Induksi Matematika
Download
Report
Transcript Induksi Matematika
INDUKSI MATEMATIKA
Septi Fajarwati, S.Pd.
Induksi Matematika
Digunakan untuk mengecek hasil proses
yang terjadi secara berulang sesuai
dengan pola tertentu.
Suatu teknik yang dikembangkan untuk
membuktikan pernyataan
2
Induksi Matematika
Secara Formal, prinsip Induksi Matematika dapat
dijelaskan sebagai berikut :
Misalkan P(n) adalah pernyataan yang yang
didefinisikan dalam bilangan bulat n dan a adalah
bilangan bulat tetap, maka:
1. P(a) benar
2. Jika P(k) benar, maka P(k+1) benar, untuk k ≥ a
Sehingga: P(n) benar untuk semua n ≥ a
1. Langkah
1 disebut Basis
2. Langkah 2 disebut Langkah Induksi
3
Induksi Matematika
Contoh Kasus: (Deret Aritmatika)
Buktikan bahwa:
n(n 1 )
1 2 ... n
,n 1
2
4
Induksi Matematika
Jawab:
1. Basis, akan dibuktikan P(1) benar
untuk n = 1, maka * ruas kiri = 1
* ruas kanan = 1( 1 1 ) 1
2
2. Langkah Induksi, akan dibuktikan P(k) benar
P(k+1) benar
P(k) benar, berarti :
k(k 1 )
1 2 ... k
2
5
Induksi Matematika
Akan dibuktikan bahwa P(k+1) benar, yaitu bahwa:
(k 1)(( k 1) 1)
1 2 ... k (k 1)
2
k(k 1 )
1 2 ... k
Menurut hipotesa:
2
1 2 ... k (k 1) (1 2 ... k ) (k 1)
sehingga:
k (k 1)
(k 1)
2
6
Induksi Matematika
k (k 1)
(k 1)
2
k (k 1) 2(k 1)
2
k 2 3k 2
2
(k 1)( k 2)
2
(k 1)(( k 1) 1)
2
Terbukti benar P(k+1)
Disimpulkan bahwa P(n) benar untuk n ≥ 1
7
Latihan
1.
2.
Buktikan melalui induksi matematika, bahwa:
a).
n(n 1)( 2n 1)
1 2 3 ..... n
,n 1
6
b).
n(n 1)( n 2)
1(2) 2(3) 3(4) ...... n(n 1)
,n 1
3
c).
n 1
1
a
1 a a 2 ..... a n
, n 1, a 1
1 a
2
2
2
2
Buktikan melalui induksi matematika, bahwa:
a) 22n - 1 habis dibagi 3 untuk semua bilangan bulat n1
8
3n
b) 2 - 1 habis dibagi 7 untuk semua bilangan bulat n1