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Cours de Mécanique des fluides
Equations de
conservation
Olivier LOUISNARD
Plan des cours 3 et 4
• Equations de conservation d’une grandeur G extensive
forme générale
• Flux convectif :
G est transporté par un écoulement
• Conservation de la masse, quantité de mouvement et énergie
• Une force supplémentaire : les frottements visqueux
• Equations locales
• Modèles : fluide incompressible, fluide parfait
• Fluide parfait incompressible : la formule de Bernoulli
Principes de conservation
La nature conserve plusieurs grandeurs :
• la masse
• la quantité de mouvement
(= principe fondamental de la dynamique)
• l’énergie
(= premier principe de la thermo)
• (la charge)
« Rien ne se perd, rien ne se crée »
Principe de conservation
Bilan d’une grandeur G dans un volume V
Flux entrant
de G
Habitants d’un pays
Animaux sur un territoire
De l’argent
G = Masse
Quantité de mouvement
Energie
Charge électrique
Flux sortant
de G
V
Production
de G
Destruction
de G
dG
Flux
Flux
= entrant
- sortant + Production - Destruction
dt
Deux sortes de flux
Flux = mouvement d’une grandeur à travers une surface
• convectif = transporté par le fluide (à cause de v)
• diffusif
= causé par un gradient
Exemple « quotidien » pour un flux d’énergie :
Diffusif
Convectif
(du chaud vers le froid)
(forcé par le mouvement du fluide)
Flux diffusif
Flux convectif
Système = Volume de fluide V FIXE
• limité par S
• contenant une certaine quantité G
Rappel :
(G = masse, énergie, ...)
G( t ) =
òòò g dV
V
• traversé par du fluide transportant G
S = Se + Ss
Ss
Se section d’entrée
Se
Ss section de sortie
V
Comment G(t) varie ?
On veut calculer :
quantité de G
transportée par le fluide
qui entre dans V
par sa frontière Se
fe
-
quantité de G
transportée par le fluide
qui sort de V
par sa frontière Ss
fs
Démarche
Flux convectif Flux convectif
Production
entrant
sortant
dG
= fe - fs
dt
+ R+ -
Destruction
Flux diffusifs
+ fd
R-
•
On cherche le flux convectif fe - fs (= transporté par le fluide)
pour n’importe quelle grandeur G
•
Puis on écrira les termes sources/puits R+ - Ret flux diffusifs
f
d
pour G = masse, quantité de mouvement, énergie
Calcul du flux convectif
Quantité d2G passant par dS
pendant dt ?
dS
v
Se
n
n
q
vdt
v
Ss
dS
V
n
d2V
Pendant dt, le fluide passant par
dS balaye un petit volume d2V
d2V
S = Se + Ss
Par Ss tout entier il sort donc pendant dt
dGs = dt
òòS
g v.n dS
s
= dS vdt cosq = v.n dS dt Par S tout entier il rentre donc pendant dt
e
2
d G = quantité de G dans ce volume
dGe = - dt g v.n dS
2
= gd V = g v.n dS dt
Se
òò
Calcul du flux convectif (suite)
Pendant dt, la variation de G dans V est donc :
dG = dGe - dGs = - dt
òò
g v.n dS
- dt
Ce qui rentre fedt
-
Ce qui sort fsdt
S = Se + Ss
v
V
Ss
dS
g v.n dS
Ss
Se
v.n < 0
Se
n
òò
v.n > 0
n
v
A retenir
Le flux convectif de G
entrant - sortant
s’écrit donc
òò
fe - fs = -
g v.n dS
S
Bilan pour un fluide
Le bilan final de G dans un volume V est donc:
dG d
=
dt dt
òòò
g dV = -
V
òò
g v.n dS
S
+ création - disparition
+ flux diffusifs
flux convectif
fe - fs
+ R+ - R- + fd
S
v
n
V
dS
n
v
Bilans sur un tube de courant
Objectif :
avoir des équations plus simples sans
òòòni òò
S
V
Le prix à payer : faire des hypothèses simplificatrices
v
Slat
Tube de
courant : n Se
v
Slat
v.n < 0
v
V
Ss
n
v
n
v.n > 0
v
v.n = 0
v
S = Se + Ss + Slat
òò
S
g v.n dS =
òò
g v.n dS +
Se
òò
Ss
g v.n dS +
òò
g v.n dS
Slat
Hypothèses
supplémentaires ?
Bilan sur un tube de courant
(justifié pour des écoulements en conduite)
On prend des moyennes sur Se et Ss
On définit les vitesses moyennes > 0 ve et vs en entrée et en sortie :
veSe = -
òò
òò
vsSs =
v.n dS
v.n dS
Ss
Se
On définit les moyennes ge et gs :
òò
g v.n dS = ge
Se
òò
v.n dS =
Se
Slat
n Se
v
v.n < 0
Slat
òò
- geveSe
Le bilan sur la grandeur g devient :
g v.n dS = gs
Ss
v
òò
v.n dS = + gsvsSs
Ss
v
V
Ss
v
[gvS] = [G]L-3 LT-1 L2
n
v
v v.n > 0
dG
=
dt
geveSe - gsvsSs + R+ - R- +
fd
Profils de vitesses
Influe sur le calcul de la vitesse moyenne <v> sur une section :
òò
<v> S = v.n dS
Ecoulement laminaire
<v> = vmax/2
S
Ecoulement turbulent
Tuyau cylindrique :
<v>  vmax
Influe aussi sur le calcul de <g> si g dépend de la vitesse
(par exemple la QDM ou l’énergie cinétique)
Récapitulatif : bilan de G
S
Dans un volume V :
dG
d
=
dt dt
òòò
g dV = -
V
v
òò
g v.n dS + R+
- R- + fd
V
n
S
v
v
Sur un tube de courant :
dG
=
dt
dS
n
geveSe - gsvsSs + R+
-
R- +
fd
Se
n
v
v
Ss
V
v
Remarque importante : si v.n = 0 sur S, on a un système fermé.
et dans ce cas
dG + = R - R + fd
dt
Pour trouver les termes de production/destruction, il suffit de considérer
les lois physiques donnant les variations de G dans un système fermé !
n
v
v
Les trois bilans
G( t ) =
òòò gdV
V
On va appliquer les résultats précédents à :
• G = la masse
• G = la quantité de mouvement
• G = l’énergie interne + cinétique
g=r
g= rv
g = ru+ 12 rv2
On se raccroche aux lois que vous connaissez en considérant
d’abord un système fermé dans les trois cas :
==> détermination de R+
- R- + fd
puis on rajoutera le flux convectif
(qu’on sait maintenant écrire)
Bilan de masse
•G=M
•g=r
masse
masse volumique
• R+
ni production, ni destruction (sauf si mélange)
pas de flux diffusif
(sauf si mélange)
- R- = 0
• fd =
0
Globale :
dM d
=
dt dt
Tube de courant :
dM
dt
òòò
r dV = -
òò
r v.n dS
S
V
= reveSe - rsvsSs
Me
Ms
M = rvS
débit massique
(noté aussi q)
Quantité de mouvement
Terme R+
- R-
=?
P’1=m1v’1
P1=m1v1
P1+ P2 = P’1+ P’2
Choc
Variation de QDM de 2 :
P’2 -P2 = -(P’1- P1) = F 1/2 Dt
Echange de QDM <=> force :
P2=m2v2
DP2 = F 1/2 Dt
P’2=m2v’2 DP = -F Dt
1
1/2
dP
= SFext
dt
Une force exercée sur un corps lui
« communique » de la quantité de mouvement.
R+
- R- + fd = SFext
Bilan de quantité de mouvement
•G=P
• g = rv
quantité de mouvement
densité de quantité de mouvement
• R+
loi de la dynamique
Globale :
- R- + fd = S Fext
dP d
=
dt dt
Tube de courant :
dP
dt
òòò
rv dV = -
V
òò
rv (v.n) dS +
ext
S
= reve(veSe) - rsvs (vsSs) +
Meve
åF
Ms v s
åF
ext
ATTENTION !
Equations
vectorielles
Conservation de l ’énergie
Termes source R+
- R-
=?
Pour un système fermé :
Q
U2, K2
U1, K1
Q = Q˙ dt
Pendant un temps dt :
W = W˙ dt
˙ , W˙ puissances (en Watt)
Q
W
D(U+K) = (U2+K2) - (U1+K1) = W + Q
Joule
R+
- R- + fd =
d(U + K ) ˙ ˙
=W +Q
dt
W+Q
Bilan d’énergie
• G = U+K
• g = r (u + v2/2)
énergie interne + cinétique
densité d’énergie interne + cinétique
• R+
premier principe de la thermo
- R- + + fd = W + Q
Globale :
d(U+K) d
=
dt
dt
Tube de
courant :
òòò
r (u + v2/2) dV = -
S
V
d(U+K)
dt
òò
˙ +Q
˙
r (u + v2/2) (v.n) dS + W
˙ +Q
˙
= re (ue + ve2/2) (veSe) - rs (us + vs2/2) (vsSs) + W
Me (ue + ve2/2)
Ms (us + vs2/2)
C’est le premier principe en système ouvert !
Faisons le point...
Nous avons nos trois bilans...
Qu’est ce qu’il manque pour écrire les équations de la mécadef ?
dP d
=
dt dt
òòò
rv dV = -
rv (v.n) dS +
åF
ext
S
V
d(U+K) d
=
dt
dt
òò
òòò
r (u + v2/2) dV = -
V
òò
˙ +Q
˙
r (u + v2/2) (v.n) dS + W
S
• les forces extérieures et leurs puissances
• la puissance calorifique échangée
Un mot sur la chaleur
˙relève du cours de transfert thermique
Le calcul de Q
˙ =
• conversion d’énergie en volume : Q
òòò P dV
V
(effet Joule, micro-ondes, absorption ou émission photons...)
• transport diffusif aux frontières :
˙ =
Q
òòS -l grad T.n dS
c’est la conduction (loi de Fourier) étudiée en transferts