Transcript Mécanique des fluides 1ère partie

Cours de Mécanique des fluides
Généralités
Hydrostatique
Olivier LOUISNARD
Qu’est-ce qu’un fluide ?
• pas de forme propre
• s’écoule si on lui applique une force
• prend la forme du récipient
• Les molécules interagissent (peu pour les gaz)
• Gardent une certaine mobilité les unes par rapport aux autres.
• Pas d’ordre comme dans un solide (ordre local pour les liquides)
Limite solide / fluide parfois floue :
• dépend de la dynamique de la sollicitation
(sable mouillé, polymères, pâtes)
• états semi-ordonnés (ou « indécis »)
(verre et liquides vitreux, cristaux liquides, colloïdes)
• dépend de l’échelle de temps considérée (glacier)
Quelques fluides
Monophasiques
eau, air, huile, métaux fondus, ...
Multiphasiques
• aérosols = L ou S dans V (brouillard, essence dans carburateur, fumée)
• émulsions = L dans L (lait, vinaigrette, anisette, shampoing...)
• suspensions = S dans L (pâtes, boues)
• liquides à bulles = G dans L (sodas, surface de l’océan, distillation,
fluides de refroidissement, mousses)
« Complexes »
• magma, plasmas, ferrofluides (propriétés magnétiques)
• polymères, micelles, cristaux liquides (molécules 1D ou 2D...)
• milieux granulaires (sable, poudres)
Quelques fluides complexes
Ferrofluides
Lait
Cristaux liquides
Liquide à bulles
Sang
Description macroscopique d’un fluide
Microscopique : ce qu’on ne voit pas directement
• Atomes ou molécules + ou - libres les uns / aux autres
• Liquide = fort encombrement / interactions forte
• Gaz = faible encombrement / interactions quasi nulles
Macroscopique : à notre échelle
• un fluide apparaît comme un milieu continu
• il exerce/subit des forces sur/par notre environnement
On cherche à représenter ce que l’on voit par des variables et des
équations continues / à x,y,z.
On veut donc « gommer » les inhomogénéités microscopiques
=> homogénéisation
Si possible un modèle valable pour gaz ET liquides
Homogénéisation
r(x) = ? (en nbre de voitures / km)
dx petit du point de
vue macro
x
Suffisamment petit : pas de
variation de densité à cette échelle
Echelle macroscopique (km)
Echelle mésoscopique
(50 m)
Echelle microscopique (m)
x
Volume de moyennage
Suffisamment grand : doit contenir
un nombre suffisant de voitures
L grand du point de vue micro
Le fluide comme un milieu continu
Comment définir une densité r et une vitesse v variant continument / x,y,z ?
Masse volumique r (x,y,z) = ? (kg/m3)
(x,y,z)
(x,y,z)
v = dV
Vitesse v (x,y,z) = ?
mi
mi
vi
V
v = dV
Echelle mésoscopique
Echelle macroscopique
r( x, y,z,t )
m dM
å
=
=
i
v
dV
Masse volumique (kg/m3)
Echelle microscopique
mv
å
v( x, y,z,t ) =
åm
dP
r dV
i
Champ de vitesses
i
i
=
r et v grandeurs continues (et dérivables...) / à x, y, z
Pas toujours vrai .... (ondes de chocs, vides poussés)
Milieu continu : grandeurs volumiques
G(t) grandeur extensive contenue dans V
(c.a.d. G augmente avec le nombre de molécules)
dV
dG
grandeur volumique
On définit : g(x, y,z,t) =
dV
donc G( t ) = òòò gdV
òòò r dV
P( t ) = òòò rvdV
K ( t ) = òòò rv dV
U ( t ) = òòò rudV
M (t) =
V
Masse de fluide dans V
V
V
V
1
2
2
Quantité de mouvement de V
Energie cinétique de V
V
M(t), P(t), K(t), U ( t )
Energie interne de V
V
grandeurs
globales (représentent tout le volume V)
r( x, y,z,t ), v( x, y,z,t ), u( x, y,z,t )
grandeurs locales (définies en chaque point)
Remarque : V peut être fixe ou mobile (par rapport à nous)
Masse volumique
r (x,y,z,t) en kg/m3
Eau
Mercure
Air (20°C, 1 bar)
1000 kg/m3
13540 kg/m3
1.3 kg /m3
A priori non uniforme dans l’espace
Varie avec la température (même pour un liquide) : dilatabilité
Varie avec la pression (peu pour un liquide) :
compressibilité
le fluide incompressible
Une approximation bien utile :
r = r0 constant par rapport à t et x, y, z
Conditions de validité : plus tard (amphi 4, poly chapitre 5)
M ( t) =
òòò r dV = rV
V
Masse de fluide dans V
Forces exercées sur un fluide
S
dS
V
dV
Forces surfaciques ou « de contact » exercées sur
chaque élément de surface dS
• pression
• frottement visqueux (seulement si fluide en mouvement)
Forces volumiques exercées sur chaque élément de volume dV
• poids,
• forces d’inertie (référentiel non-galiléen),
• forces électriques, magnétiques …
Forces de pression: approche intuitive
Equilibre :
Fp1
Liquide en
équilibre
mécanique
•
•
n1
vers le haut
donc
S1
h
S2
P =mg
S
Une force Fp vers le haut Fp2
compense le poids
n2
proportionnelle à S
Fp est en fait la résultante de
2 forces Fp1 et Fp2
• Fp1 et Fp2 orthogonales à S1, S2
• Fp1 et Fp2 vers l’intérieur de V
On écrit donc :
p1 et p2 pressions, positives
n1 et n2 normales sortantes
Origine microscopique de la pression : gaz
Pour un gaz, c’est simple…
PRESSION =
Echange de quantité de
mouvement avec les molécules
dS
n
Fp= - p n dS
Système subissant
la pression
Pression dans un gaz
Réalisé (par votre serviteur…) avec un petit logiciel « gadget »
Origine microscopique de la pression : liquide
Pour les liquides, pression aussi liée aux chocs …
… mais plus compliqué
Forces attractives et répulsives
=> liquides peu compressibles : distance intermoléculaire ~constante
Attractive
=> un liquide a une « cohésion »
=> on peut « tirer dessus » sans le déchirer => pressions négatives
=> il peut s’accrocher à / s’étaler sur des solides (capillarité, mouillage)
Force de pression
Expression générale : on considère un volume V fermé par une surface S
découpée en petits éléments de surface dS, de normale sortante n
S
n
òò
Fp =
dS
Fp =
S
dFp= -pn dS dS
V
dFp
òò
-pn dS
S
A retenir
n
Remarque importante : en vertu du théorème de la normale
òò
n dS = 0,
Sfermée
on peut ajouter ou soustraire
une constante arbitraire à p :
Fp =
òò
S
- (p-p0) n dS
Forces volumiques
-rdV (ae+ac)
somme des poids élémentaires dm g = rdV g
de toutes les particules fluides dV
Poids :
dV
P=
V
òòò
rg dV
Attention !
a priori r(x,y,z)
V
rdV g
Forces d’inertie : somme des forces d’inertie élémentaires
(en référentiel non
galiléen)
-dm (ae+ac) = -rdV (ae+ac)
de toutes les particules fluides dV
(cf. rappel annexe poly)
Fie+Fic =
òòò -r(a +a ) dV
e
c
V
Forces électriques et magnétiques :
(pour info : plasmas, magma, ferrofluides)
Obtenues de la même façon.
Responsables du champ magnétique
terrestre (magnéto-hydrodynamique)
Hydrostatique : équation globale
Décrit un fluide immobile (dans un référentiel galiléen ou non)
Equilibre entre :
Forces de pression
Fp =
òò -p.n dS
Forces volumiques
Fp
dS
S
P=
S
òòò rg dV
V
V
n
P
Fp+ P = 0
òò -p.n dS + òòòrg dV = 0
S
V
A retenir !!
Variation spatiale de la pression
La résultante des forces de pression
équilibre le poids
Fp =
P
òò -p.n dS
S
• Elle est donc toujours dirigée vers le haut
C’est la poussée d’Archimède !
Fp
dS
V
• La pression est donc plus grande
en profondeur
Pour le montrer, on va réécrire l’équation de l’hydrostatique
sous forme locale (= exprimée en tout point)
P
n
Hydrostatique : équation locale
òò -p.n dS + òòòrg dV = 0
S
Or (formule de Green):
V
òò -p.n dS = òòò -grad p dV
S
Donc :
V
òòò -grad p dV + òòòrg dV = 0,
V
vrai quel que soit V
V
L’intégrande doit être nul, donc
grad p = rg
A retenir
Hydrostatique : conséquences
grad p = rg
• Peut être intégrée pour trouver le champ de pression p(x,y,z)
dans un fluide au repos
• Condition aux limites : p = patm sur la surface de contact avec l’air
• Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont perpendiculaires à g
(car grad p = vecteur perpendiculaire à p = cte)
• La pression augmente quand on se dirige dans le sens de g
(c’est le problème du plongeur)
• La pression diminue quand on se dirige en sens inverse de g
(mal de l’altitude, pressurisation des cabines d’avion)
Hydrostatique en référentiel non galiléen
Le fluide est immobile par rapport à un référentiel R’ qui accélère / R
• une cuve ou un verre dans un véhicule qui freine/accélère (ae horizontal)
• miroirs liquides (cf. TD), centrifugeuses (ae radial)
• expériences en gravité zéro (ae = g)
• Il faut ajouter la force d’inertie d’entraînement
• La force de Coriolis est nulle en statique car le fluide est immobile
Fie =
Fp+ P + Fie= 0
òòò -ra dV F = 0
V
òò -p.n dS + òòòr(g - a )dV = 0
e
ic
e
S
V
Tout revient à remplacer g par la « pesanteur apparente » g - ae
Hydrostatique en référentiel non galiléen
Les équations sont les mêmes en remplaçant g par g - ae
Sous forme globale :
òò
S
Sous forme locale :
-p.n dS +
òòò
r(g -ae) dV = 0
V
grad p = r (g -ae)
Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont maintenant
perpendiculaires à g - ae
On peut simuler l’apesanteur en prenant ae = g
Force d’Archimède
• Rappel : Ce n’est rien d’autre que la résultante des forces de pression.
• On cherche en général la force exercée sur un corps étranger au fluide
(solide ou bulle dans liquide, ballon d’hélium dans l’air...)
Fp= ?
S
Fluide
immobile
On remplace
par du fluide
Fluide
immobile
Fp
S
V
Corps
étranger
(pas en équilibre)
Fluide
en
équilibre
V
rfluideVg
Le champ de pression est le même dans les deux cas, donc Fp aussi.
L’équilibre dans le deuxième cas montre que Fp= - rfluideVg
Force sur un corps dans un fluide statique
Fp= - rfluideVg
S
Corps
étranger
V
Pcorps= rcorpsVg
Le corps n’est pas en équilibre !
Pcorps+ Fp = (rcorps-rfluide)Vg ≠ 0
Deux cas possibles
• rcorps > rfluide : il descend
• rcorps < rfluide : il monte
Et pourtant, il flotte...
On peut généraliser le raisonnement à un objet partiellement immergé.
On retiendra :
Fp= - rfluideVimmergé g
Dans ce cas l’équilibre est possible :
Iceberg
V
Vimmergé
Pcorps+ Fp = 0 =>
Le corps est moins dense :
rfluide> rcorps
Vimmergé < V
Bateau en alu
V
Vimmergé
rcorpsV = rfluideVimmergé
Le corps est pourtant plus dense :
rcorps > rfluide
mais V < Vimmergé
Densité
On définit la densité d’un corps par :
d = rcorps/ reau
si solide ou liquide
d = rcorps / rair (20°C,1 atm)
si gaz
Rappel sur les unités
Masse volumique r :
unité SI :
kg / m3
Pression p :
unité SI :
N / m2 = kg m-1 s-2 = Pa (Pascal)
• 1 bar = 100 kPa
• 1 torr = 1 mm Hg
• 1 psi = 1 pound / square inch
Pression atmosphérique :
1 atm = 1,01325 bar = 101325 Pa = 760 torr = 14,70 psi
Moment des forces de pression
Utile pour les problèmes de stabilité / à la rotation.
S
n
V
dS
dFp= - pn dS dS
M
A
AM
n
M
Moment total en A de Fp = somme des moments élémentaires en A des dFp
MA(Fp) =
òòAM  dF
p
soit :
MA(Fp) =
S
Le second théorème de la normale
permet de retrancher une constante à p :
òòAM  - pn dS
S
MA(Fp) =
òòAM  - (p-p ) n dS
0
S
Centre de poussée d’Archimède
En particulier, on peut définir le centre de poussée C (ou centre de carène)
d’un volume V immergé totalement ou non.
C’est le point C tel que MC(Fp) = 0.
soit :
0=
òò CM  - pn dS
Simmergée
On montre que :
Le centre de carène C est le
centre de gravité du volume immergé
Exercices d’application de l’hydrostatique
• Intégration de l’équation de l’hydrostatique
- dans un liquide incompressible
- dans l’atmosphère
- dans en liquide en référentiel non galiléen
• Mesure de la densité avec un tube en U