Transcript D1_2011_Modeli diskr..

Modeli diskretne zavisne promenljive
(Ekonometrija D-1)
Doktorske studije – prva godina
Predavač: Aleksandra Nojković
April 2011
Preporučena literatura za modele
specifične zavisne promenljive

Literatura preglednog sadržaja: Amemiya (1981),
McFadden (1984) and Greene (2008).
na srpskom jeziku: Nojković, A. Modeli diskretne zavisne
promenljive: pregled metodologije i primenjenih istraživanja,
Ekonomski anali br.172, Ekonomski fakultet, Beograd, 2007,
55-92.

Preporučena udžbenička literatura iz ove oblasti:
Maddala (1983), Amemiya (1985), Wooldridge
(2002) and Greene (2008).
http://pages.stern.nyu.edu/~wgreene/DiscreteChoice/Readin
gs/Greene-Chapter-23.pdf
Modeli diskretnog izbora




Deo su šire klase modela u kojima je zavisna promenljiva
specifična/pod nekim vidom ograničenja (eng. limited
dependent variable (LDV) models).
Modeli diskretnog izbora su modeli u kojima zavisna
promenljiva uzima dva ili više modaliteta, a još ih nazivamo i
modelima kvalitativnog odgovora/ishoda (eng. discrete
choice or qualitative response (QR) models).
Osnovne klase modela: modeli binarnog i modeli višestrukog
izbora (eng. binominal and multinomial models)
Modeli višestrukog izbora mogu biti nepoređanog ili poređanog
izbora, kao i modele brojivih podataka (eng. count data zavisna promenljiva uzima cele, nenegativne vrednosti).
Priroda podataka u modelima
diskretnog izbora

Modeli razvijeni za analizu mikropodataka
(jedinice posmatranja su preduzeća, domaćinstva
ili preduzeća).
Mikoropodaci:
- uporedni (podaci strukture)
- podaci panela (kombinacija podataka uporednih
podatak i vremenskih serija, pri čemu se veliki
broj jedinica posmatranja (veliko N), posmatra u
svega dve ili tri vremenske tačke (malo T)).


Primena u makroekonometrijskoj analizi novijeg
datuma (makroekonomske vremenske serije i
paneli sa većom T dimenzijom).
Primena modela diskretnog izbora



Za modeliranje brojivih podataka u kojima
preovlađuje broj ishoda nula, a zavisna promenljiva uzima
diskretne vrednosti.
Broj nedozvoljenih minusa koje je vlasnik kreditne
kartice ostvario u određenom periodu, broj poseta lekaru,
broj avionskih/pomorskih nesreća i slično: y = 0,1,2, ….
Modeliranje binarnog izbora
Odluka pojedinaca o učešću u radnoj snazi ili članstvu u
sindikatu: y uzima vrednost 1 ako je pojedinac zaposlen
(član sindikata), a 0 u suprotnom slučaju.
Brojni drugi primeri izbora između dve alternative. Šta
opredeljuje pojedinca da kupi automobili, nastavi
školovanje ili prestane da puši? Koji faktori utiču na
odluku banke da odobri stambeni kredit?
Primena modela diskretnog izbora
(nastavak)

Izbor između poređanih alternativa
Stav pojedinaca u istraživanjima javnog mnjenja (npr. 0 –
neslaganje u potpunosti do 4 – slaganja u potpunosti).
Istraživanje zaposlenosti (pojedinac može biti nezaposlen,
zaposlen sa nepunim ili punim radnim vremenom).
Kreditni rejting, nivo obrazovanja ili preferencije
potrošača su primeri poređanih alternativa (rang dodeljen
zavisnoj promenljivoj je ordinalnog karaktera).
Primena modela diskretnog izbora
(nastavak)

Izbor između nepoređanih alternativa
Izbor zanimanja (npr. 1-nekvalifikovan
radnik do 5- stručnjak).
Izbor načina plaćanja (gotovina ili različite
vrste platnih kartica).
Izbor prevoznog sredstava (npr. 1-automobil,
2-autobus, a 3-voz).

Ovde vrednosti zavisne promenljive ne
predstavljaju ni brojive podatke ni dodeljene
rangove.
Mogućnosti primene u
makroekonometrijskoj analizi

-

-
-
Empirijska primena ove metodologije u podacima
vremenskih serija:
Modeliranje odluke cenralnih banaka SAD i Kanade o
promeni instrumenata monetarne politike (Hu i
Phillips (2004a,2004b)).
Empirijska primena ove metodologije u podacima
panela:
Izbor politike deviznog kursa (Markiewicz
(2006a,2006b), Jin (2004, 2005, 2009).
Determinante pojave inflacionih epizoda ili valutnih
kriza (Boschen i Weise (2003), Domac i Yucel
(2005)).
Uspeh reformi za okončanje hiperinflatornih epizoda
(Bernholz i Kugler (2006)).
Modeli binarnog izbora


Analiziramo model kojim se opisuje odluka banke da
prihvati ili odbije zahtev za odobravanje stambenog kredita
(y=1 ako je zahtev odbijen, a 0 u drugom slučaju).
Linearni model verovatnoće, LMV (eng. Linear
probability model (LPM)) je specijalan slučaj višestrukog
linearnog regresionog modela sa 0/1 zavisnom
promenljivom:
yi = β’xi + εi ,
pri čemu je x vektor objašnjavajućih promenljivih, dok je β
vektor nepoznatih parametara kojima se opisuje uticaj na
verovatnoću realizacije ishoda y=1 do koje dovodi promena
objašnjavajućih promenljivih za jednu jedinicu.
Nedostaci LMV
•
Prisutna heteroskedastičnost (var (εi) =
β’xi (1- β’xi).
•
Ne možemo ograničiti β’xi u intervalu 0-1.
Ovi modeli često predviđaju nelogčine
predviđene verovatnoće (negativne
vrednosti i vrednosti veće od 1), kao i
negativne varijanse.
Nelinearni modeli prilagođeni binarnoj
zavisnoj promenljivoj

Potrebno je obezbediti da se ocenjena
verovatnoća nađe unutar intervala 0-1, što je
prikazano isprekidanom linijom.
Probit i logit modeli


Odgovarajuće funkcije raspodele koje se najčešće
koriste su: normalna funkcija raspodele (eng.
cumulative normal function) i logistička funkcija
raspodele (eng. logistic function).
Pored toga što ovi modeli obezbeđuju da se
predviđene verovatnoće nađu u intervalu 0-1, uticaj
jedinične promene objašnjavajuće promenljive na
verovatnoću pozitivnog ishoda nije linearan, već
zavisi od stepena strmosti funkcije raspodele za date
vrednosti x (verovatnoća se približava nuli, kao i
jedinici po sve sporijoj stopi).
Primer 1: Primena na podacima o
odobravnju kredita za kupovinu kuće



Izvor: J. Stock and M. Watson, Introduction to
Econometrics, Addison Wesley, Pearson
International Edition, 2003.
HMDA data (Home Mortgage Disclosure Act) su
podaci koji se odnose na zahteve za odobravanje
hipoteka/kredita podnetih u oblasti Bostona tokom
1990 godine.
28% prijava koje su podneli crni ispitaici je
odbijeno, dok je to slučaj sa samo 9% prijava
podnetih od strane belaca. Dokaz rasne
diskriminacije?
Primer 1: Primena na podacima o odobravnju
kredita za kupovinu kuće (nastavak)


1)
2)
3)
Zavisna promenljiva: odbijen zahtev za kredit
(deny =1) ili odobren (deny =0).
Objašnjavajuće promenljive:
P/I rat – količnik rate kredita i prihoda pojedinca
(numerička promenljiva).
Black = 1, za ispitanike koji nicu belci, Black=0,
u suprotnom slučaju (veštačka promenljiva).
Consumer credit score (ccred)– uzima vrednosti
od 1 (nije bilo kašnjenja u plaćanjima) do 6
(kašnjenje preko 90 dana), (kategorijska
promenljiva, K=6 kategorija).
Ocena različitih modela binarnog izbora

LMV: Pr ( Y=1| X1, X2, …, Xk) = β0 + β1X1 + β2X2 +…+ βkXk.

Logit model: Pr ( Y=1| X) = Λ(β0 + β1X1 + β2X2 +…+ βkXk)=


1
1 e
 (  0  1 x1 ...  k xk )
.
Probit model: Pr ( Y=1| X) = Φ(β0 + β1X1 + β2X2 +…+ βkXk).
Ocena LMV na HMDA podacima
Variable
Coefficient
C
PI_RAT
BLACK
CCRED
-0.163972
0.526949
0.133129
0.042731
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.12164
0.120531
0.304536
220.3559
-545.3357
109.68
0.0000
Std. Error
0.026719
0.081424
0.024186
0.004956
t-Statistic
-6.136887
6.471685
5.504432
8.622512
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
Durbin-Watson stat
Prob.
0
0
0
0
0.119748
0.324735
0.461627
0.471332
0.465159
1.497092
Reziduali iz LMV
1.2
RESID01
0.8
0.4
0.0
-0.4
-0.8
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
PI_RAT
2.0
2.4
2.8
3.2
Ocena LOGIT modela
Dependent Variable: DENY
Method: ML - Binary Logit (Quadratic hill climbing)
Date: 04/18/11 Time: 21:45
Sample: 1 2380
Included observations: 2380
Convergence achieved after 5 iterations
QML (Huber/White) standard errors & covariance
Variable
Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
C
PI_RAT
CCRED
BLACK
-4.849079
5.133147
0.340258
0.949923
0.357427
0.965192
0.033936
0.155663
-13.56663
5.318266
10.02658
6.102447
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
McFadden R-squared
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
Restr. deviance
LR statistic
Prob(LR statistic)
Obs with Dep=0
Obs with Dep=1
0.141407
0.324735
0.632576
0.642282
0.636109
1744.171
246.6387
0.000000
2095
285
Mean dependent var
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Deviance
Restr. log likelihood
Avg. log likelihood
Total obs
0.119748
0.302349
217.2022
-748.7660
1497.532
-872.0853
-0.314608
2380
Ocena PROBIT modela
Dependent Variable: DENY
Method: ML - Binary Probit (Quadratic hill climbing)
Date: 04/18/11 Time: 21:43
Sample: 1 2380
Included observations: 2380
Convergence achieved after 5 iterations
QML (Huber/White) standard errors & covariance
Variable
Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
C
PI_RAT
CCRED
BLACK
-2.658430
2.642005
0.188032
0.528937
0.164691
0.438160
0.018847
0.087031
-16.14190
6.029772
9.976944
6.077600
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
McFadden R-squared
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
Restr. deviance
LR statistic
Prob(LR statistic)
Obs with Dep=0
Obs with Dep=1
0.140714
0.324735
0.633085
0.642791
0.636617
1744.171
245.4286
0.000000
2095
285
Mean dependent var
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Deviance
Restr. log likelihood
Avg. log likelihood
Total obs
0.119748
0.302411
217.2904
-749.3710
1498.742
-872.0853
-0.314862
2380
Nelinearni modeli (nastavak)

Model uslovne verovatnoće definisan je kao:
E [y | x] = 0 [1- F (β’x)] + 1 [ F (β’x)] = F (β’x).

Opredeljenje za ma koju funkciju raspodele verovatnoće ne
obezbeđuje da ocenjeni parametri modela predstavljaju
marginalne efekte koje interpretiramo na način uobičajen za
linearne modele. Marginalni efekti se u opštem slučaju
izračunavaju kao:
 E y x 
x
 dF ' x 

  f  ' x   ,


d

'
x


gde je ƒ(.) funkcija gustine koja odgovara funkciji raspodele F(.).
Izračunavanje marginalnih efekata




Za slučaj normalne funkcije raspodele marginalni
efekti se izračunavaju kao: [Φ (β’x) β ], dok je za
slučaj logit modela: [ Λ(β’x) (1- Λ(β’x)) β].
Znak koeficijenta zaista odgovara smeru promene
verovatnoće.
Uobičajeno je da se marginalni efekti izračunavaju za
vrednosti aritmetičkih sredina vektora x (i vrednost 0
veštačkih objašnjavajućih promenljivih) ili pak za
neku drugu vrednost x od interesa.
Marginalni efekat se može dobiti i kao aritmetička
sredina marginalnih efekata izračunatih za
vrednosti svake pojedinačne opservacije u uzorku.
Izračunati marginalni efekti
PROBIT modela
Probit regression, reporting marginal effects
Log pseudolikelihood = -749.37101
deny
pi_rat
ccred
black*
obs. P
pred. P
Number of obs
Wald chi2(3)
Prob > chi2
Pseudo R2
Robust
Std. Err.
z
P>|z|
x-bar
.446225
.0317579
.1127733
.0725547
.0032244
.02237
6.03
9.97
6.08
0.000
0.000
0.000
.330814
2.11639
.142437
.1197479
.0949069
(at x-bar)
dF/dx
[
=
2380
= 204.11
= 0.0000
= 0.1407
95% C.I.
.30402
.025438
.068929
]
.58843
.038078
.156618
(*) dF/dx is for discrete change of dummy variable from 0 to 1
z and P>|z| correspond to the test of the underlying coefficient being 0
Marginalni efekti rase prema promenljivoj
PI_rat
.8
.7
.6
.5
DENY_0
DENY_1
.4
.3
.2
.1
.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
PI_RAT_PLOT
0.7
0.8
0.9
1.0
Poređenje ocenjenih modela verovatnoće
C
PI_RAT
CCRED
BLACK
Koef.
-0.164
0.527
0.043
0.133
LMV
Marg. efekat
-0.164
0.527
0.043
0.133
Probit
Logit
Koef. Marg. efekat Koef. Marg. efekat
-2.658
/
-4.849
/
2.642
0.446
5.133
0.427
0.188
0.032
0.340
0.028
0.529
0.113
0.950
0.104
Nelinearni modeli (alternativni pristup)


Pomoću modela indeksne funkcije (eng. index function
models).
Uvodimo u model latentnu promenljivu yi* i definišemo model:
yi* = β’xi + εi ,
pri čemu promenljivu yi* ne opažamo u praksi.
Ono što opažamo je veštačka promenljiva (eng. indicator
variable) y definisana kao:
yi = 1 za yi* > 0
= 0 za yi* ≤ 0.
 Verovatnoća da je y = 1 je :
E [yi* | x] = Pr [yi =1 | x]
Pr (Yi = 1) = Prob (εi > - β’xi) = 1 – F (-β’xi); Prob =1-F(-index),

gde je F funkcija raspodele verovatnoće greške ε.
Logit i probit model

Ukoliko pretpostavimo logističku funkciju raspodele za
slučajnu grešku εi , dolazimo do specifikacije logit
modela:
Prob (Y = 1) = eβ’x / (1+ eβ'x) = Λ (β’x),
pri je Λ (.) oznaka logističke funkcije raspodle.

U probit modelu (još se naziva i normit model)
pretpostavljamo normalnu standardizovanu funkciju
raspodle slučajne greške (εi : N (0,1)) iz čeka sledi:
Prob Y  1 
 'x


  
1
exp  t 2 2 dt 
2
 'x
  t dt   ' x

gde je Φ (.) uobičajena notacija za standardizovanu
normalnu raspodelu.
Logit ili Probit model?

Logit model jednostavniji za ocenjivanjem, a rešavanjem
po β’x daje sledeću relaciju:
 P 
 'x

e
  1  P 
gde je Pi verovatnoća realizacije pozitivnog ishoda, y=1,
dok je (1-Pi) verovatnoća realizacije suprotnog događaja,
y=0. Količnik [Pi / (1-Pi)] je poznat “odds ratio” (odnos
verovatnoća prvog i drugog izbora). Prirodni logaritam
odnosa ovih verovatnoća je:
ln [ P / (1-P)] = β’x.

Dve raspodele su veoma bliske, osim na krajevima, gde
logistička funkcija raspodele ima “teže” repove (logistička
raspodela je zapravo bliža t raspodeli sa sedam stepeni
slobode).
Funkcije raspodele logit i probit modela
p
1
Probit
Logit
0
Poređenje LMV, probit i
logit modela


Logistička raspodela - varijansa π2/3, tako da se ocene β
dobijene iz logit modela moraju pomnožiti sa 31/2/ π da bi
se uporedile sa ocenama probit modela.
Amemiya (1981) je predložio sledeću vezu:
βprobit ≈ 0.625 βlogit
ocene iz logit modela se množe sa 1/1.6 (umesto 31/2/ π ).

Takođe predložene su i sledeće relacije:
β LPM ≈ 0.25 β logit (osim za konstantu)
β LPM ≈ 0.25 β logit + 0.5 (za konstantu).
Ocenjivanje modela binarnog izbora




Sa izuzetkom LMV, modeli binarnog izbora se ocenjuju
metodom maksimalne verodostojnosti (MV).
Jednačine verodostojnosti logit i probit modela su
nelinearne po β, što zahteva primenu nekog od poznatih
iterativnih metoda optimizacije.
Najčešće se primenjuje Newton-Raphson-ov metod.
Asimtotske ocene kovarijante matrice ocena MV
moguće je izračunati na više načina.
Ocenjivanje i zaključivanje u
nelinearnim modelima binarnog izbora

Polazimo od sledećeg logaritma funkcije verodostojnosti:
n
log Ln  log Ln ( x;  )   y i log F  ' x i   1  y i  log1  F  ' x i ,
i 1

Uslov maksimizacije definisan je kao:
S n ( ) 
 log Ln
 0,

pri čemu je jednačina verodostojnosti Sn(β) poznata i kao funkcija
ostvarenih pogodaka (eng. score function).

Za oba modela jednostavno pokazuje da je ispunjen uslov
globalne konkavnosti (Hessian-ova matrica je uvek negativno
definitna: Hn(β) =∂2log Ln (β) / ∂β ∂β’ <0).
Izračunavanje asimp.ocena
kovarijantne matrice ocena MV
1.
Kao negativna inverzna Hessian-ova matrica za ocene MV:

 
2


  ln L(  ) 
A var (  )   









'


1

V
2. The Berndt, Hall, Hall, and Hausman (BHHH) ocene:
B   g xixi '
2
i
i
gde je gi izračunato na bazi prvih izvoda logit i probit modela.
3. Ocena zasnovana na očekivanoj vrednosti Hessian-ove
matrice: H = E (H).
Zaključivanje u modelima binarnog
izbora

Ocene MV su konzistentne i poseduju asimptotski
normalnu raspodelu

Testiranje hipoteza:
-
Za testiranje ograničenja na pojedinačne parametre
modela koriste se kritične vrednosti normalne
stand.raspodele(z), odnosno testiranje F-testom.
-
Testiranje složenijih hipoteza, kojima se zahteva da
koeficijenti u ocenjenom modelu zadovoljavaju izvesna
linearna ili nelinearna ograničenja, sprovodi se
primenom sledećih, asimptotski međusobno
ekvivalentnih testova: Wald-ovog, testa količnika
verodostojnosti (LR test) i testa Lagrange-ovog
multiplikatora.
Pokazatelji kvaliteta modela binarnog
izbora


Uobičajeno je da se navodi: vrednost log. funkcije
verodostojnosti, prosečna vrednost ovog logaritma, statistika
količnika verodostojnosti (LR statistika) i njoj pridružena
verovatnoća.
Pseudo – R2 ili McFadden-ov indeks količnika verodostojnosti
(McFadden’s likelihood ratio index), koji poredi vrednost
logaritma funkcije verodostojnosti u ocenjenog modela (L) i
modela u kome je prisutna samo konstanta (isključene su sve
objašnjavajuće promenljive iz modela, L0):
pseudo-R2 = LRI = 1 – (lnL / lnL0).


Vrednost ovog pokazatelja se kreće u intervalu od 0 do 1,
podseća na koeficijent determinacije linearnih modela ali nema
tako direktnu interpretaciju.
Koeficijent korelacije između stvarnih ishoda i modelom
predviđenih verovatnoća.
Pokazatelji kvaliteta modela binarnog izbora
(nastavak)

Procenat tačnih predviđanja modela (ExpectationPrediction Evaluation), koji je prestavljen tabelom
pogodaka i promašaja dimenzija 2x2 u slučaju binarnog
modela, a kao pravilo predviđanja koristi se:
y = 1 if F > F* i y = 1 za ostalo.


Najčešće se kao granica predviđanja koristi F* = 0.5 (u tom
slučaju model predviđa ishod 1 ako je verovatnoća
realizavije ovog ishoda veća).
Problem ovog pokazatelja uočljiv je u nebalansiranim
uzorcima (mali broj ishoda 1 u uzorku).
Primer 2. Učešće žena na
tržištu rada u Srbiji


2002 ARS, 1528 zaposlenih žena od ukupno 4376 žena
uzrasta od 18 do 65 godina u uzorku.
Zavisna promenljiva Y je binarna, uzima vrednosti 1/0 za
odgovore žena da/ne, na pitanje da li su zaposlene ili ne (has
job =1 ili 0).
Objašnjavajuće promenljive :
age = godine starosti
m_stat1 = bračni status; binarna promenljiva, uzima vrednost 1
za neudate žene, a 0 u suprotnom slučaju
educ =godine školovanja žene, ili
sc1 = završena osnovna škola
sc2 = završena srednja škola
sc3 = završena viša škola
sc4 = završen fakultet ili više (magistri i doktori nauka).

Rezultati ocenjivana ponude ženske radne snage (I
varijanta probit modela)
Has job
age
age2
m_stat1
educ
dF/dx
0.1157
-0.0014
0.0579
0.0820
st.dev.
0.00461
0.00006
0.01912
0.00314
z
23.270
-22.880
3.070
25.000
P>|z|
0.000
0.000
0.002
0.000
Predviđeno
Y=0
Stvarno
Y=1
Total
Y=0
2434
85.46%
457
29.91%
2891
66.06%
Y=1
414
14.54%
1071
70.09%
1485
33.94%
Total
2848
100%
1528
100%
4376
100%
Rezultati ocenjivana ponude ženske radne snage (II
varijanta probit modela)
Has job
dF/dx
0.1170
-0.0139
0.0579
0.2077
0.5144
0.6928
0.7478
age
age2
m_stat1
school1
school2
school3
school4
st. dev.
0.0047
0.0001
0.0192
0.0446
0.0313
0.0255
0.0173
z
23.110
-22.670
3.050
4.770
13.610
13.710
16.360
P>|z|
0.000
0.000
0.002
0.000
0.000
0.000
0.000
Predviđeno
Total
Y=0
Stvarno
Y=1
Total
Y=0
2430
85.32%
455
29.78%
2885
65.93%
Y=1
418
14.68%
1073
70.22%
1491
34.07%
2848
100%
1528
100%
4376
100%
Logit i probit modeli poređanog izbora

-

Primeri izbora između poređanih alternativa:
Ocena kreditne sposobnosti
Istraživanja javnog mnjenja i marketinška istraživanja
Istraživanje zaposlenosti (sa punim radnim vremenom,
pola radnog vremena ili nezaposlen)
Izbor različitih nivoa osiguranja
Izbor programa medicinske zaštite
Interesantna primena: Bernholz i Kugler (2006) koji
analiziraju uspešnosti mera preduzetih sa ciljem
zaustavljanja više od 30 hiperinflacija u svetu.
Dodeljen rang za npr. kreditnu sposobnost na skali od 0
do 6, ima ordinalni karakter, odnosno razlika između
ranga 2 i 3 ne mora biti istog značaja kao razlika između
ranga 4 i 3.
Specifikacija modela
poređanog izbora


Polazimo od regresionog modela latentne zavisne promenljive
yi* :
yi* = β΄xi + εi.
U praksi se opaža jeste promenljiva yi koja se definiše na
sledeći način:
yi =0 ako yi* ≤ 0
=1 ako 0< yi* ≤ μ1
=2 ako μ1 < yi* ≤ μ2
...
= J ako μJ−1 ≤ yi* ,
μ1 < … < μJ-1 < μJ

Nepoznati parametri μj (j = 1, 2,…, J) se nazivaju tačke
odsecanja (eng.cut points) ili parametri praga(eng.threshold
parametars) i ocenjuju se zajedno sa vektorom β.
Probit model poređanog izbora

Za normalnu standardizovanu raspodelu slućajne greške εi,
funkcija verovatnoće j-tog izbora se definiše kao:
Prob (yi = 0) = Φ (μ1 – β’x),
Prob (yi = 1) = Φ (μ2 – β’x) – Φ (μ1 – β’x)
...
Prob (yi = J-1) = Φ (μJ – β’x) – Φ (μJ-1 –β’x),
Prob (yi = J) = 1-Φ (μJ –β’x),
gde je Φ (.) oznaka za normalnu standardizovanu raspodelu, a
ф(.) za odgovarajuću funkciju gustine.
Funkcija gustine probit modela poređanih alternativa
(npr. J=4)
Marginalni efekti u modelu
poređanog izbora

Marginalni efekat promene xk na verovatnoću ostvarenja jtog ishoda probit modela definisan je kao:
 Prob y  0
  k  (  1  ' x)
xk
 Prob y  j 
  k  ( j 1   ' x)   ( j   ' x)
xk


 Pr oby  J 
 k ( J  ' x ),
x k
gde je ф(.) odgovarajuća funkcija gustine normalne raspodele.
Verovarnoća Prob(y =0) se menja u smeru suprotnom znaku
izračunatog koeficijenta  k, dok se verovatnoća Prob(y = J)

menja u smeru koji odgovara znaku koeficijenta  k .

Efekat promene x na predviđene verovatnoće u
modelu poređanih alternativa

(na primeru tri ishoda (0,1, i 2) i pozitivne ocene  k )
0.4
0.3

k
0.2
0.1
0
0
1
2
Primer 3. Izbor penzionog plana
Izvor: Wooldridge (2002) - Asset allocation in pension
plans.
 Analizirna je razlika u izboru penzionog plana ukoliko je
pojedinac u mogućnosti da utiče na taj izbor. Korisceni su
podaci Papke(1998) gde su odgovori kodirani kao ”pretežno
obveznice”, “mešavina/kombinacija” i “pretežno akcije”
(“mostly bonds”, “mixed” and “mostly stocks”) kao 0, 50 i
100.
 Objašnjavajuća promenljiva u modelu je: choice = binarna
promenljiva, uzima vrednost 1 ako je pojedinac sam odabrao
strukturu sopstvenog penzionog plana, 0 u suprotnom slučaju.
 Ostale objašnjavajuće promenljive su: nivo obrazovanja,
pol, rasa, bračni status, prihodi domačinstva (uvedeni kroz
set veštačkih promenljivih), bogatstvo i veštačka
promenljiva za pojedince koji imaju zajednički penzioni plan.

Rezultati ocenjivanja (nastavak primera 3)






ONK: βchoice = 12,05 (12 % više onig koji biraju akcije).
Probit: βchoice = 0,371 (veličina koeficijenta nema dir.
interpretaciju, ali znak i statistička značajnost potvrđuju
nalaz linearnog modela).
Veličina uticaja (marginalni efekat) se mogu oceniti kao:E (y
| x) pri čemu je choice =1 ili choice=0.
Kao ilustarciju koristiti: osobu staru 60 godina, sa 13,5
godina obrazovanja, samca, muškarca, belu osobu, sa
godišnjim prihodima 50-75000$ i bogatstvom u 1989. god.
od 200000 $.
Za razliku u mogućnosti izbora (choice je 1 ili 0) ocenjene
verovatnoće su 50,4 i 36,6 tako da je razlika u verovatnoći
12,8%.
Ukupan broj tačnih pogodaka modela je 44,3%.