Transcript J：輻射の方程式

天体物理学 Ｉ ： 授業の内容
天文学は天体からの光を研究する学問です。
そこでこの授業では、「光」をどう扱うかの基礎を学びます。
授業計画は、
Ａ．水素原子
Ｂ．エネルギー準位
Ｃ．熱平衡
Ｆ．光のインテンシティ Ｇ．黒体輻射 Ｈ．等級
Ｊ．光の伝達式 Ｉ
Ｄ．線吸収
Ｅ．連続吸収
Ｉ．色等級図
Ｋ．光の伝達式 ＩＩ Ｌ．星のスペクトル
という順で進めます。
最後まで行くと、星のスペクトルがどんな仕組みで決まっているかが判る、
というのが目標です。
ＡからＥまでは光の吸収に関係する物理の話です。Ｆでは光の強さをきちん
と定義します。ＧからＩは光の強さを天文学でどう使うかを示します。ＪからＬは
光がガス中を伝わる様子を式に表わし、その式を解いて星のスペクトルを導き
ます。それでは、始めましょう。
Ｊ 輻射の方程式 （Ｉ）
今回の内容
（Ｊ．１） 光学的深さ（Optical Depth） τ
二点間の吸収の強さを表わす用語です。
（Ｊ．２） 源泉関数 (Source Function) ： S
輻射の方程式で媒質からの放射を表わす量です。
（Ｊ．３） 簡単な解
輻射の方程式の意味を理解するために簡単な例を調べます。
（J．４） 色等級図
二つのバンドでの等級が得られた場合は縦軸を等級、横軸をカラーとしてプ
ロットすると色等級図ができます。色等級図は天文学では極めて重要な道
具です。
授業の内容は下のHPに掲載されます。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
2
Ｊ．1． 光学的深さ（Optical Depth） τ
σ：粒子断面積
ｎ：粒子数密度
ｄｘ
Ｉ（ｘ）＋ｄＩ
Ｉ（ｘ）
σ
？
ｄI＝－I・σ・ｎ・ｄｘ
ｄｘ
総断面積 Σ
σ
S
＝－I・ｄτ
正面（面積Ｓ）から見ると
σ
σ
σ
S
σ
Σ＝σ・dN
＝σ・ｎ・S・ｄｘ
σ
σ
被覆率 C
C=Σ/S＝σ・ｎ・ｄｘ
光学的深さ（ｏｐｔｉｃａｌ ｄｅｐｔｈ） τ
前頁でｄｘを十分に小さく取り、Σ/ S＝ｄτ＜＜１の場合（左図）を考えます。こ
の場合粒子同士の重なりが無視できるので被覆率 C = dτが成立します。
しかしｄτが大きくなると、粒子が重なって見えるケースが現れてきます。
例えば、粒子断面積の総計 Σ＝ Ｓ の場合を考えてみましょう。つまり、
ｄτ＝ Σ/ S＝ｎσｄｘ＝１の場合（右図）です。
この時の正面図には多数の重なり合いが見られます。そのために被覆率
Ｃの有効率が低下し、Ｃ＜ｄτとなります。
では、粒子の重なり合いを考慮した時Ｃはいくつになるのでしょう？
τ＜＜１
横から
τ=１
正面から
横から
正面から
左図のように面積Ｓの不透明な紙を板の上に置きます。この場合被覆率は１です。
次に紙をＮ個の紙片に切って、板の上に散らします（右図）
Ｓ
千切った紙片の大きさを小さくして行った時にＣはいくつになるでしょう？
実験から大体の値を推測して下さい。
光
右図のようにＮ個の紙片を仮想的にＮ層
に分けて考えましょう。
光が上から来てまず第1層を通過します。
（１） 紙片1個の面積はσ＝Ｓ/Ｎ です。第1層の被覆率Ｃ１はいくつですか？透
過率Ｔ１は？
（２） 次に第2層を通過します。この時、第1、第2層を合わせた被覆率Ｃ２は2枚
の紙片が重なるかどうかで違いますが、平均のＣ２、Ｔ２は幾つでしょう？
1枚
重ならない2枚
重なる2枚
（３） こうしてＮ枚の紙片を巻いた時の透過率 ＴＮ はいくつですか？
（４） Ｎを無限に大きくしていった時の ＣＮ、ＴＮ は幾つでしょう？
（５） 始めに用意する紙がＫ枚の時に、Ｎを無限に大きくしていった時の ＣＮ、ＴＮ
は幾つになるでしょう？
光学的深さ τ と被覆率 C
こうして、光学的深さτと透過率T、被覆率Cの関係は、
T=exp（－τ）、
C=１－T＝１－exp（－τ） とわかります。
τ＜＜１のときは、C=１－（１－τ）＝τで最初の結果が確認されます。
ｄｘ
微分方程式による考え方
授業の最初に出てきた図に戻ると、
ｄI=-Idτだから、
dI
  I , d
I
I－Iｄτ
I    I   0 e 
右上の解に出てくる eーτが最初の導出にあったTにあたります。
ここまでは途中の粒子は何の光も放出せず、もっぱら光を吸収するだけと仮
定していました。
次に、粒子が吸収と同時に自身で光を放出する場合を扱います。
輻射エネルギー発生率
４πεｄＶ＝体積ｄＶからの輻射エネルギー発生率で 、 ε＝体積輻射係数 を定義
します。 テキストによってはεに４πをつけないので注意して下さい。
εを輻射の式にどう組み込むかを考えましょう。
Ａ点
ε
ｄＳ
ｄΩ
ｄＸ
輻射強度を定義するため、いつものようにＡ点に微小面積ｄＳを立て、ｄＳを通ってｄΩ
に流れる輻射エネルギーの量ｄＥを計算しましょう。
そのため上の図で、断面積 ｄＳの後ろに、深さ ｄＸの箱を考えの中にもっと小さいｄｖ
の微小体積を考えます。この箱の体積は ｄＶ＝ｄＸ・ｄＳ、箱から放出される輻射エネ
ルギーは ４πεｄＶ です。 しかし、このエネルギーは全立体角４πにばら撒かれてし
まいます。ｄＥに必要なのはその内ｄΩ方向に流れる部分だけです。
その割合は、ｄΩ/４πです。
したがって、巾ｄＸの箱からｄΩ方向に流れていく放射エネルギーは、
ｄＥ＝４πεｄＶ（ｄΩ/４π）
＝ ４πεｄＳ・ｄＸ・（ｄΩ/４π）
＝εｄＸ・ｄＳ・ｄΩ
です。
輻射強度 I の定義は、
ｄＥ＝Ｉ・ｄＳ・ｄΩ
でした。
二つの式を見較べると、Ｉ の方向に沿った微小区間 ｄＸ から Ｉ へεｄＸ の寄与があ
ることが判ります。つまり、
ｄＩ ＝εｄＸ
です。
輻射の方程式
ここまでに、
吸収： ｄＩ＝－ＩσｄＮ＝ －Ｉσｎ ｄｘ＝－Ｉ k ｄｘ＝－I ｄτ
放射： ｄＩ＝ εｄｘ
の二つの過程を見てきました。
吸収と放射の両方を合わせて、
Ｉ（ｘ＋ｄｘ）
ｄI = -I k dｘ＋εｄｘ
Ｉ（ｘ）
d I(x) /dx = - I k +ε
d I(x) /kdx = - I+ (ε/ k)
とし、
k dx＝ dτ
τ ＝ Optical Depth (光学的深さ)
ε/ k ＝Ｓ
dI ( )
  I ( )  S ( )
d
dI ( )
 I ( )  S ( )
d
Ｓ＝Source Function (源泉関数) で、τとＳを定義すると、
輻射の基礎方程式
equation of radiative transfer
前頁の式では、簡単のため表示方式を指定していません。実際は周波数表示、
波長表示、総エネルギー表示の式を一括して書いてあるので注意がいります。
具体的には下の３式をまとめて書いたのが前頁の式です。
dI ( )
dI (  )
dI ( )
 I ( )  S ( ),
 I ( )  S ( ),
 I  (  )  S (  )
d
d
d 
最初の総輻射強度に対する式で、τをどう定義するかは後で議論します。
輻射の方程式の直感的な理解
dI ( )
  I ( )  S ( )
d
を戻して、 ｄＩ ＝ －Ｉ ・ｄτ＋ Ｓ・ｄτ
で改めて式の意味を考えましょう。まず、－Ｉ ・ｄτは ｄτ≒１くらいで初め
の I は消えてしまうことを意味します。そして、 Ｓ・ｄτは ｄτ≒１くらい
で初めの I がＳに置き換わってしまうことを意味します。
結局荒っぽい言い方をすると、
τ＝１のあたりまでの光が輻射
強度に貢献しているのです。
それを、さらに粗く、 τ＝１ の源
泉関数Ｓ（τ＝１）を見る、とも言
います。
τ＝１００
τ＝１０
τ＝１
このあたりの放
出光は殆ど届か
ない
このあたりの放
出光が届く。
Ｊ．２．Source Function (源泉関数) ： S
源泉関数Ｓはどう表せるのか？
それでは輻射強度を決めている源泉関数Ｓとは何なのでしょう？。
吸収係数κや放射係数εはイメージが湧きますが、源泉関数Ｓがどんなものか、
いまいちピンときません。通常の環境でＳは何と考えればいいでしょう？
０
局所熱平衡の仮定：
各点での吸収係数κや放射係数εが温度Ｔと密度ρ
（ＬＴＥ）
で決定されると考えます。
ε(x)＝ εν (ρ,T)、κ＝ κν (ρ,T)
Ｓν (τν) =εν (τν) /κν (τν) ＝Ｓν (ρ,T)
すると、
Ｓは温度Ｔと密度ρの関数とられます。
1
Ｔ＝Ｔ（ｘ） ： Ｔが場所によって変わる一般的な環境を考えます。輻射の式に
よって、Ⅰはｄｘの間に、ΔＩ＝－[Iν (x)－Ｓν (ρ,T)] dτν の変化を受けます。
I(x)
I(x+dx) =I(x)- I(x)κ (ρ,T) dx＋ε(ρ,T) ｄｘ
Ａ点 (ρ,T)
＝ I(x) －[I(x)－Ｓ (ρ,T)] dτ
ｄｘ
すると、Ⅰν(ｘ)はどこでも、
Ⅰν ＝Ｂ(T,ν)
2 その他の点でも温度がＡ点
と同じＴになった特別な状況
（熱平衡）を考えてみます。
Ｓν (ｘ)は前と同じ、
Ｓν＝Ｓν(ρ,T)
I(x)=Ｂ(T,ν)
I(x+dx)=Ｂ(T,ν)－[Ｂ(T,ν)－Ｓν (ρ,T)]dτλ
I (x)＝I (x+dx)= Ｂ(T,ν) なので
Ｂ(T,ν)－Ｓν (ρ,T)＝０
熱平衡状態では
ところが、Ｓν (ρ,T) は系全体が熱平衡か
Ｓν (ρ,T)＝Ｂ(T,ν)
どうかには関係なく、そこがＬＴＥであれば
そこの(ρ,T) から決まるので、
一般に Ｓν (ρ,T)＝Ｂ(T,ν) が成立します。
普通の状況（ＬＴＥ）では、源泉関数Ｓは黒体輻射強度Ｂだったのです。
dIλ(τλ)/dτλ+Iλ (τλ)=Ｂλ[Ｔ(τλ)]
：
LTEの輻射の方程式
Ｊ．３．簡単な解
（i） ελ（ｘ）＝０ ：途中の物質がとても冷たい。ｘ＝０に光源Iλ０があります。
光源
吸収体
Iλ(x)
Iλ (x=0)
ｘ
ｘ＝０
ελ＝０ つまり、Sλ＝０ なので、輻射の方程式は下のように書けます。
dI ( x)
 k I  ( x)
dx
I  ( x  0)  I 0
 I  x   I 0e 
 k dx
または
 I 0e   ( x )
dI (  )
  I  (  )
d 
I  (   0)  I 0
入射光
吸収体
ｋ
５
τ
０
Ｉ / Ｉo
0
τ
出射光
(i)の例１： ＡＧＮ銀河のＮａガス
下のグラフは、1995 ApJ 450, 74-89 Forster, Rich and McCarthy
活動銀河 Ｍｒｋ２３１ のスペクトルです。
による、
この銀河は中心に高温の活動銀河核を持ち、そこからの連続（滑らかな）スペクトル
が銀河内星間ガスにより吸収を受けています。
Ｍｒｋ ２３１
活動核
１
連続光
星間ガス
０.５
吸収を受けた光
０
５９７０ Ａ
５９８０ Ａ
λ
５９９０ Ａ
波長５９８０Ａ（＝０．５９８μｍ）の吸収
線はＭｒｋ２３１星間ガス中のＮａ原子に
よるもので、Ｄ線と呼ばれます。
吸収線の深さから Ｍａｒ２３１銀河内のＮａ原子のコラム密度Nを求めましょう。
I
 exp( )  exp( N )
吸収の強さ＝
I0
の関係が使えそうです。
そのためには、D線中央部でのNa原子吸収断面積σが必要です。
Ｄ線中央の吸収断面積はσ＝(２.２×１０ －２３ /D ) cm2 で与えられます。 ここにDは
吸収線の幅をA（オングストローム）で表した値です。グラフから読み取ると Ｄ≒１．８
Ａです。ですから、σ＝１．２２×１０－２３ cm2 です。
銀河ではDは星間ガスの運動によるNa原子の視線速度のばらつきを表わします。
実験室ではDはNaガスの温度に対応し、 Ｄ＝１．１×１０－３ √Ｔ （Ａ） です。
グラフから読み取ると Ｄ≒１．８Ａです。ガス温度と考えると Ｔ ＝１．６４×１０６ Kと
なりますが、星間ナトリウムがそんなに高い温度で中性原子でいるわけはありませ
ん。ガス運動速度のばらつきVと考えると、V/c=1.8A/5980A, V=90km/sec です。
吸収線中央では ( Ｉ / Ｉｏ ) = eｘｐ（ーτ）＝０．５  τ＝０．７
Ｎａ原子のコラム密度を Ｎ （ｃｍ－２） とすると、 τ＝Ｎσ でした。
したがって、Ｎ＝０．７/ （ １．２２×１０－２３ ）＝５．８×１０２２ /ｃｍ２
この値は、詳しいラインフィットの手法で求めたＮａコラム密度とファクター
２程度しか違わいませんでした。
簡単な解（ii）
I(x=0) = 0
天体の向こう側からは光が来ない。簡単のため、Sλ(τλ)＝一定と仮定。
I=0
I(x,λ)
S(τλ)＝一定
ｘ
x=0
dI (  )
0
 I  (  )  S (  )  S ,　d 
この式の解は、
I  (   0)  0

I  (  )   S (t ) e(  t ) dt
0
上の仮定のように
0  
I  (  )  S e
S (  )  S


0
0
＝一定の場合は、



et dt  S0e   e   1  S0 1  e  

右のグラフから分かるように、
I  (  )     S
(   1)
I  (  )  S 0
(   1)
0

I  (  )  S0 1  e 

I
S0 
ＬＴＥが成立 [つまりS(τλ)=Bλ(T) ]
の場合には上の式のSをBに置き換えて
I  (  )     B (T )
(   1)
I  (  )  B (T )
(   1)
０
１

２
３
（ii）の例１： 放射星雲の輝線
光学的に薄い（τ＜＜１）星雲では、星では吸収線が見える波長に、しばしば
輝線が現れます。例えば、温度１０，０００ＫのＡ型星では0.656μに強いＨα吸
収線が見られますが、温度の同じ１０，０００Ｋの放射星雲からは強いＨα輝線
が観測されています。
この現象はτ＜＜１では、Ｉ＝τ・Ｂ となることから容易に理解できます。
吸収の強い波長では、光学的にアクティブで他より速く黒体輻射に達しようとし
ていると考えると理解しやすいです。
G型星スペクトル
Ｈα＝６５６nm
Ｈβ＝４８６nm
吸収線
Ｈβ線
惑星状星雲スペクトル
Ｈα＝６５６nm
Ｈβ＝４８６nm
輝線
Ｈα線
ｋλ
λL
Ｔ
τL＝Ｘ・ｋL
星雲
τＣ＝Ｘ・ｋＣ
λC
X
星雲の光学的深さはラインでτL＝Ｘ・ｋL、 連続光の所でτＣ＝Ｘ・ｋＣ と大きく
異なります。しかし星雲は希薄な為、ラインでさえτL <<１です。
すると、例(2) で見たように、星雲からの輻射強度は、
ＩL ＝ τL・Ｂ（Ｔ）
ＩＣ ＝ τＣ・Ｂ（Ｔ）
となります。
これが、星雲に輝線が見つかる理由です。
Ｉλ
では星ではなぜ吸収線になるのか？
それは次回。
λL
λC
（ii）の例２： ガス板からの輻射スペクトルの方向による変化
無限に広がる２枚の透明な板の間に、温度Ｔ＝５０００Ｋのガスが詰まっています。
表面に垂直な方向のガスの光学的深さτ（λ,θ＝０°）は下図のようで、波長λ＝
0.6μｍから0.7μｍの吸収帯では両側波長での１０倍吸収が強くなっています。
τ（λ、θ＝０°）
θ
１
0.5
0.1
0
0.3
垂直からθの方向に対する光学的深さを表にすると、
θ（°）
０
３０
τ（吸収帯）
1.000
1.155
τ(連続光)
0.100
0.116
６０
2.000
0.200
８０
5.759
0.576
0.6 0.7
λ（μｍ）
８７
19.107
1.911
1
I (, )  1  exp( (, )B (T )
8
1.191 10
B ( , T ) 
5
m
1
 1.4388

exp 
  T  1
 m 4 
W/m
θ＝０，３０，６９°では、
吸収帯が逆に強い放射帯
1.2E+07
吸収帯のτ＞＞１となり、
Ｂ（Ｔ＝５０００Ｋ）で頭打ち、
Ｉ（θ） W/m^2/μm
1.4E+07
θ＝８０，８７°になると、
/m
放射角度によるスペクトル変化
λ＝０．６－０．７μｍの
として現れます。
2
1.0E+07
θ＝0°
8.0E+06
θ＝３0°
θ＝６0°
6.0E+06
θ＝８0°
θ＝８７°
4.0E+06
黒体輻射
一方、連続光はτーー＞１
2.0E+06
でＢ（Ｔ）に近づくので相対
0.0E+00
的にバンドは弱くなります。
0.4
0.6
0.8
λ（μｍ）
1
下に示すのは、λ＝０．６μｍ、吸収帯の短波長端での連続光と放射バンドの
Ｉ（θ、λ＝０．６μｍ－） と Ｉ（θ、λ＝０．６μｍ+）の角度分布です。
θ→９０°になるにつれ、バンドでも連続光でも、Ｉ→Ｂ（Ｔ）に接近していくことが分
かります。
λ＝０．６μｍ－と０．６μｍ＋の輻射強度角度分布
λ＝０．６＋
λ＝０．６－
1.E+07
Ｉ（θ、放射バンド）
5.E+06
θ
Ｉ（θ、連続光）
0.E+00
-2.E+07
-1.E+07
-5.E+06
0.E+00
5.E+06
1.E+07
2.E+07
（ii）の例３： 町の灯り
黒体表面での輻射強度は等方的です。すなわち、黒体表面をどのような角度から
見ても同じ輝き（表面輝度）に見えます。それは、面表面での輻射強度が等方的だ
からです。
Ａ点
Ａ点から黒体表面上の点
への角度 θ を図のように
とります。Ａ点からθ方向
を見た時の輻射強度を
Ｉ
Ｉ
Ｉ（θ）としてグラフを描くと
θ
Ｉ
下のように
Ｉ（θ）＝一定
の線となります。
Ｉ
仮にそのような板を写真に撮ると下
のようになるでしょう。
Ｉ（θ）
０°
θ
９０°
そのような等方的に光る板のモデルとして、板の上に一様に電球を並べます。電
球を十分小さくして、並べ方を密にすれば一様に光る板ができそうです。
下の写真はグリフィス公園から見たロサンゼルスの夜景です。一様に光っていると
いうより、地平線に近づくに連れて表面輝度が増加しているように見えませんか？
平らな面上に、Ｗ＝１００ワットの電球を ｎ＝０．1個/１ｍ２ の割合で並べます。こ
の面を高さＨ＝５０ｍの公園Ｇから眺めます。真下から角度θの方向を見た時の
輻射強度 Ｉ（θ）を求めましょう。
（１） 図のようにＧから θ の方向に ｄω の立体角をと
ると、面上での面積ｄＳ はいくつになりますか？
そこにある電球の数ｄＮはいくつですか？
Θ
Ｇ
ｄω
Ｈ
Ｒ＝Ｈ/cosθ
ｄＳ
（２） Ｇ点でｄω方向と垂直に小面積ｄｓを立てます。ｄＳにある出力Ｗの電球
の光の内、ｄｓを通過するエネルギーはいくつですか？
Ｇ
ｄｓ
Ｒ
Ｗ
Ｈ
（３） ｄＳ内のｄＮ個の電灯の光の内ｄｓを通過するエネルギーｄＰはいくつにな
るでしょう？
（４） ｄＰの式から、Ｉ（θ）をＷ、ｎ、θの関数として表わして下さい。
（５）Ｗ、ｎの数値を使い、 Ｉ（θ）をグラフにして下さい。
（ii）の例４： 花火
下の花火の写真を見ると、中央よりも縁の方が火の粉が多いことに気付きます。
左側の花火の写真を中心から
等間隔のリングにわけてその中
の火の粉の数を数えます。花火
の半径＝Ｒ＝５としました。
中心距離 数
０．５
４
１．５
１９
２．５
１９
３．５
４３
４．５ １０２
面積
１π
３π
５π
７π
９π
面密度
１．３
２．０
１．２
２．０
３．６
火の粉が半径Ｒ＝５の表面に一様に面密度
ｎで分布しているというモデルを立て、それを
遠方から見た時の面密度 Ｎ を考えると、
見かけ半径ｄｒに対応する表面積は
ds  4Rd R 2  r 2  4R
rdr
R2  r 2
見かけ（投影）面積はｄＳ＝２πｒｄｒ だから
n  ds
1 4Rn  r
N


2
2
dS
2 r R  r
ｄｒ
ｒ
ｄｓ
ｄｓ
2 Rn
R2  r 2
半径５内の火の粉の総数はＴ＝１８７だから、
４π・Ｒ２・ｎ＝１８７ でモデルと測定の火の粉のより総数を揃えると、
R r
2
2

2R
T

2
2 4R 2
R r
1
T
187
1

2
2 2R
2  5 52  r 2
R r
火の粉の面密度比較
測定値
モデル
5
4
N
N
2 Rn
3
測定
モデル
2
1
0
0
1
2
3
r
4
5
輝度温度（brightness temperature） Tb
： Ｔｂの定義
Ⅰ（ν）＝Ｂ（Ｔｂ， ν ）
Ⅰ（ν）
Ｂ（Ｔ２，ν）
Ｔｂ（νＡ）＝Ｔ２
Ｂ（Ｔ１，ν）
νＡ
νＢ
Ｔｂ（νＢ）＝Ｔ１
Ⅰ（ν）
ν
したがって、周波数ν（または波長λ）毎に輝度温度Ｔｂは変わります。
輝度温度が実際に使われるのは
（１）Reyleigh-Jeans 近似が成立し、（主に電波波長域）
（２）光学的深さτ＜＜１
つまり、希薄な星雲の電波観測が相当します。
星雲の温度＝Tc とすると、 （２）より、 Ｉ（ν）＝τνＢ（Ｔc, ν）
2kTC 2

c2
(1) より、
2h 3
B( , TC )  2
c
したがって、
2kTC 2 2kTB 2
I ( )  

2
c
c2
1
 h
exp
 kTC

  1

Ｔb= τνTc
つまり、輝度温度Tbは星雲の実際の温度に光学的深さτをかけた値であす。
τνはνにより変わるのでTbは周波数νにより変化することに注意して下さ
い。
簡単な解（iii） I(x=0) =Io(λ)
Io(λ)
光源
光源と途中の吸収・輻射帯の両方
Sλ (x)＝Bλ(T)
I(λ)
途中の吸収・放射帯
I(x,λ) = Io(λ) exp ( －∫κ(λ)ρ(x)dx ) = Io(λ) exp [－τλ ]
解(i)
I(x,λ) =∫S(t) exp{－ (τλ－t)} dt
解(ii)
をあわせて、
I (λ) = Io(λ) exp[－τ(x,λ)]＋∫S(τ1λ)exp{－ (τλ－τ1λ)} dτ1λ
= Io(λ) exp[－τλ] + Bλ(T)[1－exp(－τλ)]
τλ ＜＜１の場合には、
Ｉ(λ) ＝Io(λ)（１－τλ）+ Bλ(T)τλ
＝ Io(λ) + [Bλ(T) － Io(λ) ]τλ
例： ＣａＩＩのＫ線の中心部に現れる彩層(chromosphere)輝線
Teff
Tchrom（高温）
スペクトル
恒星大気
彩層
Teff
Teff
6,400
30,000
6,250
9,800
7,300
5,950
光
右図のようにＮ個の紙片を仮想的にＮ層
に分けて考えましょう。
光が上から来てまず第1層を通過します。
（１） 紙片1個の面積はσ＝Ｓ/Ｎ です。第1層の被覆率Ｃ１はいくつですか？透
過率Ｔ１は？
Ｃ１ ＝ σ/Ｓ＝１/Ｎ
Ｔ１ ＝１－Ｃ１ ＝ １－(１/Ｎ）
（２） 次に第2層を通過します。この時、第1、第2層を合わせた被覆率Ｃ２は2枚
の紙片が重なるかどうかで違いますが、平均のＣ２、Ｔ２は幾つでしょう？
Ｃ２ ＝Ｃ１＋Ｔ１ ・Ｃ１ ＝ （１/Ｎ） ＋ [1-（１/Ｎ）] （１/Ｎ）＝１－ [1-（１/Ｎ）]２
または、
Ｔ２ ＝Ｔ１・Ｔ１ ＝[1-（１/Ｎ）]２
Ｃ２＝１－ [1-（１/Ｎ）]２
1枚
重ならない2枚
重なる2枚
（３） こうしてＮ枚の紙片を撒いた時の透過率 ＴＮ はいくつですか？
ＴＮ＝ [1-（１/Ｎ）]N
（４） Ｎを無限に大きくしていった時の ＣＮ、ＴＮ は幾つでしょう？
ＴＮ＝lim [1-（１/Ｎ）]N ＝１/ｅ
CＮ＝1－ １/ｅ
（５） 始めに用意する紙がＫ枚の時に、Ｎを無限に大きくしていった時の ＣＮ、ＴＮ
は幾つになるでしょう？
紙片1個の面積はσ＝Ｋ・Ｓ/Ｎ なので、
Ｃ１ ＝ σ/Ｓ＝Ｋ/Ｎ、 Ｔ１ ＝１－Ｃ１ ＝ １－(Ｋ/Ｎ）
ＴＮ＝lim [1-（Ｋ/Ｎ）]N ＝（１/ｅ）Ｋ＝ｅーＫ
平らな面上に、Ｗ＝１００ワットの電球を ｎ＝０．1個/ｍ２ の割合で並べます。こ
の面を高さＨ＝５０ｍの公園Ｇから眺めます。真下から角度θの方向を見た時の
輻射強度 Ｉ（θ）を求めましょう。
（１） 図のようにＧから θ の方向に ｄω の立体角をと
ると、面上での面積ｄＳ はいくつになりますか？
そこにある電球の数ｄＮはいくつですか？
ｄＳ＝[Ｒ２ｄω] / cosθ、 Ｒ＝Ｈ/ cosθ
なので、
ｄＳ＝[Ｈ２ / cos３θ]ｄω
ｄＮ＝ [ｎ・Ｈ２ / cos３θ]ｄω
Θ
Ｇ
ｄω
Ｈ
Ｒ＝Ｈ/cosθ
ｄＳ
（２） Ｇ点でｄω方向と垂直に小面積ｄｓを立てます。ｄＳにある出力Ｗの電球
の光の内、ｄｓを通過するエネルギーｄｅはいくつですか？
電球からｄｓを見こむ立体角は、
ｄΩ＝ｄｓ/Ｒ２＝ｄｓ[cos２θ/Ｈ２]
なので、
ｄｅ＝Ｗ[ｄΩ/4π]
＝ｄｓ[cos２θ/Ｈ２]・Ｗ/4π
Ｇ
ｄｓ
Ｒ
Ｗ
Ｈ
（３） ｄＳ内のｄＮ個の電灯の光の内ｄｓを通過するエネルギーｄＰはいくつにな
るでしょう？
ｄＰ＝ｄｅ・ｄＮ
＝ｄｓ[cos２θ/Ｈ２]・[Ｗ/4π]・ [ｎ・Ｈ２ / cos３θ]ｄω
＝ [Ｗ/4π]・ [ｎ/ cosθ]・ｄｓ・ｄω
（４） ｄＰの式から、Ｉ（θ）をＷ、ｎ、θの関数として表わして下さい。
ｄＰ＝Ｉ・ ｄｓ・ｄω なので、前の問から、
Ｉ（θ）＝ [Ｗ/4π]・ [ｎ/ cosθ]
（５）Ｗ、ｎの数値を使い、 Ｉ（θ）をグラフにして下さい。
Ｉ（θ）＝ [Ｗ/4π]・ [ｎ/ cosθ]
＝[１００・０．１/ 4π]/ cosθ W m-2/str
＝[０．８/ cosθ] W m-2/str
W m-2/str
２
１
０
０°
９０°
θ