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CARACTERIZACIÓN DEL
CONJUNTO DE SOLUCIONES EN
LOS PROBLEMAS DE P.L.



Para resolver los problemas de PL se
utilizan varios Algoritmos. El más antiguo y
más utilizado sigue siendo el Algoritmo del
Simplex debido a Dantzig.
La solución de los problemas de
programación lineal parte de dos teoremas
fundamentales:
• El conjunto factible de un problema
de PL puede representarse mediante
un poliedro convexo.
• Si un PL tiene solución óptima y
finita ésta se encuentra en uno de
los vértices del poliedro convexo.
De ellos se deduce que:
Puesto que el número de vértices de un
poliedro factible es finito, el número de
posibles soluciones de un PL también es
finito.
Cap.5 La resolución de los problemas de PL: El Método Simplex
"Sistemas de Decisión Empresarial" Daniel Villalba y Yolanda Bueno
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CARACTERIZACIÓN DEL
CONJUNTO DE SOLUCIONES EN
LOS PROBLEMAS DE P.L.

Esto sugiere, inicialmente, un algoritmo para
calcular la solución óptima:
Calcular el valor de la función objetivo en
cada vértice del conjunto factible y
escoger el mejor.
Sin embargo, el número de vértices de un
conjunto factible es:
m  n
(m  n)!

 
m
 m!(m  n - m)!
m = número de restricciones
n = número de variables
Ejemplos:
m=3
n=2
Vértices=10
m=50
n=80 Vértices=2,97E+36
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CARACTERIZACIÓN DEL
CONJUNTO DE SOLUCIONES EN
LOS PROBLEMAS DE P.L.



El concepto de vértice es de naturaleza
geométrica y es poco adecuado para construir un
algoritmo utilizable por ordenadores.
El Método Simplex se basa en el concepto de la
SOLUCIÓN BÁSICA FACTIBLE
Es aquella que tiene al menos n-m componentes
nulos o variables no básicas. Las m restantes
variables se denominan básicas.
A partir de: Ax = b
x 0
Se dice que x es una SBF si puede realizarse la
partición:
A = [ N|B]
xN 
x 
 xB 
xN = 0
xB = B-1b
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CARACTERIZACIÓN DEL
CONJUNTO DE SOLUCIONES EN
LOS PROBLEMAS DE P.L.




Existen varios tipos de solución básica:
• SB Factible: Todas las variables básicas xB

• SBF No Degenerada: xB > 0
• SBF Degenerada: algún xB = 0
Cada SBF representa un vértice del Conjunto
Factible.
Sin embargo, un vértice puede estar representado
por más de una SBF si esta es degeneradas.
Cualquier conjunto poliédrico no vacío contiene al
menos un vértice, y si hay un vértice, siempre
habrá por lo menos una SBF.
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EL ALGORITMO DEL SIMPLEX



El algoritmo del Simplex busca el óptimo de un
problema de PL recorriendo algunos de los
vértices del poliedro del conjunto de soluciones
factibles.
En cada iteración, el algoritmo se desplaza de un
vértice a otro de forma que el valor de la función
objetivo mejore con el desplazamiento.
La optimización de un PL puede dar 4 posibles
resultados:
• Óptimo único
• Soluciones Alternativas: Existen varias
soluciones que dan el mismo valor en la
función objetivo.
• No factible: No existe ninguna solución
que satisfaga simultáneamente todas las
restricciones del problema
• No acotado: El valor de la función objetivo
en el óptimo es tan grande (pequeño) como
se desee en caso de maximización
(minimización).
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DIAGRAMA DE FLUJO DEL
MÉTODO DEL SIMPLEX
COM IENZO
De te rminar una SBF inicial
FIN Infactible
No
¿Existe alguna
SBF?
Si
De te rminar los coste s re ducidos de
las v . básicas
FIN Optimo
No
¿Existe algun coste
re ducido
positiv o(M aximización)
o ne gativ o
(M inimización)?
Si
Se le ccionar la v ariable e ntrante Y ik
FIN No acotado
No
¿Existe algún Yik positivo
(Maximización) o
negativo (Minimización)?
Si
Introducir
basee ntrante
la variable
Introducir
e n la base en
la vla
ariable
Extrae r entrante
de la base
la v ariable
e el
Extraer
de la que
base bloque
la variable
cre cimie nto de la v ariable e ntrante
que
bloquee
al
crecimiento
de
la
Actualizar xB
variable entrante. Actualizar XB
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EL ALGORITMO DEL SIMPLEX
LAS 3 PARTES DEL ALGORITMO DEL
SIMPLEX:
Costes reducidos (cj-zj ):
Miden el efecto sobre la función objetivo
de un aumento unitario en el valor de
cada una de las variables no básicas. Por
tanto:
• Si una variable no básica que tenga
asociado un (cj-zj) >  entrara en la
base, el valor de z aumentaría.
• Si una variable no básica que tenga
asociado un (cj-zj) <  entrara en la
base, el valor de z disminuiría.
• Si una variable no básica que tenga
asociado un (cj-zj) = entrara en la
base, el valor de z permanecería
inalterado.
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EL ALGORITMO DEL SIMPLEX


TEST DE OPTIMALIDAD
• En problemas de maximización: La
solución es óptima si todos los
costes reducidos (cj-zj) son 
• En problemas de minimización: La
solución es óptima si todos los
costes reducidos (cj-zj) son 
REGLA DE ENTRADA EN LA BASE
La variable que entra en la base
debe ser aquella que tenga el
mayor coste reducido positivo en el
caso de maximización (o mayor
coste reducido negativo en el caso
de minimización), ya que ésta es la
variable que aumenta (disminuye)
más rápidamente el valor de la
función objetivo.
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EL ALGORITMO DEL SIMPLEX

REGLA DE SALIDA DE LA BASE
Se selecciona para salir de la base a
aquella variable que tenga un menor
cociente entre su valor y el coeficiente aik
(siendo k la variable que entra) siempre y
cuando dicho coeficiente sea
estrictamente positivo.
La interpretación de este cociente:
Representa el máximo valor que
puede tomar la variable entrante
antes de que la variable que se
está considerando viole su
restricción de no negatividad.
Si todos los aik son 0 la solución no está
acotada:
La variable entrante puede crecer
indefinidamente sin pérdida de
factibilidad.
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DETERMINACIÓN DE UNA SBF
INICIAL




En el PL se transforman las inecuaciones en
ecuaciones.
Dentro de la matriz A de coeficientes deberá
encontrarse una submatriz identidad (I) de orden
mxm:
A = [N | I ]
Las variables cuyos coeficientes técnicos (aij) se
corresponden con la submatriz identidad, serán
las variables consideradas básicas (xB) en la
solución inicial y sus valores de solución serán
los términos independientes de las restricciones
(b).
El resto de variables serán consideradas no
básicas (xN) y, por tanto, su valor de solución
será cero.
xN  0
x  
 xB  b

Si A no contiene una submatriz identidad o existe
algún componente negativo en b, no resulta
inmediato determinar una SBF inicial.
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APLICACIÓN MÉTODO SIMPLEX
EN FORMA DE TABLEAU
EJEMPLO 5.1
Operación
Producto
Disponibilidad
X
(horas/periodo)
Y
Cortado
10
6
2.500
Cosido
5
10
2.000
Empaquetado
1
2
500
23
32
Beneficio unitario
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APLICACIÓN DEL MÉTODO
SIMPLEX EN FORMA DE TABLEAU
EJEMPLO 5.1

El P.L. correspondiente es:
Max (z) = 23x + 32y
sujeto a:
10x + 6y  2500
5x + 10y  2000
x + 2y  500
x, y 
0

Para convertir las inecuaciones en
ecuaciones se añade una variable de
holgura si por cada ecuación:
Max (z) = 23x + 32y + 0 s1+ 0 s2 + 0 s3
10x + 6y + s1
= 2500
5x + 10y
+ s2
= 2000
x + 2y
+ s3 = 500
x, y 
0
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APLICACIÓN DEL MÉTODO
SIMPLEX EN FORMA DE TABLEAU

El proceso de cálculo de la solución
utilizando el método del Simplex en forma
de tableau es el siguiente:
• PASO 1: Formar el tableau inicial
• PASO 2. Test de Optimalidad. Los
costes reducidos de las variables x
e y son positivos. Luego no
estamos en el óptimo y debe
aplicarse la regla de entrada en la
base.
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APLICACIÓN DEL MÉTODO
SIMPLEX EN FORMA DE TABLEAU
• PASO 3. Regla de entrada. Se
introduce la variable con mayor
coste reducido, en este caso, la
variable y.
• PASO 4. Regla de salida. Para
determinar que variable sale de la
base se calculan los ratios:
x0Bi / yik
El mínimo es 200, por tanto, sale
s2
• PASO 5. Actualización de la
solución:
•
•
Se divide la fila entrante por el
pivote
El resto de las filas se actualizan
restándoles la fila correspondiente a
la nueva variable básica,
multiplicada por yik
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APLICACIÓN DEL MÉTODO
SIMPLEX EN FORMA DE TABLEAU
• El tableau resultante es:
• Una vez recalculado el tableau, se
vuelve al paso 2 y se realiza una
nueva iteración. El tableau
resultante es:
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DETERMINACIÓN DE UNA SBF
INICIAL



Si en la matriz A no existe una submatriz
identidad, se deberá seguir uno de los
dos siguientes procedimientos:
•
Método de Eliminación o de la M Grande
•
Método de las 2 Fases
En ambos casos se resuelve un
problema de apoyo que:
• En A incluye una submatriz
identidad I, por lo que resulta muy
sencillo determinar una solución
inicial
• Su óptimo, si existe, es una SBF
del problema.
Una vez construido el problema de apoyo
se aplica el algoritmo del Simplex para su
solución final.
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DETERMINACIÓN DE UNA SBF
INICIAL
1. MÉTODO DE ELIMINACIÓN O DE LA“M
GRANDE”

El término independiente (RHS) debe ser
0.

A las restricciones del tipo se añade una
variable de holgura con coeficiente +1

A las restricciones del tipo , se añade una
variable de holgura con coeficiente -1 y
una variable artificial con coeficiente +1

A las restricciones del tipo = se añade una
variable artificial con coeficiente +1

La contribución de las variables de holgura
a la función objetivo es 0

La contribución de las variables artificiales
a la función objetivo se fijan:
• Min: + M
• Max: - M
Siendo M un número suficientemente grande.
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DETERMINACIÓN DE UNA SBF
INICIAL


Solución Infactible:
Si no se eliminan todas las variables
artificiales de la base cuando se ha
llegado al óptimo del problema de apoyo:
Solución Infactible.
Solución factible:
Si las variables artificiales se eliminan de
la base obtenemos una solución factible.
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APLICACIÓN DEL MÉTODO
SIMPLEX EN FORMA DE TABLEAU
EJEMPLO 5.2.
MÉTODO DE LA M GRANDE


El PL es el siguiente:
Min (z) = 3x + 2,5y
sujeto a:
2x + 4y  40
3x + 2y  50
x, y  0
El problema de apoyo, utilizando el
método de la M Grande:
Min (z) = 3x + 2,5y + 0 s1 + 0 s2 + MA1 + MA2
sujeto a:
2x + 4y - s1 + A1
= 40
3x + 2y
- s2
+A2  50
x, y  0
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APLICACIÓN DEL MÉTODO
SIMPLEX EN FORMA DE TABLEAU
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MÉTODO DE LAS 2 FASES
2. MÉTODO DE LAS 2 FASES

El método de la M Grande incluye
variables de apoyo con un coeficiente
muy grande (M) o muy pequeño (-M) en
la función objetivo.

Esto da lugar a problemas numéricos que
conducen a soluciones erróneas. Esto es
especialmente grave en problemas de
cierto tamaño.

De ahí que los códigos comerciales
utilizan una extensión del algoritmo del
Simplex conocida como el Método de las
2 Fases:
• 1ª Fase: Obtener una SBF inicial.
• 2ª Fase: Obtener una solución
óptima.
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DETERMINACIÓN DE UNA SBF
INICIAL

1ª FASE
• La contribución de las variables
básicas (cj) es =0 en la función
objetivo.
• Añadir variables de holgura en las
restricciones, con contribución a la
función objetivo =0
• Añadir variables artificiales pero la
contribución a la función objetivo =1
Se minimiza la función objetivo anterior. Si
la función objetivo (z) es 0 entonces se ha
llegado a una solución factible del
problema inicial.
•
SBF Inicial hallada. Las variables artificiales
se pueden eliminar de la tabla y proceder
con la fase 2ª. Ahora ya partimos de una
SBF.
• Solución infactible del problema original. Si
al final de la 1ª fase hay alguna variable
artificial en la base.
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DETERMINACIÓN DE UNA SBF
INICIAL

2ª FASE
• Se eliminan de la tabla las variables
artificiales.
• Se sustituyen los cj (contribuciones
a la función objetivo) por las del
problema original.
• Se recalculan zj y cj-zj
Se comprueba si la solución es óptima
analizando el valor de los costes
reducidos.
•
•
Si es óptima hemos terminado.
Si no lo es, se sigue iterando hasta
alcanzar el óptimo.
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APLICACIÓN DEL MÉTODO DE
LAS 2 FASES
EJEMPLO 5.3.
MÉTODO DE LAS 2 FASES


El PL es el siguiente:
Min (z) = 3x + 2,5y
sujeto a:
2x + 4y  40
3x + 2y  50
x, y  0
El problema de apoyo, utilizando el
método de las 2 Fases:
Min (z) = 0x + 0y + 0 s1 + 0 s2 + A1 + A2
sujeto a:
2x + 4y - s1 + A1
= 40
3x + 2y
- s2
+A2  50
x, y, s1, s2, A1, A2  0
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APLICACIÓN DEL MÉTODO DE
LAS 2 FASES
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APLICACIÓN DEL MÉTODO DE
LAS 2 FASES
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PLANTEAMIENTO FORMAL DEL
SIMPLEX EN FORMA DE TABLEAU



Una manera más formal de ver la
resolución de problemas de P.L.
mediante el Simplex es la siguiente :
Sea un PL en forma estándar:
Max cx
sujeto a :
Ax =b
x≥0
Esta formulación equivale a:
Max cx
sujeto a :
z – cBxB – cNxN = 0
[1]
xB + B-1NxN = B-1b
[2]
x≥0
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PLANTEAMIENTO FORMAL DEL
SIMPLEX EN FORMA DE TABLEAU



Sustituyendo [2] en [1] y despejando se obtiene:
z= cB B-1b+(cN - cBB-1N)xN
Por definición: z= cB B-1b, luego:
(cN - cBB-1N)xN = 0
[3]
Formando una tabla en formato de “tableau”con
[2] y [3] se obtiene:
Cj
CB
CN
XB
CB
β
XB
XN
XB
CB
B-1b
I
B-1N
Zj
CB
CBB-1N
Cj-Zj
0
CN-CBB-1N
donde:
cN - cBB-1N :
B-1b:
B-1N:
Costes reducidos
Valores de las variables básicas
Matriz de los coeficientes
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PLANTEAMIENTO FORMAL DEL
SIMPLEX EN FORMA DE TABLEAU


La obtención de la inversa B-1 se realiza
aplicando alguna de las siguientes reglas de
álgebra:
• Intercambiar dos filas
• Multiplicar una fila por un valor distinto
de cero.
• Intercambiar dos filas
De esta forma, el método simplex aplicado a
problemas en forma de tableau se reduce a
aplicarle a la tabla estas operaciones de forma
que:
• El nuevo tableau representa una nueva
solución básica factible.
• Salvo en el caso de soluciones
degeneradas, el valor de la función
objetivo mejora en cada iteración.
Cap.5 La resolución de los problemas de PL: El Método Simplex
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LAS DIFERENTES SOLUCIONES
DE UN PROBLEMA DE P.L. EN EL
SIMPLEX

¿Cómo reconocer todos los casos que
pueden darse en la resolución de un PL?
• Solución única: En el último tableau,
los costes reducidos de las variables
no
básicas
son
estrictamente
negativos
(maximización)
o
estrictamente positivos (minimización).
• Soluciones alternativas: En el último
tableau, alguno de los costes
reducidos de las variables no básicas
es igual a cero.
• Solución no acotada: Si al efectuar el
test de salida de la base, todos los
coeficientes
de
la
columna
correspondiente a la variable entrante
son no positivos.
• Problema infactible: Se reconoce
porque alguna variable artificial queda
en la base en el tableau final.
Cap.5 La resolución de los problemas de PL: El Método Simplex
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EL MÉTODO SIMPLEX EN LOS
CÓDIGOS COMERCIALES DE PL


El método Simplex en forma de
tableau es útil para los problemas
pequeños.
Sin embargo, como proceso de cálculo
resulta ineficiente y puede tener
problemas de inestabilidad numérica
por las siguientes razones:
• Los problemas reales suelen ser
relativamente grandes y con una
densidad (número de posiciones
ocupadas por un número distinto de
cero, dividido por el número total de
posiciones) baja. Si esta matriz se
conserva en forma de tableau, se
ocupan
m(m+n)
posiciones
de
memoria. Si tan sólo se conservan los
valores distintos de cero junto con sus
coordenadas,
la
ocupación
en
memoria es muchísimo menor.
Cap.5 La resolución de los problemas de PL: El Método Simplex
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EL MÉTODO SIMPLEX EN LOS
CÓDIGOS COMERCIALES DE PL

Existe una forma implícita de almacenar
la inversa, que ocupa un espacio en
memoria inferior a mxm
EJEMPLO:
• Un problema real de PL tiene densidades
que oscilan típicamente entre 0,5% y 2%.
• Supongamos un problema de PL de 200
restricciones, 500 variables y una densidad
del 1%
• Si guardamos explícitamente todos los
valores de la matriz A, ocuparemos
200(200+500)= 140.000 posiciones de
memoria.
• Si
guardamos
la
misma
matriz
implícitamente (número de filas, número
de columna y valor del coeficiente no cero
correspondiente) entonces ocuparemos
tan sólo (200x500)x1% x 3= 3000
posiciones de memoria.
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EL MÉTODO SIMPLEX EN LOS
CÓDIGOS COMERCIALES DE PL
• La acumulación de errores de
redondeo puede originar problemas de
cálculo importantes, hasta tal punto
que la solución obtenida puede
resultar equivocada


Por todos estos motivos, los códigos
comerciales no utilizan la versión del
Simplex en forma de tableau.
Lo más corriente es que utilicen una
versión del método de las dos fases y,
dentro de cada una de ellas, alguna
variante de un algoritmo conocido como
método simplex revisado.
Cap.5 La resolución de los problemas de PL: El Método Simplex
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CON PROGRAMAS
INFORMÁTICOS
EJEMPLO: Resolución con Solver
Max (z) = 23x + 32y
sujeto a:
10x + 6y  2500
5x + 10y  2000
x + 2y  500
x, y  0
Pantalla inicial con los datos
Pantalla inicial vista de formulación
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CON PROGRAMAS
INFORMÁTICOS
Ventana para incluir restricciones en Solver




•
Definir celda objetivo: seleccionar la celda objetivo
que se desea maximizar o minimizar. La celda debe
contener una fórmula.
Igual a: señalar si se desea maximizar o minimizar la
celda objetivo, o bien definirla con un valor específico.
Cambiando las celdas: seleccionar las celdas donde
se encuentren el valor de las variables.
Sujeto a las siguientes restricciones
• Agregar: sirve para añadir restricciones.
• Cambiar: seleccionada una restricción, sirve
para cambiar alguno de sus términos.
• Eliminar: elimina la restricción seleccionada.
Resolver: solución del problema definido.
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CON PROGRAMAS
INFORMÁTICOS
Ventana de resolución del problema en Solver
•
En esta ventana podemos aceptar la solución o
descartarla, pudiendo regresar a los valores originales.
Además podemos seleccionar la elaboración de informes,
para este ejemplo seleccionaremos informe de
respuestas.
Solución del problema
Cap.5 La resolución de los problemas de PL: El Método Simplex
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CON PROGRAMAS
INFORMÁTICOS
Informe de respuestas
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BIBLIOGRAFÍA

Villalba D. y Jerez M. “Sistemas de
Optimización para la Planificación y Toma
de Decisiones” Pirámide 1990. Agotado.
Ejemplares en Biblioteca de la Facultad
de CC EE y EE.
Capítulo 5.
Cap.5 La resolución de los problemas de PL: El Método Simplex
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