Transcript ppt

Вектора на плоскости
Автор: Голубева Л.С., учитель математики
МОУ СОШ № 19, г. Кандалакша,
Мурманской области
§1.Линейные операции
Линейными векторными операциями
называются
1. Сложение векторов
2. Умножение
вектора на число
№1
В Δ OAB точка М является серединой
стороны АВ. Доказать, что
Ι
А
М
ΙΙ Достраиваю до параллелограмма
О
В
№2
Точка М лежит на стороне АВ Δ OAB так, что
АМ :МВ= m: n.Представить вектор
в
виде линейной комбинации векторов
и
А
m
М
n
О
В
Вектор
является линейной комбинацией векторов
коэффициентами
и
с
№
3
В трапеции ABCD отношение длин оснований
AD:BC=3:1.Пусть О - точка пересечения
диагоналей трапеции, S – точка пересечения
продолжения длин сторон. Представить в виде
линейной комбинации векторов
и
1.вектор
2.вектор
3.вектор
S
1.Вектора
и
Одинаково направлены, причём
B
1ч
C
поэтому
O
A
3ч
D
AD:BC=3:1
и
2. Способ Ι
Из подобия ΔAOD и Δ COB следует,
что AO : OC = OD : OB = AD : BC = 3 : 1; поэтому
AO : AC = 3 : 4. Значит
Способ II
ΔAOD~ ΔCOB => OB : OD = BC : AD =1:3. Из
результатов примера №2 при m =1, n = 3 имеем
3.
Из подобия Δ SBC и ΔCOB следует, что BS:AS =
BC:AD =1:3. Значит AB:AS = 2 :3. Т.к. вектора
Одинаково направлены, то
Вектор
является линейной комбинацией векторов
коэффициентами
и
и
с
№4
В трапеции из примера №3 точка М – середина
стороны CD. Представить вектор AD в виде
линейной комбинации векторов OS, OM
S
Q 1ч
B
O
A
3ч N
Предположим отрезок ОМ до пересечения с прямой AD
в точке К.Точку пересечения прямой SO с ВС и AD
соответственно обозначим через Q и N.Можно доказать,
что прямая, проходящая через точку пересечения
диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения
боковых сторон, делят основание трапеции пополам.
Поэтому AN=ND,BQ=QC. Построим параллелограмм
ONKL, точку пересечения отрезков CD и QL обозначим
через Р
Т.к. SC :SD=BC:AD=1:3 то SC=CM=MD .
C
Т.к. CP:PD=CO:OA=BC:AD=1:3 ,
P
то CP=PM= ½ CD.
Тогда
L
OM:MK=OP:DK=PM:MB=1:2
M
отсюда следует, что
D
OK=3·OM и OP=½DK
K
Далее, OP:AD=CP:CD=1:4, т.е. OP=¼AD,
следовательно DK=½AD. Значит
OL=NK=ND+DK=½AD+½AD=AD.
Отметим также, что OS:ON=SP:PD=1:1 и
Окончательно имеем
Конечно догадаться до такого решения с
дополнительным построением непросто. В §2
рассмотрим стандартное решение этой задачи,
основанное на понятии разложения вектора по
базису
№5
В Δ AOВ точка М является серединой стороны АВ.
Представить вектор ОМ в виде линейной
комбинации векторов МА и МВ
А
М
О
Вектора
коллинеарны,
поэтому любая их комбинация
(линейная) также является
вектором, коллинеарным
(или,
что тоже, коллинеарным
.Вектор
не коллинеарен этим векторам,
поэтому его нельзя представить в
виде линейной комбинации
В векторов
Что и требовалось доказать
Пример №5 оказался также «плохим» именно
потому, что вектора
неколлинеарны.
Задача о представлении вектора с в виде
линейной комбинации векторов а и b не
имеет решений, если с неколлинеарен а и b.
И имеет бесконечно много решений , если
ненулевые вектора а , b , с коллинеарны.
А вот если а и b неколлинеарны, то задача о
представлении вектора с на плоскости в
виде линейной комбинации векторов а и b
всегда имеет единственное решение.
§2. Базисы на плоскости.
Координаты вектора в базисе
Базисом на плоскости называется пара
неколлинеарных векторов
, взятых в
определённом порядке (перпендикулярность этих
векторов совершенно не обязательна). Порядок, в
котором взяты вектора
важен. Если
базис, то
другой базис.
Если
базис на плоскости, то любой вектор
представляется в виде линейной комбинации
Числа х, у называются координатами вектора
определяются единственным образом
этой плоскости
в базисе
,
Рассмотрим геометрический смысл
разложения вектора по базису


Все вектора на рисунках имеют общую
начальную точку О.
Любая упорядоченная пара коллинеарных
векторов является базисом, поэтому
базисов на плоскости бесконечно много.
Если же рассмотреть какой – то один
фиксированный базис
, то любой
вектор
можно отождествить с парой
его координат в этом базисе.
Поэтому вместо фразы « вектор имеет
координаты х, у в базисе
» или равенства
употребляют запись
Для понимания
используют правило
параллелограмма
№6
Вектор
имеет в некотором базисе координаты (-3;1),
вектор координаты (4;3), вектор координаты (0;-5).
Докажите, что вектора
образуют базис и найти
координаты вектора
в этом базисе.
1.
Докажу, что вектора
образуют базис.
Предположим противное: пусть
коллинеарны. Они оба ненулевые, поэтому
(4;-3)=m*(-3;1)
(4;-3)=(-3m;m)
4=-3m
m=-3
m=
2. Итак, число m одновременно
равно -3 и
.Полученное
противоречие показывает, что
вектора
неколлинеарны,
т.е. образуют базис.
3.
Теперь можно найти коэффициенты х, у
линейной комбинации
(0;5) = х*(-3;1)+у*(4;3)
-3 х +4 у =0
х–3у=-5
Х=4
У=3
№7
Вектора
заданы своими координатами в
некотором базисе: =(х+1;3),
=(4;6*х).При
каких значениях х вектора
образуют базис.
1.
2.
Вектора
заданы своими координатами в
некотором базисе коллинеарны тогда и
только тогда, когда их соответствующие
координаты пропорциональны.
Из условия коллинеарности
2х² + 2х - 4=0
Х² +х – 2 = 0
D = 1 +8 = 9;
x1 = 1; x2 = -2;
Итак, вектора
образуют базис при х≠1,х≠-2.
№ 4*
В трапеции ABCD точка М середина стороны CD.
BC ll AD, BC:AD=1:3.Представить вектор AD в
виде линейной комбинации векторов OS,OM
S
1.
C
B
M
O
D
A
Введем на плоскости
базис
,и
представим все нужные
вектора своими
координатами в этом
базисе (это сделать
проще, чем в базисе
2
3
4
5
§3. Решение геометрических
задач векторным методом
№8
Две медианы АК и BL ABC пересекаются в точке
О. Доказать, что AO:OK=BO:OL=2:1
Замечание1:
Продолжая эти рассуждения, нетрудно доказать , что три
медианы треугольника проходят через одну точку. В самом деле ,
пусть медианы АК и СМ пересекаются в точке О.Тогда
аналогично получим АО`:O`K=CO`:O`M=2:1. На отрезке NK
существует единственная точка, делящая его в отношении 2:1,
поэтому О`=O.
Замечание2:
Из рассуждения примера №8 следует, что (при х=2/3)
№9
Вершина D параллелограмма ABCD соединена с точкой К
отрезка BC, такой что BK:KC=3:2; вершина В соединена с
точкой L отрезка CD такой, что DL:LC=3:2.В каком отношении
точка М пересечения прямых DK и BL делит отрезки DK и BL?
Преимущество методов аналитической геометрии состоит в том, что
задачи решаются однообразно, а чисто геометрические решения требуют
в этих примерах применения искусственных методов.
Не следует думать, что при решении геометрических задач
векторным методом обязательно возникает система
уравнений.
Векторный метод бывает удобно применять при
 доказательстве параллельности некоторых прямых,
 доказательстве того факта, что три или более точек лежат
на одно прямой
 доказательстве совпадения точек
В этих случаях бывает достаточно установить
коллинеарность или равенство некоторых векторов.
№ 9*
Точки M и N лежат соответственно на сторонах AC
BC ABC так, что CM:MA=3:2,CN:NB=2:3. В каком
отношении делит прямая MN медиану CK ABC
х/2=2/5*3/5; х/2=6/25; 25*х=12; х=12/25.
Следовательно
№ 10
Пусть точки K,L,M,N– середины соответствующих
сторон AB,BC,CD,DA произвольного четырехугольника
ABCD (не обязательно выпуклого). Докажите , что
четырехугольник KLMN является параллелограммом.
№ 11
В параллелограмме ABCD точка K является серединой
стороны BC, точка L – серединой стороны CD .Доказать,
что точка пересечения медиан ALK совпадает с
точкой пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
Пусть О – точка пересечения
диагоналей параллелограмма ABCD.
§4. Скалярное произведение
векторов. Прямоугольные базисы
№ 12
В трапеции ABCD длины сторон AB,BC,CD равны 1, длина
стороны AD=2, а угол при основании равен 60°. Найти
скалярное произведение
, где К –середина стороны ВС.
Замечание1:
Допустим, конечно, и другое решение этой
задачи ( не основанное на разложении
векторов по естественному базису);для
этого нужно вычислить непосредственно
длины векторов
и угол между
ними. Такой способ решения, как правило,
приводит к более громоздким выкладкам,
содержащим иррациональное число.
№ 13
В прямоугольном базисе векторы заданы своими координатами
Найти длины этих векторов в
скалярные произведения
Найти длины векторов
При решении применять формулы для скалярного произведения двух
векторов и для модуля вектора через координаты векторов в
прямоугольном базисе
§5. Решение задач при помощи
понятия скалярного произведения

В тех геометрических задачах, где не всё
сводится только к параллельности прямых
и отношениям длин одинаково
направленных отрезков, а по существу
возникают длины, углы,
перпендикулярность, при векторном
решении не обойтись без понятия
скалярного произведения.
№ 14
Доказать, что если длины сторон 2 медиан в
треугольнике равны, то этот треугольник
равнобедренный
Пусть К – середина стороны ВС
треугольника ABC.L- середина
стороны AC
Литература:
1.«Векторы в школьном курсе
геометрии»
2.«Задачи по планиметрии и методы
их решения»,Готман