Transcript GEOMETRI ANALITIK RUANG

GEOMETRI ANALITIK
RUANG
Matematika 2
By. Retno Anggraini
Geometri analitik ruang
 Jarak dari pusat sumbu O ketitik P (x, y, z)
ialah :

OP2 = ( x2 + y2 + z2 )
 Jika OP = r maka :

r 2 = ( x 2 + y2 + z2 )
SUDUT SUDUT ARAH DAN
COSINUS COSINUS ARAH
Jika a,b,g, masing-masing sudut antara OP dgn
sumbu-sumbu positif maka :
 x = r cos a
cos a = x/r
 y = r cos b atau cos b = y/r
 z = r cos g
cos g = z/r
Dimana a,b,g disebut sudut sudut arah OP
cos a cos b cos g disebut cosinus arah OP
Dan cos 2a + cos2b + cos 2g = 1
BILANGAN ARAH GARIS
 cos a : cos b : cos g = a : b : c, maka a,b,c disebut
bilangan arah garis
 Jika diketahui a,b,c maka
cos a = a / + (a2 + b2 + c2 )1/2
cos b = b / + (a2 + b2 + c2 )1/2
cos g = c / + (a2 + b2 + c2 )1/2
 Dimana tanda penyebut + atau – tergantung kuadran.
JARAK DARI DUA TITIK
 Jarak dari dua titik P1(x1,y1,z1) dan P2
(x2,y2,z2) adalah :
d = [(x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2]1/2
 Bilangan arah dari garis P1P2 adalah
(x2-x1), (y2-y1) dan (z2-z1)
 Cosinus arah dari garis P1P2 adalah
cos a = (x2-x1)/d,
cos b = (y2-y1)/d,
cos g = (z2-z1)/d
TITIK
 Jika P(x,y,z) membagi garis P1P2 dengan
perbandingan P1P/PP2 = m/n = q maka :
X = (x1 + qx2) / (1+q)
Y= (y1 + qy2) / (1+q)
Z = (z1 + qz2) / (1+q)
 Koordinat titik tengah T dari grs P1P2
T = [(x1+x2)/2 , (y1+y2)/2 , (z1 +z2)/2]
SUDUT ANTARA DUA GARIS
 Didefinisikan sebagai sudut antara dua garis
berpotongan, dan masing masing // dgn satu dari
garis yang diketahui.
 Jika OP1 dan OP2 garis melalui O dan // dua garis
yg diketahui, q sudut antara grs itu maka :
Cos q = (x1x2 + y1y2 + z1z2) /r1r2
 Dimana :
r1 2 = ( x12 + y12 + z12 )
r2 2 = ( x22 + y22 + z22 )
Karena X1 = r cos a1
X2 = r cos a2
maka
cos q = cos a1 cos a2 + cos b1 cos b2+ cos g1 cos g2
Jika dua grs //, maka :
a1= a2
b1= b2
g1= g2
Jika dua garis tegak lurus maka :
cos a1 cos a2 + cos b1 cos b2+ cos g1 cos g2 = 0
Jika q sudut antara dua garis dgn bilangan arah a1,
b1, c1, dan a2,b2,c2 maka :
cos q =
a1a2 + b1b2 + c1c2
[(a12+ b12 +c12 )1/2 x (a22+ b22 +c22) 1/2 ]
Jika dua grs //, maka :
a1/a2 = b1/b2=c1/c2
Jika dua garis tegak lurus maka :
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
BIDANG DATAR
 Bentuk Umum
Ax + By + Cz + D = 0
Dimana A, B, C tidak semuanya nol
 Persamaan Bidang datar melalui titik (xo, yo, zo)
adalah :
A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo) = 0
GARIS TEGAK LURUS PADA BIDANG
DATAR
 Syarat supaya garis g dgn blgn arah a, b,c tegak
lurus pada bdg Ax + By + Cz + D = 0 ialah
a/A = b/B = c/C
 Persamaan bidang datar melalui P1 (x1,y1,z1)
tegak lurus pada garis dgn bilangan arah a,b,c
adalah :
a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0
DUA BIDANG SEJAJAR DAN
TEGAK LURUS
 Dua Bidang A1x + B1y + C1z + D1 = 0 dan
adalah A2x + B2y + C2z + D2 = 0
- // jika A1/A2 = B1/B2 = C1/C2
- Tegak lurus jika A1.A2 + B1.B2 + C1.C2 =0
 Jarak dari titik P1(x1,y1,z1) ke bidang
Ax+By+Cx+D =0 adalah :
d = Ax1 + By1 + Cz1 + D
(A2 + B2 + C2 )1/2
Persamaan bidang datar melalui tiga titik (a,0,0),
(0,b,0), dan (0,0,c) adalah ;
x/a + y/b + z/c = 1
Sudut lancip antara dua bidang datar A1x+
B1y+C1z+D = 0 dan A2x + B2y+C2z+D = 0 adalah :
cos q =
A1A2 + B1B2 + C1C2
(A12+B12+C12 )1/2 (A22+B22+C22 )1/2
TITIK POTONG TIGA BIDANG DATAR
 a1x+b1y+c1z = d1; a2x+b2y+c2z = d2 a3x+b3y+c3z =
d3 adalah
x = D1/D, y = D2/D, z = D3/D
dimana :
D=
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 d1 c1
D2 = a2 d2 c2
a3 d3 c3
=0
D1=
D3 =
d1 b1 c1
d2 b2 c2
d3 b3 c3
a1 b1 d1
a2 b2 d2
a3 b3 d3
•Berkas bdg dr dua bid. A1x+ B1y+C1z+D1 = 0 dan A2x
+ B2y+C2z+D2 = 0 adalah :
(A1x+ B1y+C1z+D1) + l(A2x+ B2y+C2z+D2)= 0 dimana
l parameter
Garis dalam ruang ditentukan sebagai garis potong dua bidang
(A1x+ B1y+C1z+D1) = 0
(A2x+ B2y+C2z+D2) = 0 dengan bilangan arah
B1
C1
C1
A1
:
B2
C2
A1
B1
:
C2
A2
= a:b:c
A2
B2
PERSAMAAN GRS LURUS DLM
RUANG
 Jk sudut arah garis g adalah a,b,g; dan jk
P1(x1,y1,z1) titik pada garis g, maka grs g
merupakan tempat kedudukan P(x,y,z) yg
bergerak sdh :
x-x1 = t cosa ; y-y1 = t cosb ; z-z1 = t cos g
 Jika a,b,c adalah bilangan arah garis g maka
persamaan garis ini dapat ditulis sbb :
x = x1 +at ; y = y1 + bt ; z = z1 + ct
Dimana t = perubahan panjang P1P
BENTUK SIMETRIK PERSAMAAN
GARIS LURUS
 Persamaan garis lurus melalui P1(x1,y1,z1) dgn
sudut – sudut arah a,b,g adalah ;
x – x1 = y – y1 = z –z1
cos a
cos b
cos g
 Jika bilangan arah garis adalah a,b,c maka
persamaan simerik berbentuk :
x – x1 = y – y1 = z –z1
a
b
c
Jika garis g tegak lurus pada salah satu sumbu
koordinat, pers garis itu berbentuk satu diantara :
x = x1 , y – y1 = z – z1 (tgk lrs sb x)
b
c
y = y1 , x – x1 = z – z1 (tgk lrs sb y)
a
c
z = z1 , x - x1 = y – y1 (tgk lrs sb z)
a
b
PERSAMAAN GARIS LURUS
MELALUI DUA TITIK
 Pers garis lurus melalui dua titik P1(x1,y1,z1) dan
P2(x2,y2,z2) adalah :
x –x1 = y1 – y2 = z – z1
b
b
b
 Arah – arah relatif garis dan bidang datar
Garis g dgn bilangan arah a, b, c dan bidang datar V :
Ax + By + Cz + D = 0 maka :
1. g // V jika : Aa + Ba + Cc = 0
2. g
V jika : A/a = B/b = C/c
BOLA
 Persamaan x2+ y2 + z2 = R2 adalah bola yg
berpusat di O (0,0,0) dgn jari jari R.
 Persamaan (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 adalah
bola yg berpusat di (a,b,c) dgn jari jari R.
 Persamaan x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= R2
adalah pers bola dgn titik pusat M (-A, -B, -C)
Jari – jari R = ( A2+ B2 +C2 – D )1/2
 Jika R = 0 bola menjadi “bola titik”
 Jika A2+ B2 +C2 – D > 0 adalah “ bola sejati ”
 Jika A2+ B2 +C2 – D < 0 adalah “ bola khayal “
 Sebuah bola tertentu oleh 4 ttk yg tdk sebidang
PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG
DAN BIDANG KUTUB
 Jika Pers bola x2+ y2+
z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 atau BI = 0 , Maka :
1. Pers bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) yg
terletak pada bola BI = 0 adalah
x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D
=0
2. Pers bidang kutub dari titik sebarang
P(x1,y1,z1) terhadap bola BI = 0 adalah
x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D
=0
 Untuk persamaan bola x2+ y2 + z2 = R2 maka persamaan
bidang singgung / kutub adalah :
x1x + y1y + z1z = R2
- Untuk persamaan bola :
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 maka persamaan bidang singgung
/ kutub adalah :
(x1–a)(x-a) + (y1-b)(y-b) + (z1-c)(z-c) = R2
- Kuasa
titik P(x1,y1,z1) terhadap bola :
x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 adalah
k = x12+ y12+ z12+2Ax1+2By1+2Cz1+D
k >0 jika P diluar bola, k< 0 jika P didalam bola,
k = 0 jika P pada bola
Bidang kuasa dr dua bola BI = 0 dan BII = 0
BI : x2+ y2+ z2+2A1x+2B1y+2C1z+D1= 0
BII: x2+ y2+ z2+2A2x+2B2y+2C2z+D2= 0
Persaman bidang kuasa dari dua bola BI dan BII adalah
BI - BII = 0 atau
2(A1-A2)x + 2(B1-B2)y + 2(C1-C2)z +D1-D2 = 0
Persamaan bidang kuasa ini adalah merupakan tempat
kedudukan titik – titik yang kuasanya sama terhadap bola BI
dan BII
Garis kuasa dan titik kuasa
1.
Jk 3 bola : BI = 0, BII = 0, dan BIII = 0 tidak melalui
satu titik. Maka : BI = BII = BIII adalah persamaan garis
kuasa tiga bola itu
2.
Jika 4 bola : BI = 0, BII = 0, BIII = 0 dan BIV = 0 tidak
melalui 2 titik yang sama maka
BI = BII = BIII =BIV adalah persamaan titik kuasa dari 4
bola itu
TABUNG DAN KERUCUT
 Bidang Tabung adalah bidang yang dilukiskan oleh
garis-garis lurus yang arahnya sama sejajar (yg disbt
garis lukis) dan selalu memotong sebuah garis lengkung
tertentu (yg disbt garis lengkung arah
 Bidang kerucut adalah bidang yg dilukiskan oleh garis
lurus yang melalui sebuah titik tetap (yg disbt puncak
kerucut) dan memotong sebuah garis lengkung tertentu
(yg disbt grs lengkung arah)
BIDANG PUTARAN
 Bdg putaran adalah bdg yg terjadi jk sebuah grs
(lengkung/lrs) berputar sekeliling sebuah grs lrs
sbg sumbu.
 Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar
sekeliling sb z, maka pers bid putaran yang terjadi
adalah ; f( x2+ y2 , z) = 0
 Grs lengkung datar : y = 0, f(x,z) = 0; diputar
sekeliling sb x, maka pers bid putaran yang terjadi
adalah ; f( x, y2+ z2 ) = 0
1. Jk grs lurus : x/a + z/b = 1, y = 0 diputar
sekeliling sb z, maka terjadi :
( x2+ y2 )/a + z/b = 1
ATAU
(x2+ y2)/ a2 = (b-z)2/ b2 : ialah kerucut
2. Jk lingkaran x2+ y2 = a2 , y = 0 diputar
sekeliling sb z, maka x2+ y2 + z2 = a2 adalah bola
3. Jk parabola : x2 = 2pz, y = 0 diputar sekeliling
sb z, mk terjadi x2+ y2 = 2pz adalah parabolaida
putaran
ellips : x2 /a2 + z2/b2 = 1, y = 0 diputar
sekeliling sb z maka terjadi
(x2+ y2)/ a2 + z2 /b2 = 1
atau
x2/a2 + y2/a2 + z2/b2 = 1 adalah sebuah
elipsoida putaran
4. Jk
5.Jk hiperbola : x2 /a2 - z2/b2 = 1, y = 0 diputar
sekeliling sb z maka terjadi
(x2+ y2)/ a2 - z2 /b2= 1
atau
x2/a2 + y2/a2 - z2/b2 = 1 ialah sebuah
hiperbola putaran daun satu.
6. Jk hiperbola : x2 /a2 - z2/b2 = -1, y = 0 diputar
sekeliling sb z maka terjadi
(x2+ y2)/ a2 - z2 /b2= -1
atau
- (x2/a2) - y2/a2 + z2/b2 = 1 ialah sebuah
hiperbola putaran daun dua.
7. Jk grs lurus x = a, y = 0 diputar sekeliling sb
z, mk terjadi :
(x2+ y2)1/2 = a atau x2+ y2 = a2
Ialah sebuah tabung silinder
BIDANG DERAJAT DUA
Elipsoida
x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1
Perpotonganya dgn bid koordinat berupa ellips.
Pers bid singgung dititik P(x1,y1,z1) adalah
x1x/a2 + y1y/b2 + z1z/c2 = 1
2. Parabola Eliptik
x2/a2 + y2/b2 = (2p/a2) z2
1.
-Perpotongan dgn bid z = k > 0
x2/a2 + y2/b2 = (2pk/a2) z2 berupa ellips
- Perpotongan dgn bid y = 0 berupa parabola
- Perpotongan dgn bid x= 0 berupa parabola
- Persamaan bidang singgung dititik
T(x1,Y1,z1) adalah :
x1x/a2 + y1y/b2 = (p/a2) .(z+z1)
3. Hiperbola daun satu
x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1
- Perpotongan dgn bid koordinat :
Dengan bid z = 0 berupa ellips
Dengan bid x = 0 berupa hiperbola
Dengan bid y = 0 berupa hiperbola
- Persamaan bidang singgung dititik
P(x1,Y1,z1) adalah :
x1x/a2 + y1y/b2 – z1z/c2 = 1
4.
Hiperbola daun dua
x2/a2 - y2/b2 - z2/c2 = 1
- Perpotongan dgn bid koordinat :
Dengan bid z = 0 berupa hiperbola
Dengan bid x = 0 berupa elips khayal
y2/b2 + z2/c2 = -1
Dengan bid y = 0 berupa hiperbola
Dengan bid x = k dimana k>a adalah
y2/b2 + z2/c2 = k2/a2 -1
berupa ellips real (k2/a2 -1) > 0
- Persamaan bidang singgung dititik P(x1,Y1,z1) adalah :
x1x/a2 - y1y/b2 – z1z/c2 = 1
5. Parabolaida hiperbolik
x2/a2 - y2/b2 = 2pz/a2
- Perpotongan dgn bid z = 0 , y2= b2x2 /a2, y = bx/a
,berupa dua grs lrs
- Dengan bid z = k : x2/a2 - y2/b2 = 2pk/a2
berupa hiperbola
- Dengan bid y = 0 : x2 = 2pz berupa parabola
- Dengan bid x = 0 : y2 = -b2 2pz /a2 berupa parabola
- Persamaan
bidang singgung dititik P(x1,y1,z1)
adalah :
x1x/a2 - y1y/b2 = p/a2 (z+z1)
SELAMAT BELAJAR
GOOD LUCK