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数値一般相対論の
現状と展望
～コンピュータで再現する
一般相対論の世界～
柴田
大
京都大学
基礎物理学研究所
1
数値相対論がなぜ必要か
一般相対論的現象が観測可能になってきた
⇒ 未知の重力現象の発見とその応用が可能
• 重力波源からの重力波の正確な波形の予言
が求められている
• 超新星爆発やガンマ線バーストの理論的
解明/予言が求められている
• 高密度星(中性子星、ブラックホール)の
誕生過程はいまだに謎である：要予言
• 高次元時空での高速粒子によるブラック
ホールの形成率が知りたい(LHC)、 など
①
重力波天文学
LIGO: Hanford
数kmサイズの
検出器が完成
感度向上中
TAMA３００
VIRGO: Pisa
現状
振幅h
距離
3億光年
を仮定
f -1/6
合体
2014~
～数分
周波数 f (Hz)
BH：１０太陽質量、NS:1.4太陽質量を仮定
連星中性子星の合体⇒中性子星形成
合体前
←
→ 合体後
連星の合体は理想的な実験系でもある
• 連星中性子星の合体＝巨大核物質の衝突
⇒ 高密度核物質の性質が現れる
⇒ 状態方程式の制限に使える
⇒重力波観測＋数値相対論モデルとの比較
⇒ 重力波観測による原子核物理
合体時、より高周波数
f=(GM/r3)1/2/p
② 高エネルギー宇宙物理学
大質量星の重力崩壊
によるブラックホー
ル形成/
連星中性子星の合体
↓
ガンマ線バースト
数秒で ~1051 erg
のガンマ線放射
ガンマ線
バースト源
≒
ブラックホール
＋高温・高密度
トーラス
どれが本当
か未解明
③ LHC
どんな時ブラックホールが
発生するか？
2
数値相対論とは
G
G  8p 4 T ‥‥ アインシュタイン方程式
c
(時空の曲がり＝物質の状態)
 T  0


 ‥‥ 運動方程式(主に流体)

   u  0 
(+状態方程式)


   F   4p j 


 [  F ]  0

 Radiation ..... 


さらには電磁場、輻射輸送
これらの連立方程式を解いて、時間変動する
宇宙現象を明らかにするのが数値相対論
アインシュタイン方程式の構造
• 大雑把には、連立波動方程式(非線形)
   F   ,   ,  2  , T 
これを通常は差分法で解く
1
   ij  x0  2    ij  x0  2 
 
12 
8 ij  x0      ij  x0   
1
   x  2    ij  x0  2 
 ij'' 
2   ij  0
12
 16 ij  x0      ij  x0    30 ij  x0  
'
ij
数値相対論の概要
Time
Horizon
Black Hole
重力崩壊
重力場の
激しい変動
流体力学的
相互作用
重力波
Space
 ij ,  , v ,
i
流れ図
G
a, b i
G
 8p 4 T
c

 T  0
EOS, 冷却
磁場
特異点の回避
あるいはAMR
数値的相対論を行うにあたって必要な要素
1.
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7.
8.
Einstein’s evolution equations solver
GR Hydrodynamic equations solver
Gauge conditions (coordinate conditions)
Realistic initial conditions
Gravitational wave extraction techniques
Apparent horizon (Event horizon) finder
Special techniques for handling BHs
Micro physics (EOS, neutrino processes,
B-field, radiation transfer …)
9. Adaptive mesh refinement
現状：今後の課題は物理素過程の精緻化
Einstein’s evolution equations solver
GR Hydrodynamic equations solver
Gauge conditions (coordinate conditions)
Realistic initial conditions
Gravitational wave extraction techniques
Apparent horizon (Event horizon) finder
Special techniques for handling BHs
Micro physics (EOS, neutrino processes,
B-field, radiation transfer …)
○ 9. Adaptive mesh refinement 未着手
○
○
○
○
○
○
○
△
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8.
いくつかの本質的発展
① アインシュタイン方程式解法の確立
•
拘束条件つきの非線形・波動方程式なので、
定式化・解法に工夫が必要。
ゲージの選択も本質的だった。
• 手法は確立：以下どれも強力
1. BSSN形式＋動的ゲージ(簡単)
2. 一般化されたハーモニックゲージ形式
3. KST形式＋一般化されたハーモニックゲージ
② ブラックホール時空発展の確立
座標特異点
特異点に
激突
Crash!
Black hole excision (Unruh)
いくつかの手法が確立
③ Adaptive mesh refinementの確立
2体問題での難所＝２つの特徴的長さが存在
1. 星の半径 R ~1－6 Gm/c2
m = each mass
2. 重力波の波長  ~ p(r3/GM)1/2
M = total mass, r = separation > ~7GM/c2
  > ~50 GM/c2 ~ 100 Gm/c2
 >> R
星を分解しながら、波動帯までグリッドを
張る必要あり。一様グリッドはNO。
Adaptive Mesh Refinement
Lmax > 
Lmin ~ 4GM/c2
• 1 Box 当たり ~ 1003
• 階層レベルの数 ~ 10程度(10＋5)
• 変数の数 ~ 200－300
 メモリ ~10 GBytes
数％精度の計算ならCorei7Xで十分可能 !!
３
現状と展望
• 2体問題(連星ブラックホールや連星中性子星の
合体)のシミュレーションは問題なく可能
⇒ 今後は、中性子星の精緻化、高精度計算、 パ
ラメータサーベイ(質量、EOS、スピン)
• 重力崩壊、超新星爆発計算には：
磁気流体、現実的EOSの取り込みなど、問題なく
出来る。問題は、物理過程の正確な考慮：
① 小スケールの磁気流体不安定性の解像
② ニュートリノ輻射輸送を考慮すること
⇒ 巨大計算機が必要(次世代SC以降の課題)
現状
① ブラックホール-中性子星連星
(久徳、柴田、谷口)
•
•
1.
2.
5周以上の軌道＋合体の計算が可能
興味
潮汐破壊の条件と重力波波形への反映
ブラックホール周りに円盤が誕生するか
GM NS
GM BH
GM BH
RNS ~
, f ~
3
2
r
RNS
r3
 RNS ~
GM
NS
f

2 1/ 3
潮汐破壊の条件は質量と半径に依存
• 中性子星1.2Msun 、ブラックホール2.4Msun 、中性子
星の半径はおよそ11.6 km
• C:\cygwin\home\HB_q2_M12.gif
• 中性子星1.35Msun 、ブラックホール4.05Msun 、中性
子星の半径はおよそ11 km
• file://C:\cygwin\home\B_q3_M135.gif
• EOSはpiecewise polytrope でモデル化
• アニメーションは久徳君(基研)による
MBH=2.7Msun, MNS=1.35Msun
潮汐破壊
sudden
shutdown
R=15.2 km
潮汐破壊弱い
BH
ringdown
R=11.6 km
Results with piecewise polytrope
Clear dependence
on NS radius
For all, 1.35-2.7Msun
Point
particle
Larger radius
of NS
15.2km 12.3km
Preliminary
Kyutoku, Shibata + 2010
2k
10.3km
3k 4k
11.6km
② 連星中性子星の合体
(木内、関口、柴田、久徳、谷口、、、)
•
•
•
1.
2.
3.
5周以上の軌道＋合体の計算が可能
現状では、簡略モデル化された状態方程式
興味
合体時の重力波波形
合体後はブラックホール or 中性子星?
ブラックホール周りに円盤が誕生するか
Merger to BH
1.5Msun
1.5Msun
Akmal-Pandharipande-Ravenhall EOS
Kiuchi et al. (2010)
1.3 Msun
1.6 Msun
Merger to NS
1.3Msun
1.3Msun
Akmal-Pandharipande-Ravenhall EOS
Shibata & Taniguchi, PRD 73, 064027 (2006)
Lapse
異なるEOS：For all, 1.35-1.35 Msun
NS  BH
R=11.6 km
One-moment
NS  BH
BH
R=11.0 km
R=10.7 km
For all, 1.35-1.35 Msun
NS  BH
R=11.6 km
NS
R=15.2 km
Fourier spectrum For all,
1.35-1.35Msun
11.6km
QNM
of BH
R=15.2 km
Appreciable
dependence on EOS
in high frequency
3 4 k Blue=11.0km
Pink=10.7 km
Cyan=10.3 km
③ 現実的状態方程式＋ニュートリノ損失
を考慮したシミュレーション
(関口、木内、久徳、柴田、、)
• ShenのEOSを採用
• ニュートリノ漏れ出し
法によるニュートリノ
放射
• 放射されるニュートリ
ノを補助場で表現
• 今のところニュートリノ
加熱は無視
G
G
 8p 4 T
c
 T   Qu




  TRad  Qu


   u  0


Very preliminary result (ongoing)
Density profiles
④ 重力崩壊によるブラックホールの形成
関口(NAOJ)
• 種族III星の重力崩壊(初期に、等エントロピー星
の崩壊)：初期質量約150 太陽質量
• 星の進化で予言された回転則を用いる
• ShenのEOSを採用
• ニュートリノ漏れ出し法によるニュートリノ放射
• 放射されるニュートリノを補助場で表現
• 今のところニュートリノ加熱は無視
重力崩壊初期
Weak bounce due to gas pressure
密度[log10(g/cm3)]
km
関口による計算と動画化
重力崩壊後中心にはブラックホールが誕生：
その質量は約7太陽質量
ニュートリノ光度:Log(erg/cm3/s)
Electron fraction
Entropy (s/k)
Neutrino emission
Neutrino
emission from
the torus
AH formation
⑤ 高速ブラックホールの2体衝突：5次元
(大川、柴田、吉野)
• Critical impact parameter; v=0.6c
• C:\cygwin\home\alpha_v0.6b3.3.gif
• Slightly larger impact parameter
• file://C:\cygwin\home\alpha_v6b3.36.gif
• BHは等質量スピンなし。ラプス関数を表示。
• アニメーションは大川君(基研)による
ブラックホールの軌跡
• 5次元の場合(v=0.65c)
Cross section  BH production rate
4 まとめ
•
•
•
•
数値相対論は近年の進展の結果成熟期に。
相対論の世界がコンピュータで再現可能。
物理プロセスが簡単な２体問題(BH-BH、
BH-NS,NS-NS)については高精度の計算が
可能
⇒ 重力波波形のモデル化
マイクロ物理を取り入れた計算も開始：
ブラックホールへの重力崩壊、連星中性子
星の合体への応用
磁気流体計算法も整備されてきた
課題と今後
• 磁気流体計算(例、中性子星磁場)：十分な高
解像度で、様々な磁気流体不安定性を分解し
ないと、物理的シミュレーションにならない
⇒ 力任せにやるしかない。さらなる、大規
模計算が必要(x ~ 10 m程度が必要)
• 輻射(ニュートリノ過程)の効果を精緻化する
必要あり：最終目標は6Dボルツマンを解く
ことだが長期的課題。まずは、計算手法の確
立。
• 新しい応用の探求：高次元、AdS/CFT
Piecewise polytrpoe by UWM
Log P (cgs)
G3
4 parameters
Necessary only for
massive NS
G2
P1
EOS of NS
is stiff:
G1=2.7—3.0
G1
G0~4/3
Log  (g/cm3)
Fixed for crust
We approximately know
14.7
15.0