Transcript Induksi Matematika

INDUKSI MATEMATIKA
Septi Fajarwati, S.Pd.
Induksi Matematika

Digunakan untuk mengecek hasil proses
yang terjadi secara berulang sesuai
dengan pola tertentu.

Suatu teknik yang dikembangkan untuk
membuktikan pernyataan
2
Induksi Matematika
Secara Formal, prinsip Induksi Matematika dapat
dijelaskan sebagai berikut :
Misalkan P(n) adalah pernyataan yang yang
didefinisikan dalam bilangan bulat n dan a adalah
bilangan bulat tetap, maka:
1. P(a) benar
2. Jika P(k) benar, maka P(k+1) benar, untuk k ≥ a
Sehingga: P(n) benar untuk semua n ≥ a
1. Langkah
1 disebut Basis
2. Langkah 2 disebut Langkah Induksi
3
Induksi Matematika
Contoh Kasus: (Deret Aritmatika)
Buktikan bahwa:
n(n  1 )
1  2  ... n 
,n  1
2
4
Induksi Matematika
Jawab:
1. Basis, akan dibuktikan P(1) benar
untuk n = 1, maka * ruas kiri = 1
* ruas kanan = 1( 1  1 )  1
2
2. Langkah Induksi, akan dibuktikan P(k) benar 
P(k+1) benar
P(k) benar, berarti :
k(k  1 )
1  2  ... k 
2
5
Induksi Matematika
Akan dibuktikan bahwa P(k+1) benar, yaitu bahwa:
(k  1)(( k  1)  1)
1  2  ... k  (k  1) 
2
k(k  1 )
1  2  ... k 
Menurut hipotesa:
2
1  2  ... k  (k  1)  (1  2  ... k )  (k  1)
sehingga:
k (k  1)

 (k  1)
2
6
Induksi Matematika
k (k  1)

 (k  1)
2
k (k  1)  2(k  1)

2
k 2  3k  2

2
(k  1)( k  2)

2
(k  1)(( k  1)  1)

2
Terbukti benar P(k+1)
Disimpulkan bahwa P(n) benar untuk n ≥ 1
7
Latihan
1.
2.
Buktikan melalui induksi matematika, bahwa:
a).
n(n  1)( 2n  1)
1  2  3  ..... n 
,n 1
6
b).
n(n  1)( n  2)
1(2)  2(3)  3(4)  ...... n(n  1) 
,n 1
3
c).
n 1
1

a
1  a  a 2  ..... a n 
, n  1, a  1
1 a
2
2
2
2
Buktikan melalui induksi matematika, bahwa:
a) 22n - 1 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n1
8
3n
b) 2 - 1 habis dibagi 7 untuk semua bilangan bulat n1