Transcript sound and hearing

音と聴覚
sound and hearing
法政大学
情報科学部
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音と聴覚
音波（１）
sound waves
 音：媒質中の縦波
 媒質＝気体，液体，固体
 空気中の音波に注目
 サイン波：決まった振幅，波長，周波数
 可聴域 audible range：20 Hz～20 kHz
 超音波 ultrasonic waves, 超低周波 infrasonic waves
 x軸正方向に進む理想的な波： y ( x , t )  A cos( kx   t )
 縦波，変位振幅 A, displacement amplitude
 xとyは同じ向き
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音と聴覚
音波（２）
sound waves
 音波：大気圧の上下に圧力が変動
 耳の機能
 鼓膜の両側（外耳道と耳管）の圧力差
→
鼓膜の運動
 外耳道側
大気圧＋圧力変動（音波）
pa + p(x, t)
 耳管側
大気圧
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音と聴覚
音波（３）
sound waves
y(x,t)
 隣接２点の変位 vs 発生した圧力
 Δx→0での体積の相対変化
dV
V
 lim
dV/V
S  [ y ( x   x , t )  y ( x , t )]
S  x
x  0

y
x
y(x+Δx,t)
V+ΔV
S
V＝SΔx
x
x+Δx
 体積弾性率 bulk modulus, B
B

Bの 定 義

p ( x, t )
V / V

発生し た 圧力
左辺を
読むと
単位体積あ た り の変形し た 体積
参 考 ： Bは ， バ ネ 定 数 
 pを pと 書 き 直 す
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音と聴覚
発生し た 応力
変形し た 長さ
p ( x, t )   B
y ( x, t )
x
と 類似の量
(等 温 で )
問３－１
 ボイル・シャルルの法則 PV=nRTに従う気体の体
積弾性率（等温）を計算せよ．
 常温大気圧（1 atm ～105 Pa, 1Pa=1N/m2）の空気が
ボイルシャルルの法則に従うとして，その体積弾
性率を概算せよ．
 断面積 1 cm2の注射器に大気圧の空気を閉じ込め
長さ10 cm の気柱を作るとバネのような復元力を
生じた．等温圧縮・膨張とする．バネ定数はどれ
だけか．
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音と聴覚
音波(4)
sound waves
 サイン波のとき
y ( x , t )  A co s( kx   t )
p ( x, t )   B
低
圧
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音と聴覚
y
x
 B kA sin ( kx   t )
変位の波と圧力変動の波
・ 振動数と波長が同じ
・ 同じ方向に進む
・ 1/4波長ずれ
変位0：圧力変動の極値
圧力変動0：変位の極値
圧力振幅 pressure amplitude：pmaxBkA=(2π/λ) BA
高
圧
平衡位置
から変位
した量 y
圧力変動又は
密度の変動 p
問３－２
 前ページの図（サイン波の縦波）について，サイ
ン関数のグラフ，変位，圧力変動の関係を説明せ
よ．（ヒント：体積変化→圧力変化の論理の展開
には体積弾性率Ｂを用いることができる）
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音と聴覚
音波の知覚
perception of sound waves
 圧力振幅
 周波数
 耳の感度




→ 音の大きさ loudness
→ 音のピッチ pitch（高低）
周波数依存性：同じ振幅でも異なる大きさに聞こえる
健康，年齢，個人差
～3×10－5 Pa@ 1 kHz
～3×10－4 Pa @ 200 Hz , 15 kHz
 周波数スペクトル
→
音色 timbre
 基本振動数と高調波成分の組成
 立ち上がりattackと減衰decay
 雑音 noise
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音と聴覚
音波の速さ
speed of sound wave
 波の速さ：
v ~ 波 長×
バネ 定数
質量
 バネ定数：圧縮のしにくさ→体積弾性率 B
ρ
 質量：密度
v
B

,
[p ]
 p ( x, t ) 
[B]  

 [p ] 

  V / V  [  V ] / [V ]
M 
[ ]   3 
L 
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音と聴覚



B  M
 
2
   T L
M 
  L / T   [v ]
3 
L 
 ML   M 
 T 2 L2    T 2 L 

 

問３－３
 サイン波は，弦のある小部分に注目すると，単振
動している．
 その部分に作用する復元力のバネ定数 k と質量 m と
振動数 f の関係を記せ．
 波長 λが一定のとき，振動数 f と波の速さ v の関係
を記せ．
 体積弾性率と密度から速度の次元を持つ量をつく
れ
 資料2から弦を伝わる波の速さと，張力・線密度
の関係を説明せよ．
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音と聴覚
流体中の音速
speed of sound wave in a fluid
平衡状態
t=0
 管内の流体を伝わる音波の速さ
圧力が均一
 v : ピストンの速さ=流体の移動の速さ
静
止
 vy: 波の速さ=境界Pの移動の速さ
 B : 体積弾性率= - (圧力変化Δp)/(体積変化率)
B 
p
 A v y t / A vt
 p
v
 p  B
vy
vy
v
 ρvt A×vy : 運動量の変化
B
v
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音と聴覚
A t   vtA v y
断面積A
圧力p+Δp
 ΔpAt=B A t vy/v :ｔまでに加わった力積
vy
vy t
vt
動
い
て
い
る
静
止
圧力p
P
 v
B

管内だけでなく
3次元的に広がる
流体中の音波でも成立
固体中の音速
speed of sound wave in a solid
 固体の縦波
 縦方向に圧縮すると横方向に膨らむ
 体制弾性率
→
Yang率,γ
音速の比較
気体：
v


空気(20°C)
ヘリウム(〃)
344 m/s
999
液体ヘリウム(4K)
水銀(20°C)
水 (0°C)
水(20°C) 1482
211 m/s
1451
1402
アルミニウム
鋼鉄
6420 m/s
5941
液体：
固体：
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音と聴覚
気体の音速
speed of sound in gases
 体積弾性率が圧力で変化する
 断熱過程： PVγ=一定
 比熱比γ：定圧熱容量と定積熱容量の比（2原子分子では
7/5=1.4）
 体積弾性率：
B 
 dP

dV / V
v
R
B

dP
dV

P


V  V
 PV
V
8.314 J/m ol·K
 音速が温度で変化する
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音と聴覚
d
dV

 kV
1モ ル の 理 想 気 体
任意の温度で
（ e x . 0℃ ，1 気 圧 で
V  22.4 ㍑ ）


 k V

 RT
１ モ ルの質量
P
問３－３
 前ページの体積弾性率の計算で，等温過程でなく




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「断熱過程」を採用する理由を考えよ．
比熱比について調べ，理解したことを記せ．
温度300 K, 圧力1 atmの窒素ガス（２原子分子，分子量
28, 比熱比 1.4）を伝わる音の速さを計算せよ．ヘリウ
ムガス（単原子分子，分子量4, 比熱比γ=1.66）ではど
うか．
上問の結果をもとにして，ドナルドダック効果を調
べて解説せよ．
航空機等の速度をマッハ数で表すとき音速を基準と
するが，高度1万メートルの音速はどの程度か．速度
の世界記録を申請するとき地表付近でのマッハ数を
用いる理由を考えよ．
音と聴覚
音の強度
sound intensity
 音の強度intensity
 パワー（仕事率 power）:
 単位時間あたりのエネルギー＝力×速度
 強度: 単位面積あたりのパワー
 パワー/面積 =圧力×速度
p(x,t)×vy(x,t) = p(x,t)× ∂y(x,t)/∂t
 サイン波
 強度= BωkA2 sin2 (kx-ωt)
 強度の時間平均
= Bωk A2 /2= √[ρB] ω2 A2 /2= v pmax 2/(2B)= pmax 2 /(2√[ρB] )
 圧力振幅で表わせば周波数に依存しない
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音と聴覚
デシベル
decibel
 聴覚：倍大きくなった感じは I → I2
 対数目盛をとると直線的
 ダイナミックレンジが広い
 音圧レベル sound pressure level：
 dB デシベル
 Lp= 10 dB×log (I/I0) = 20 dB × log(pmax/p0)
 I0 = 10－12W/m2 聴力の下限
１２０デシベル
１１０デシベル
１００デシベル
９０デシベル
８０デシベル
７０デシベル
６０デシベル
５０デシベル
４０デシベル
３０デシベル
２０デシベル
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音と聴覚
・飛行機のエンジンの近く
・自動車の警笛（前方2m）・リベット打ち
・電車が通るときのガードの下
・犬の鳴き声（正面5m）・騒々しい工場の中・カラオケ（店内客席中央）
・地下鉄の車内・電車の車内・ピアノ（正面1m）
・ステレオ（正面1m、夜間）・騒々しい事務所の中・騒々しい街頭
・静かな乗用車・普通の会話
・静かな事務所・クーラー（屋外機、始動時）
・市内の深夜・図書館・静かな住宅の昼
・郊外の深夜・ささやき声
・木の葉のふれあう音・置時計の秒針の音（前方1
音の定在波と基準振動モード
standing sound waves and normal modes
 Kundt管を用いた定在波の観察
 気体が動かない「変位の節」に粉がたまる
 隣合う節の間隔が λ/2
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音と聴覚