Transcript Wykład05

MECHANIKA 2
KINEMATYKA
Wykład Nr 5
RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY
Określenie położenia ciała sztywnego
Pierwszy sposób:
Określamy położenia trzech
punktów ciała nie leżących
na jednej prostej.
Określenie położenia ciała sztywnego
Drugi sposób:
 układ nieruchomy
0, x, y, z
Rys.1
y
A,  ,  ,
układ
ruchomy
sztywno związany z
bryłą

Określenie położenia ciała sztywnego
Określenie położenia bryły → wyznaczenie położenia układu
A,  ,  , względem układu nieruchomego.
Równanie ruchu:
(1)
gdzie:
Określenie położenia ciała sztywnego
Po podstawieniu do (1):
(2)
Osie układu stałego x, y, z tworzą z osiami  ,  ,  układu
ruchomego kąty, których kosinusy oznaczymy kolejno:
cos(x,  ) a11
cos(y, ) a21
cos(z, ) a31
cos(x, ) a12
cos(y,) a22
cos(z,) a32
cos(x, ) a13
cos(y, ) a23
cos(z, ) a33
Określenie położenia ciała sztywnego
Kosinusy te można przedstawić za pomocą tabelki



x
y
z
  
Mnożąc skalarnie równanie (2) kolejno przez i, j, k, :
(3)
Określenie położenia ciała sztywnego
Następnie mnożąc kolejno równanie (2) skalarnie przez
wektory  ,  ,  , :
o
o
o
(4)
(3) – współrzędne dowolnych punktów bryły w układzie stałym;
(4) – współrzędne dowolnych punktów bryły w układzie ruchomym.
Mamy 12 wielkości zależnych od czasu t:
x A , y A , zA ,
oraz kosinusy kierunkowe.
Związki między kosinusami:
Mamy więc sześć wielkości niezależnych:

x A , y A , zA ,
 trzy (niezależne od siebie) kosinusy kierunkowe
Ciało sztywne ma sześć stopni
swobody.
Ruch kulisty bryły
Ruchem kulistym nazywamy taki ruch ciała sztywnego, w
którym jeden jego punkt A pozostaje nieruchomy (rys. 1).
 Tory wszystkich pozostałych punktów ciała sztywnego leżą
na powierzchniach kul o środku w punkcie A.
 Ciało sztywne może obracać się tylko dookoła osi
przechodzących przez nieruchomy punkt A, zwany środkiem
obrotu kulistego.
Ruch kulisty bryły
O – środek obrotu kulistego.
Łuk AB , zawarty w powierzchni kulistej (tj. powierzchni
poruszającej się po powierzchni jednej kuli), porusza się z położenia
AB do położenia A1 B1 poprzez obrót dookoła punktu C, w
którym przecinają się łuki prostopadłe do AA1 i BB1 wyprowadzone
z ich środków (rys. 2).
Rys. 2
Ruch kulisty bryły
Zamiast łuku można przyjąć przekrój bryły na powierzchni
rozpatrywanej kuli.
 Ponieważ w ruchu tym punkty O i C są nieruchome, to ruch
ten odbywa się wokół osi przechodzącej przez punkty O i C.

Rys. 2
Oś obrotu przechodząca
przez punkty OC nazywa
się chwilową osią obrotu.
Ruch kulisty bryły
Przyjmijmy położenie II nieskończenie blisko
położenia I tak, że bryła przechodzi z I do II w
nieskończenie krótkim czasie.
Miejscem geometrycznym tych osi w układzie 0, x, y, z jest
powierzchnia stożkowa zwana aksoidą stałą
(wszystkie osie przechodzą przez punkt 0).
Miejscem geometrycznym tych osi w układzie A,  ,  , 
powierzchnia stożkowa zwana aksoidą ruchomą.
Wierzchołki obu tych aksoid zbiegają się w środku
ruchu kulistego 0.
jest
Przyjmujemy, że:
x A  0, y A  0, zA  0,
Stąd:
6 zależności pomiędzy kosinusami kierunkowymi
Własność!
Ruch kulisty będzie określony, jeżeli znana będzie zależność od
czasu trzech niezależnych od siebie kosinusów kierunkowych
określających położenie układu ruchomego względem układu
stałego.
Kąty Eulera
Przyjmujemy stały układ
0, x, y, z i w tym samym
początku 0 ruchomy 0, ,
, .
Rys. 3
j kąt obrotu
Rys. 3
Położenie układu
ruchomego możemy
określić za pomocą
trzech kątów, zwanych
kątami Eulera (Rys. 3)
linia węzłów
Równania ruchu kulistego:
y  y (t ), j  j (t ),u  u (t )
Kąty Eulera:
y- precesji,
u - nutacji,
j -obrotu
Pole prędkości w ruchu kulistym
0 – początek układu stałego i ruchomego w środku ruchu kulistego
Po zróżniczkowaniu:
Rys. 4
Moduł wektora prędkości jest równy
Oczywiście rozważany na rys. 4 punkt nie porusza
się stale po okręgu o promieniu r, lecz oś obrotu
chwilowego zmienia z czasem swoje położenie, a
więc z czasem zmienia się odległość r. W rezultacie
punkt ten porusza się po krzywej leżącej na
powierzchni kuli o promieniu ri.
Pole przyspieszeń w ruchu kulistym
Wektor prędkości kątowej leży na chwilowej osi obrotu.

Przyspieszenie liniowe dowolnego punktu bryły
ale
i
Rys. 5
Pole przyspieszeń w ruchu kulistym
Lub:
W ruchu kulistym przyspieszenie dowolnego punktu bryły
jest sumą geometryczną przyspieszenia normalnego i
stycznego.
– wartość
przyspieszenia
stycznego
Rys. 5
– wartość
przyspieszenia
normalnego.
Ruch ogólny
Z położenia I do położenia II bryła porusza się za
pomocą przesunięcia (ruchu postępowego) i obrotu
(ruchu obrotowego) dookoła osi przechodzącej przez
obrany biegun.
Rys. 6
Przemieszczenie bryły w ruchu ogólnym
xA , y A , z A
y , j, u
– współrzędne punktu A w układzie
0, x, y, z
.
– kąty, wokół których obraca się ciało
wokół bieguna (zwane kątami Eulera).
Ruch ogólny jest więc złożony z ruchu postępowego i
kulistego.
Współrzędne bieguna A jak i kąty Eulera są pewnymi
funkcjami czasu stąd równania ruchu ogólnego mają postać
Równania ruchu ogólnego:
Po zróżniczkowaniu równania ruchu:
wiedząc, że
– prędkość ruchu postępowego,
– prędkość obrotu.
Pole prędkości bryły w ruchu ogólnym:
Składowe wektora prędkości w układzie stałym
mają postać:
Pole przyspieszeń w ruchu ogólnym
Różniczkując równanie na pole prędkości bryły w ruchu
ogólnym:
czyli
gdzie:
– przyspieszenie styczne punktu P
pochodzące od obrotu ciała wokół punktu
A.
Pole przyspieszeń w ruchu ogólnym
– przyspieszenie normalne punktu P
pochodzące od obrotu ciała wokół
punktu A.

aA
–
przyspieszenie
postępowego.
ruchu
Przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu
ogólnym jest sumą geometryczną przyspieszenia ruchu
postępowego, przyspieszenia stycznego i normalnego.
Przykład
W gniotowniku wał o długości 2R, na którego końcach osadzone
są dwie tarcze o promieniu r, obraca się wokół pionowej osi ze
stałą prędkością kątową w1, przy czym tarcze toczą się bez
poślizgu. Znaleźć aksoidy tarczy, jej prędkość kątową oraz
prędkość punktu C tarczy (rys. a)).
ROZWIĄZANIE
Rozpatrzmy ruch tylko prawej tarczy, gdyż ruchy obu z
nich są równoległe.
Wprowadzamy układ nieruchomy i ruchomy o środku w
punkcie O.

Oś OA – chwilowa oś obrotu.
 Punkt O – środek ruchu kulistego.
 Punkt A oraz oś OA – zmieniają swoje położenia w obu
układach.

ROZWIĄZANIE
Miejsce geometryczne punktów styczności
W układzie stałym
W układzie ruchomym
Okrąg w płaszczyźnie
poziomej o promieniu R
Obwód toczącej się tarczy
(okrąg o promieniu r)
Aksoidy stałe
W układzie stałym
W układzie ruchomym
Stożek o rozwarciu 2β
Stożek o rozwarciu 2α
ROZWIĄZANIE
Zależności między kątami 2b i 2a:
Wniosek: Ruch tarczy można odtworzyć przez toczenie po sobie bez
poślizgu dwóch stożków kołowych. Ruch taki nazywa się precesją
regularną.
Aby znaleźć prędkość tarczy, która jest skierowana wzdłuż
chwilowej osi obrotu, rozpatrzymy ruch punktu B (środka tarczy). Z
jednej strony, prędkość punktu B jest równa
(ponieważ punkt B porusza się po okręgu o promieniu R).
ROZWIĄZANIE
Z drugiej strony, rozpatrując ruch tarczy jako ruch obrotowy wokół
chwilowej osi obrotu, znajdziemy
Stąd:
Prędkość punktu C znajdziemy traktując ruch tarczy jako chwilowy
ruch obrotowy wokół osi 0A
gdzie DC jest odległością punktu C od chwilowej osi obrotu
Po podstawieniu otrzymujemy: