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. α а Дано: а || α, а || b b Доказать: b || α, bα Решите задачу 1 Дано: АВ || α; (АВК) ∩ α = СD; СK = 8; АВ = 7; АС = 6 Доказать: АВ || СD Найти: СD В А α С D K Решите задачу 2 Дано: АВ ∩ α = В1; АС ∩ α = С1; ВС || α; АВ : ВВ1 = 8 : 3; АС = 16 см Доказать: ВC || B1С1 А Найти: АС1 В1 В С1 С α Скрещивающиеся прямые Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. n m α m –― n Признак скрещивающихся прямых Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. D С α А В Дано: AB α, CD ∩ α = C, C AB Доказать: AB — CD Теорема о скрещивающихся прямых Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. D В Дано: AB — CD Доказать: 1) α, AB α, α ll CD 2) α – ! Ε С А Е α Теорема об углах с сонаправленными сторонами Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. О В А О1 В1 А1 Дано: ОА ↑↑ О1А1, ОВ ↑↑ О1В1 Доказать: АОВ = А1О1В1 Теорема об углах с сонаправленными сторонами Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. О А В Дано: А1 О1 В1 ОА ↑↑ О1А1, ОВ ↑↑ О1В1 Доказать: АОВ = А1О1В1 Угол между прямыми 180º - φ а А А1 φ α С D В В1 φ b α Пространственный четырехугольник β В А α D С Пространственный четырехугольник β В М N А Q α D С P Дано: ABCD – параллелограмм, Р α, РАВ = φ. Найти: (АР; CD). P P1 φ А φ Вариант 1 α В С Вариант 2 D