Transcript conduction

CONDUCTION
 Introduction
 Loi de la conduction
 Mise en équation du bilan thermique
 Conduction dans les solides, en régime permanant
• Surface plane simple
• Surfaces planes en série
• Surfaces planes en parallèle
• Surface cylindrique simple
• Surfaces cylindriques concentriques
• Surfaces sphériques
• Ailette
 Exercices d’application
CONDUCTION
1
INTRODUCTION
Dans ce chapitre, nous allons établir l’équation
de conservation de l’énergie thermique par bilan
sur un élément de volume, en se basant sur la loi
de conduction.
Chaque terme du bilan sera explicité, puis nous
nous intéresserons à des cas simples, comme un
volume plan ou un volume cylindrique.
CONDUCTION
2
Loi de la conduction
Définitions
La conduction thermique est le mode de transfert
thermique provoqué par une différence de température
entre deux régions d'un même milieu ou entre deux
milieux en contact sans déplacement appréciable de
matière.
• gaz et liquides: agitation moléculaire;
• solides non-conducteurs: vibrations des réseaux cristallins;
• métaux conducteurs: déplacement d'électrons libres.
CONDUCTION
3
Loi de la conduction
(Définitions)
La température d’un corps est variable
Régime permanent ou stationnaire
Régime transitoire ou variable
Ө=f(x,y,z,t)
Ө=f(x,y,z)
Surfaces mobiles et déformables
Surfaces isothermes
CONDUCTION
4
Loi de la conduction
Transfert de chaleur spontané
Région
Өélevée
Quantité de chaleur échangée (Joule)
Région
Өbasse
Flux thermique (W)
dQ

dt
Densité de flux thermique (W/m2)
?


S
dQ

Sdt
CONDUCTION
5
Loi de Fourier
Système à une dimension
grad
S1
S2
1
2
d
dQ


dSdt
Étude expérimentale: x
dx
cœfficient de proportionnalité, caractéristique du milieu considéré
Gradient de la fonction Ө dans la directiond
normale
 à dS
Densité de flux thermique:
  
dx
Écoulement de chaleur dans le sens des températures décroissantes
CONDUCTION
6
Loi de Fourier
Système à trois dimensions
Hypothèses:
• Milieu isotrope :  = Constante
• Variation de la température dans les trois directions de l’espace
y
j
?
Ф
i
x
k
z
 θ

 x   


 y   


 z   

θ
θ

x

y

z

 x i   y j   z k   λ
 x i  y j  z k 



   grad
CONDUCTION
7
Loi de Fourier
 Les lignes de force ou lignes de courant de chaleur du champ
thermique, φ, sont rectilignes et perpendiculaires aux surfaces
isothermes.
 Les lignes de forces qui s’appuient sur une courbe fermée
forment un tube de force ou tube de courant. Dans un tel tube
le flux thermique est conservatif, en régime permanent.
 La loi de Fourier a servi de base à la loi d’Ohm, d’où la
résolution, de nombreux problèmes de conduction, se fait de
façon analogue en étudiant le passage du courant électrique
dans un système conducteur.
CONDUCTION
8
Conductivité thermique
=
élevée
Grandeur physique
faible
(W/mK =W/m°C )
Matériau isolant
Matériau conducteur
Nature du matériaux
Température
Solides
Gaz
Liquides
  0 1  a 
 = F(Ө)
conductivité thermique du matériau à 0K
coefficient caractéristique de chaque matériau
 = F(P)
a<0 , pour la plupart des métaux et alliages
a>0, pour de nombreux matériaux isolants
CONDUCTION
9
Conductivité thermique
Matériaux de construction
Évolution avec l'humidité
λ  λ 0e
0,08 H
Humidité relative
Conductivité thermique
(%)
du matériau sec
Un matériau humide est plus conducteur de la chaleur
qu’un matériau sec
CONDUCTION
10
Conductivité thermique des métaux
Substance
T(°C)
 (kcal/hm°C)
cuivre
18
330
100
327
18
40
100
38
100
177
300
230
600
364
Acier
Aluminium
CONDUCTION
11
Conductivité thermique des liquides
substance
Eau
Plomb
Métaux
fondus
mercure
Sodium
T(°C)
 (kcal/h m°C)
20
0,52
60
0,56
100
0,58
330
14,0
700
13,0
0
7,0
120
9,4
100
74
300
65
500
57
Utilisation de sels de sodium comme fluide caloporteur, pour le
refroidissement des réacteurs nucléaires.
CONDUCTION
12
Conductivité thermique des gaz
(k Cal/ h m°C)
Ө(K)
100
200
300
Gaz
H2
O2
0,058
0,11
λ des gaz <0,008
λ des liquides < 0,016
λ des solides
0,15
0,023
CO2
-
0,008
0,014
CH4
0,09
0,019
0,029
NO
-
0,015
0,022
CONDUCTION
13
Conduction dans les solides
 Le calorifugeage des surfaces
Transfert de chaleur à travers les tubes des
échangeurs
Dégagement de chaleur, par effet joule dans les
conducteurs
CONDUCTION
14
Conduction dans les solides
Équations de la conduction
Régime permanent
Régime transitoire
avec source d’énergie
Sans source d’énergie
CONDUCTION
15
Équations de la conduction
Hypothèses
 Vitesse = 0

solide
 Milieu homogène et isotrope
 Les grandeurs physico-chimiques , , CP
sont supposées être, d'une part indépendantes de
la température, et d'autre part, identiques dans
tout le volume du solide considéré.
CONDUCTION
16
Mise en équation du bilanthermique
V
dS
n
?
flux de chaleur perdu par la surface extérieure de ce volume
= flux de chaleur entrant - flux de chaleur sortant
Intégrale de surface
?
Intégrale de volume

    .ndS
S
   div dV
Théorème
de Green-Ostrogradski
la normale est dirigée vers l'extérieur etVque, par convention,
tout ce qui entre dans le volume V est compté positivement
CONDUCTION
17
Mise en équation du bilan thermique

n
dS
V
P
La puissance thermique P est une source interne produite par unité de
volume du milieu (W.m-3)
?
flux de chaleur générée =
  PdV
V
Exemples:
-Transfert thermique par conduction au sein du combustible nucléaire;
- Absorption de la lumière ou des micro-ondes au sein des matériaux semi-transparents ...,
CONDUCTION
18
Mise en équation du bilan thermique
dS
V

n
P
Régime variable
=?
θ
dV
accumulation d'énergie interne   ρCp
t
V
CONDUCTION
19
Bilan thermique 
dS
V
n
P
flux de chaleur entrant - flux de chaleur sortant
+ flux de chaleur générée = accumulation d'énergie interne

Soit:   div dV   PdV   ρC p
dV
V
V
t
V
θ
 div   P  ρCp
t
CONDUCTION
20
Équations de la chaleur
 Régime transitoire:

 div   P  ρCp
t
 Régime permanent:
d
0
dt
P=0
 Régime permanent, sans source d’énergie:
 div   P  0
 div   0
CONDUCTION
21
Équations de la chaleur
 div   P  ρCp

t
 div(-  grad )  P  ρCp
   grad
et

t
div( grad )  P  ρCp
La diffusivité de la chaleur dans un milieu donné:  
 
P


ρCp
t

t

C p
P=0
1 
? • Équation de Fourier:  
 t

0
t
• Équation de Poisson:  
?

0
t
et
P=0?
P

• Équation de Laplace:
CONDUCTION
0
  0
22
Équations de la chaleur
 Coordonnées cartésiennes:
z
dz
y
dy
x
dx
 2θ  2θ  2θ
P

α( 2  2  2 ) 

0
x y z
ρCp  t
Mur plan:
 2θ
P

α 2

0
 x ρCp  t
 Coordonnées cylindriques à symétrie axiale:
r
φr+dr
z
φ
z
r
φr
L
z+dz
φ z+dz
Si, L >> R
R
r+dr
z
1   θ   θ 
P
θ
 r   2  

 0
 r  r   r   z  C p  t
2
1   θ 
P
θ
 r  


0
 r  r   r  C p  t
 Coordonnées sphériques à symétrie centrale
r
 1   θ  P θ
  2  r 2  
 0
r

r

r
ρC
t


p

CONDUCTION
23
Équation de la chaleur
 Notons que l’équation de chaleur est écrite sous forme
différentielle.
 Son intégration donne la distribution du flux de chaleur
(ou la densité de flux).
 Une deuxième intégration permet d’obtenir la
distribution des températures.
 Les constantes d’intégration sont déterminées en
vérifiant des conditions limites.
CONDUCTION
24
Conditions aux limites
 Condition initiale à t=0:
La distribution des températures à l’intérieur du solide et sur sa
surface est supposée connue
 Conditions de surface à t>0:
• Spécification de la température de la paroi
• Spécification de flux de chaleur à travers une face
• Spécification de la température du milieu fluide en contact avec la surface:
Φ=hS(Өp-Өf)
• Continuité des températures et des flux aux interfaces
• Transfert à l’interface de deux solides de natures
différentes, la conservation du flux : 1 grad1  2 grad2
CONDUCTION
25
Surface plane simple
Mur = matériau conducteur
1. Bilan thermique:
 x   x dx  0
Ф=?
Si Ө0 > Ө1
d
  c1
0
d
dx




S
2. Loi de FOURIER :
dx
c1
d



x  c2
 S
 c1
dx
S
Soit :
Ө0
P
P0
P’
P1
Ө1
Φx+dx
Фx
3. Conditions limites :
S
0

?

x
x+dx e
Flux thermique :
S
  (0  1 )
e
x
  0
  1
x0
xe
?
c2  0
S
c1  (0  1 )
e
Résistance thermique:
0  1
R

CONDUCTION
e
R
S
26
Analogie électrique
Électricité
U = RI

R

I
Thermique
T = RthФ

Rth

Ф
CONDUCTION
27
1er exemple d’application
Calculer le flux traversant une vitre de 1 m² de surface et de 3,5 mm
d’épaisseur. La température de la face interne de la vitre est égale à 10°C,
celle de la face externe est égale à 5°C.
1.
en déduire la résistance thermique de la vitre, sachant que, la
conductivité thermique du verre est:
λv = 0,7 W.m-1.K-1
2.
Pour les mêmes températures de paroi, calculer le flux
traversant un m² de mur de briques de 26 cm d’épaisseur.
3.
En déduire la résistance thermique, sachant que, la conductivité
thermique des briques est:
λb = 0,52 W.m-1.K-1.
CONDUCTION
28
Solution
du 1er exemple d’application
Flux traversant 1m² de vitre :
A.N.:
V 
0,7.1
(10  5)
3,5.103
V 
S

1. Résistance thermique d’1m² de vitre :
e
V  1000 W
RV 
3,5.10 3
RV 
 5.10 3 C / W
0,7
A.N.:
2. Flux traversant 1m² de mur de briques :
A.N.:
( 0  1 )
b 
0,52.1
(10  5)
0,26

(0  1 ) e


S
b 
S
e
(0  1 )
b  10W
3. Résistance thermique d’1m² de brique:
A.N.:
Rb 
0,26
 0,5 C / W
0,52.1
CONDUCTION
29
Analyse des résultats
Pour une même surface et un même écart de
température, le flux perdu par la vitre est 100 fois plus
élevé que celui perdu par le mur de briques dont la
conductivité est plus faible et dont l’épaisseur est
beaucoup plus élevée que celle de la vitre.
CONDUCTION
30
Surface plane simple
Mur = matériau conducteur
1. Loi de FOURIER :
Ф=?
Air chaud
Ө0
Өa0
P0
h0
flux à travers le mur:  
P1
Φ1
Ф0
Air Froid
2. Loi de Newton :
Ө1 Өa1
• flux à travers le Plan P0:
h1
'
• flux à travers le Plan P1: 1  h1S (1   a1 )
0'  0
S
0
e
e
( 0  1 )
0  h0 S (a 0  0' )
3. Conditions limites :
• continuité des températures:
x
S
?
et 1'  1
• continuité des flux
 0  1  
Flux thermique :
Résistance thermique:
( a 0   a1 )

1
e
1


h0 S S h1S
1
e
1
R


h0 S S h1S
CONDUCTION
Résistances
31
thermiques
Surfaces planes en série
Mur composite
Ө0 > Ө1 > Ө2>
Ф=?
1
Ө0
2
Ө1
 
e1
3
Ө2
Ө3

e2
1. Hypothèse:
Ө3
• Le contact entre chaque couche est parfait → Ө
à l'interface entre 2 matériaux est identique.

• La surface de contact entre chaque
matériau est constante → flux surfacique
constant: 1= 2= 3=
S traversant chaque mur
2. flux
1S


( 0  1 )
• Pour le mur 1 :
e1
• Pour le mur 2:
x
• Pour le mur 3 :
e3
2 S
(1   2 )
e2
S
  3 ( 2  3 )
e3

En additionnant membre à membre :
 0  3

 e1
e
e 

 2  3 
 1S 2 S 3S 
 e
e
e 
R   1  2  3 
 1S 2 S 3 S 
CONDUCTION
R  R1  R2  R3
où : R1 
e
e1
e
; R2  2 ; R3  3
1S
2 S
3 S
32
2ème exemple d’application
Un double vitrage est constitué de deux plaques de verre séparées par une
couche d’air sec immobile. L’épaisseur de chaque vitre est de 3,5 mm et
celle de la couche d’air est de 12 mm. Les conductivités thermiques sont:
v = 0,7 W.m-1.°C, et a = 0,024 W.m-1.°C-1 sur le domaine de température
étudié.
Pour une chute de température de 5°C entre les deux faces extrêmes du
double vitrage, on vous demande:
1.
Calculez les pertes thermiques, pour une vitre de 1 m² en négligeant l’effet
du coefficient de convection de part et d’autre de chaque vitre.
2.
Comparez ces pertes thermiques à celles qui seraient obtenues avec une
seule vitre d’épaisseur égale à 3,5 mm.
CONDUCTION
33
du 2ème
Solution
exemple d’application
1. Le double vitrage est constitué de trois résistances thermiques en
série. Le flux traversant ce double vitrage est donné par :
 dv 
(int   ext )
 2.ev ea 




S

S
a 
 v
A.N. :  dv 
5 1
 2  3,5 10 3 1210 3 



0
,
7
0
,
024


  dv  9,8W
2. le flux traversant une seule vitre en verre, pour une même surface et une
même différence de température:
(int   ext )
1v 
 ev 


 v S 
1v 
A.N. :
5 1
 3,510 3 


 0,7 

1v  1000 W
3. Comparaison des deux flux:
Ф1v  100Фdv
CONDUCTION
34
Analyse des résultats
 Le double vitrage permet de réduire, 100 fois les pertes thermiques à
travers la vitre. Ceci est surtout dû à la résistance thermique très élevée de la
couche d'air qui a une faible conductivité thermique.
Өint
Ө1

v
a
v
Ө2
Өext
Өint - Ө1 = Rv . Φ = 0,005 x 9,8 = 0,049 °C
Ө1 - Ө2 = Ra . Φ = 0,5 x 9,8 = 4,9 °C
Ө2 - Өext = Rv . Φ = 0,005 x 9,8 = 0,049 °C

ea=12 mm
ev=3,5mm
ev=3,5mm
 La résistance thermique de l'air est 100 fois plus élevée que celle de chaque vitre, la
chute de température dans l'air sera 100 fois plus élevée que dans chaque vitre.
CONDUCTION
35
Surfaces planes en parallèle
Mur composite
1. Hypothèse:
• Température uniforme sur chaque face
3
2
1
S2 Φ
• Murs en contact parfait
S3
Φ3
2. flux traversant chaque mur
2
• Pour le mur 1 :
S1 Φ1
Ө0 
• Pour le mur 2:
Ө1
• Pour le mur 3 :
e
3. flux total:
1 1
1 
  ( 0  1 )   
 R1 R2 R3 
3 
2 
0  1
R3
1 
0  1
R1 
R1
 0  1
R2
R2 
R3 
e
1S1
e
2 S 2
e
3 S3
  1   2   3

(0  1 )
R
CONDUCTION
avec
1 1 1 1
   
R  R1 R2 R3 
36
3ème exemple d’application
Calculer le flux traversant la façade de 50 m² d'une maison. Le
mur est constitué de briques de 26 cm d'épaisseur. La façade
est percée de 4 vitres de 2 m² de surface et 3,5 mm d'épaisseur
et d'une porte en bois de 2m² et de 42 mm d'épaisseur.
On suppose que la température de paroi interne est égale à
10°C pour tous les matériaux constituant la façade, de même,
la température de paroi externe est de 5°C. On donne:
Conductivité thermique du verre : λv = 0,7 W.m-1.K -1
Conductivité thermique des briques : λb = 0,52 W.m-1.K -1
Conductivité thermique du bois : λbois = 0,21 W.m-1.K -1
CONDUCTION
37
du 3ème
Solution
exemple d’application
• Résistance thermique des vitres:
e
Rv  v
v S v
A.N. :
3,510 3
Rv 
0,7 4  2
0,625.10-3 °C/W
• Résistance thermique de la porte
Rp 
ep
A.N. : R p 
boisS p
0,042
0,21 2
0,1 °C / W
• Résistance thermique du mur :
Rm 
em
b S m
A.N. : Rm 
0,26
0,52  (50  4  2  2)
0,0125 °C / W
• Résistance équivalente de la façade
1 1
1
1 
  
 
R  R1 R2 R3 
A.N. :
1
1
1
1



 1600  10  80 w / C
3
R 0,62510 0,1 0,0125
• Flux traversant la façade:
(   )
 Façade  0 1
R
A.N. :
 Façade 
(10  5)
0,59210 3
CONDUCTION
R=0,592.10 -3 °C/W
Φfaçade = 8450 W
38
Analyse des résultats
 façade   v   p   m
A.N.:  v  8000W
 p  50W et
 m  400W
et S façade  Sv  S p  S m
A.N.: Sv  8 m2
S p  2m2 et Sm  40m2
Le flux perdu par conduction par les vitres est plus important que celui
perdu par le mur, bien que la surface des 4 vitres est très inférieure à
celle de mur.
Il serait important de réduire le flux perdu par les vitres.
?
Utilisation d’un double vitrage
CONDUCTION
39
Surface cylindrique simple
Tube de longueur, L et 
1. Hypothèse:
• les surfaces isothermes sont des
surfaces cylindriques coaxiales  Ф radial
• régime permanant sans génération de chaleur
Ф
?
Ө1 
Ө0

r0
2. Bilan thermique:
r1

Фr - Фr+dr = 0
,
d r
0
dr
 r  c1

3. Loi de FOURIER :
Φ r  λS
dθ
dθ
 2 Lλ r
dr
dr
Profil de température:
θ

 2 Lλ r
c1
Ln r  c 2
2 λL
dθ
 c1
dr
4. Conditions limites :
r  r0
r  r1
θ  θ0
θ  θ1
c1
Ln r0  c2
2 λL
c
1  1 Ln r1  c 2
2 λL
0 

c1  2 λL
Flux thermique :
Φ  2π λL
 0  1
r 
Ln 1 
 r0 
et
c2  0 
Résistance thermique:
 0  1
r 
Ln 1 
 r0 
r 
Ln 1 
r
Rth   0 
2  L
θ 0  θ1
r 
Ln  1 
 r0 
CONDUCTION
?
40
Ln r0
Expression du flux en fonction des dimensions
absolues du tube
  2 λL
 0  1
r
Ln 1
 r0
  f (e, sml ) ?



• Moyenne logarithmique, appliquée aux deux rayons r0 et r1:
r r
e
rml  1 0 
r 
r 
Ln 1  Ln 1 
 r0 
 r0 

?
r  e
Ln 1  
 r0  rml
S ml 
• Moyenne logarithmique, appliquée aux deux surfaces, S0 et S1:
surface latérale interne du tube:
S0 = 2  r0L
surface latérale externe du tube:
S1 = 2  r1L
S ml 
2L(r1  r0 )
 2Lr1 

Ln
2

Lr
0 


Sml  2L
(r1  r0 )
 2Lrml
 r1 
Ln 
 r0 
λSml
( 0  1 )
e
rml 
R th 
CONDUCTION
S1  S0
S 
Ln 1 
 S0 
Sml
2L
e
 Sml
41
Profil radial des températures
à travers le tube
θ  0 
r

Ln  
2 λL  r0 
avec:
  2 λL
 0  1
r
Ln 1
 r0




θ  θ0
Lnr  Lnr 0

θ1  θ 0 Lnr1  Lnr 0
?
 Le profil radial des températures n'est pas linéaire.
 le long d'un rayon, la température décroît de Ө0 à Ө1,
selon une loi logarithmique.
CONDUCTION
42
4ème exemple d’application
Soit un tube d'acier 20/27 dont la température de la paroi
interne est:
Өi = 119,75°C et celle de la paroi externe, Өe = 119,64°C.
Conductivité thermique de l'acier : = 46 W.m-1.°C-1
Calculer :
1. la résistance thermique du tube pour une longueur de 1
m.
2. le flux de chaleur, correspondant.
CONDUCTION
43
du 4ème
Solution
exemple d’application
1. Résistance thermique du tube, pour une longueur de 1 m est :
r 
Ln 1 
r
R  0
 2L
A.N. :
 27 / 2 
Ln

20 / 2 

R
46  2 1
R = 1,038.10-3 °C/W
2. Le flux de chaleur traversant, par conduction, un tube de 1m de longueur:

A.N. :
( 0  1 )
R

(119,75  119,64)
1,03810 3
CONDUCTION
Φ = 105,97 W
44
Surfaces cylindriques concentriques
Résistance thermique
Flux thermique
Φ
(θ 0  θ n )
n
Ln (ri /ri1 )

2π λ i L
i 1
et
n
Ln (ri /ri1 )
R
2π λi L
i 1
• n: nombre de couches élémentaires
• 1, 2 …, n : conductivités thermiques de matériaux
• Ө0 et Өn sont les températures des faces internes et externes
• r1, …ri …, rn : rayons des faces ou interfaces successives
Application au calorifugeage de tube
CONDUCTION
45
5 ème exemple d’application
L'intérieur du tube 20/27 étudié dans l'exemple précédent est entartré sur une
épaisseur de 2 mm.
On suppose que les températures intérieures et extérieures restent inchangées :
la température de la paroi interne est Ө1= 119,75°C et celle de la paroi
externe Ө2 = 119,64°C.
Calculer :
1. la résistance thermique de la couche de tartre (pour une longueur de 1 m)
2.
la résistance équivalente du tube entartré.
3.
le flux thermique correspondant.
On donne la conductivité thermique du tartre : λC = 2,2 W.m-1.°C-1
CONDUCTION
46
5ème
Solution
exemple d’application
Ө1

r0
Ө0

rt
r1
Tartre
Acier
• Rayon interne du tube:
r0= 10 mm
• Rayon externe du tube:
r1=13,5 mm
• Rayon du tartre:
e = r0- rt = 2 mm
CONDUCTION

rt = 8 mm
47
5ème
Solution
exemple d’application
1. la résistance thermique de la couche de tartre , pour une longueur de 1 m:
A.N.
r 
Ln 0 
 rt 
Rt   
2t L
 10 
Ln 
8
Rt 
2  2,2 1
Rt = 1,614.10-2 °C/ W
2. la résistance équivalente du tube entartré est donnée par les deux
résistances en série:
R = Racier + Rtartre
R = 1,718.10-2 °C/W
A.N. R = 1,038.10-3 + 1,614.10-2
3. Le flux traversant le tube entartré de 1m de longueur:

A.N.

( 0  1 )
R
Φ = 6,4 W
(119,75  119,64)
1,718102
CONDUCTION
48
Analyse des résultats
1. Le flux traversant le tube de 1m de longueur:
Φ = 105,97 W
2. Le flux traversant le tube entartré de 1m de longueur:
Φ = 6,4 W

Le tartre réduit les pertes thermiques
CONDUCTION
49
Surfaces sphériques

Ө1
Ө0
 r0
r1
1. Hypothèse:
• régime permanant sans source d’énergie
• surfaces isothermes sont des sphères concentriques
2. Bilan thermique:
d r
Фr – Фr+dr = 0
 0   c
r
dr
3. Loi de FOURIER :
1
r  r0
θ  0
r  r1
θ  1
c1 1
 c2
4 λ r0
c 1
1  1
 c2
4 λ r1
0 
0  1
1 1

r0 r1
et c2  0 
0  1 1
1 1 r0

r0 r1
r1  r0
Rth 
4 λr1r0
 0  1
r1  r0
c1  4 λ
Résistance thermique
flux de chaleur
  4 λ r0 r1
1
c1 1

 c2
4 r
Φ  λ4πr 2 dθ  c
dr
4. Conditions limites :
r
CONDUCTION
50
Forme du flux thermique
r1  r0
R th 
4π λr1r0
• Surface moyenne appliquée aux deux surfaces, S0 et S1:
S m  ( S 0 S1 )1 / 2
et
Avec:
S 0  4 r02
et
 λ S m
e  r1  r0
S1  4 r12
 0  1
e
CONDUCTION
51
Surfaces sphériques concentriques
• n: nombre de couches élémentaires
• 1, 2 …, n : conductivités thermiques de
matériaux
• Ө0 et Өn sont les températures des faces internes et
externes
• r1, …ri …, rn : rayons des faces ou interfaces
successives
Φ=?
CONDUCTION
52
Conduction en régime variable
Système évolue constamment sans jamais atteindre
un équilibre thermique
Importance
Domaine de la science et technologie des matériaux
Exemple
traitements thermiques des matériaux et la solidification
  
P


C p t
T = T (x,y,z,t)
CONDUCTION
53
Équations de la conduction
Hypothèses
 Régime transitoire sans source
d’énergie

P=0
 Milieu homogène et isotrope
 Les grandeurs physico-chimiques , , c
sont constantes
CONDUCTION
54
Approximation des systèmes minces
Température Uniforme à l’intérieur du corps considéré
T = T (t)
Résistance thermique aux bords
>> Résistance thermique à l’intérieur
Abandon de l’équation de conduction
pour une formulation globale
CONDUCTION
55
Solide de conductivité thermique infinie
Supposons que: Étude de transfert de chaleur entre solide et le fluide
S
V
Fluide
• Volume V
(h, T)
• Surface extérieure S
T(t)
• Masse volumique 
• Chaleur massique C
• Conductivité thermique 
T
CV
 hS (T  T )
t
Taux d’accumulation de la chaleur
Pertes de chaleur par convection
Condition initiale: t = 0  T = T0
 hS 
T  T
 exp 
t 
T0  T
 cV 
CONDUCTION
56
Nombres adimensionnels
V
Définition de la longueur caractéristique: Lc 
S
 hS
T  T
 exp 
T0  T
 CV

t 

[W/(m2K)]
m
hLc
hLc 
hS
hS
t
t
t
t
2
2
cV
CV
Lc
 Lc
• Nombre de Biot: Bi 
hLc

•Nombre de Fourier: F0 
(W/ m.K)
m2/s
s
m2
t
L2c
CONDUCTION
57
Nombre de Biot
C’est un nombre sans dimension utilisé dans les calculs de
transfert thermique en régime transitoire. Il compare les
résistances au transfert thermique à l'intérieur et à la surface d'un
corps.
• On le définit de la manière suivante:


Bi  



Lc
S
1
hS






Bi 
hLc

S
Validité de l’approximation adoptée au départ
• Bi  1 la conduction de la chaleur à l'intérieur du corps est plus lente qu'à
sa surface, et que les gradients de température ne sont pas négligeables au sein
du corps.
• Si Bi <0,1 le nombre de Biot d'un système est petit devant 1 (on utilisera
souvent Bi<0,1),  la résistance interne est négligeable, et donc que la
température peut être considérée comme uniforme à l'intérieur du corps.
CONDUCTION
58
Nombre de Fourier
Le nombre de Fourier indique le degré de pénétration de la chaleur
en régime variable, pour un corps donné, soit:
F0 
t
2
c
L
CONDUCTION
59
Variation de la température relative d’une plaque infinie
initialement à une Température uniforme Ti puis
soumise à un environnement à température T
CONDUCTION
60
Exercice 10
Une tige d’acier de diamètre extérieur de 1cm
portée à une température de 320°C est plongée
à l’instant t=0, dans un bain à 120°C. Le
coefficient convectif de transfert thermique de
ce liquide est 100 W/m2K. Déterminer le temps
nécessaire pour que la température de la tige
atteigne la température T=200°C.
On donne : =7800kg/m3, c=460J/kgK,
=40W/mK et L=1m.
CONDUCTION
61