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Coloration gap sommet identifiante de graphes
Mohammed Amin Tahraoui
Eric Duchêne
Hamamache Kheddouci
Université de Lyon 1
12èmes journée Journées Graphes et Algorithmes (JGA’10), Marseille
France.
Plan
 Coloration de graphe
 Coloration arêtes
 Étiquetage des sommets
 Coloration sommet identifiante
 Définition
 Variantes du problème
 Coloration Gap sommet-identifiante
 Formalisation
 Résultats
 Perspectives
2
Colorations de graphe
Coloration arêtes
 Affecter à toutes les arêtes de graphe G=(V,E) une couleur de telle
sorte que deux arêtes adjacentes n’aient jamais la même couleur.
{0,1,…,k-1}
c :E
 ’ (G) : Le nombre minimum de couleurs à utiliser pour obtenir
une coloration arête.
 Théorème de Vizing’s : Δ ≤ ’ (G) ≤ Δ +1
1
2
2
3
3
1
(G) =3
3
Colorations de graphe
Etiquetage des sommets
Sommet-identifiante (Vertex-distinguishing )
 L’étiquetage des sommets est appelé sommet-identifiant si chaque
sommet de G est déterminé uniquement par son étiquette.
Sommet adjacent -identifiante (Adjacent vertex-distinguishing )
L’étiquetage des sommets est appelé sommet adjacent-identifiant si
deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur.
Une coloration des arêtes peut induire une coloration sommetidentifiante ou une coloration sommet adjacent -identifiante
Coloration Sommet-Identifiante (Vertex-Distinguishing Edge Colorings)
4
Coloration sommet-identifiante
Définition
propre
Coloration impropre des arêtes qui permette de distinguer
via une fonction de codage c
Somme
Union set
Union multi-set
3
1
6
2
7
2
{1,2}
10
3
2
3
2
3
ve
2
{2,4}
5
c ( v )   f ( e)
9
1
Tous Les sommets
Sommets adjacents
{1,2,3}
2
4
{1,3}
3
3
1
1
{1,4}
5
6
8
{3,5}
c(v)   f (e)
{1,5}
ve
Irregular weighting
vertex-distinguishing edge-colorings
5
(Chartrand et al ,86)
(Burris & Schelp, 97)
Coloration sommet-identifiante
Variantes de problème
Coloration arête
Propre
impropre
Irregular
weighting
x
vertexcolouring edgeweighting
x
Identifiante
Tous Les
sommets
Sommets
adjacents
x
x
Fonction de codage
Sum
Set
Multi-set
Reference
x
Chartrand et al ,86
x
Karonski et al, 04
VD-coloring
x
x
x
Burris & Schelp, 97
Adjacent
strong edge
coloring
x
x
x
Zhang et al ,02
x
Harary & Pltholtan,
85
point
distinguishing
edge-coloring
x
x
detectable
coloring
x
x
vertexcolouring edgepartition
x
x
General
neighbourdistinguishing
x
x
x
x
Chartrand et al ,06
x
Addario-Berry et al
04
Ervin et al, 05
Coloration Gap sommet-identifiante
Définition
proper
Coloration Non proper des arêtes qui permette de distinguer
via une fonction de codage c.
Tous Les sommets
Sommets adjacents
Somme
Union set
Union multi-set
Gap
7
Coloration Gap sommet-identifiante
Formalisation
Définition 1
Soit un graphe G=(V, E)
Soit f : E → {1,……k}
Pour chaque sommet v de G :
Max f(e) v ∈ e - Min f(e) v ∈ e si d(v)>1
c(v)=


f(e) si d(v)=1
6
Min
7
1
10
10
9
5
6
2
9
4
3
2
1
2
7
0
2
Max
Nombre chromatique gap (G): Le plus petit k tel que G admette une
coloration Gap-sommet-identifiante
8
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
 Bornes inférieures
Théorème 1
Soit G un graphe de n sommets tel que G ne contient aucune
composante isomorphe à K1 ou K2
gap(G) ≥ n si
(i) δ(G) ≥ 2 ou
(ii) Tout sommet de degré au moins égale à 2 possède au
moins deux sommets adjacents de degré 1
gap (G) ≥ n − 1 Sinon
4
0
4
5
2
2
2
3
2
1
1
4
3
3
4
3
1
3
1
1
0
3
5
5
0
1
3
2
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
 Bornes supérieures
Conjecture: Pour tout graph connexe G d’ordre n>2
gap(G) ≤ n+1
Nous avons prouvé cette conjecture
 Larges ensembles de graphes de degré minimum δ (G) ≥ 2.
 Classes spéciales de graphes de degré minimum δ (G) =1:
1. Chaines.
2. Arbres ayant au moins deux feuilles à une
distance égale à 2.
3. Arbre binaire complet.
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
 Graphe de degré minimum δ (G) ≥ 2
Théorème 2 (Résultat principal)
Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k ≥ 2,
gap(G) = n,
si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4)
(a)
gap(G) = n+1
sinon
(b)
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
 Cycle
Théorème 3 :
gap(Cn) = n,
si n=0, 1(mod 4)
(a)
gap(Cn) = n+1
si n=2, 3(mod 4)
(b)
Coloration Gap sommet-identifiante
(a) : gap(Cn) = n
Si n=0, 1(mod 4)
 gap(Cn) ≥ n
 gap(Cn) ≤ n ? ? ?
Case (a).1 : n mod 4 =0
f(ei) =
c(vi) =
(i+1)/2
i impaire
7
n/2
i mod 4=2
8
n
i mod 4=0
f(e1)=1
3
4
2
4
2
n-(i+1)/2
i mod 4=1
4
(n-i)/2
(n –i-1)/2
i mod 4=2
i mod 4=3
0
6
4
8
n-(i/2)
i mod 4=0
1
3
5
Coloration Gap sommet-identifiante
(a) : gap(Cn) = n
Si n=0, 1(mod 4)
gapCn) ≤ n ?
Case a.2 : n mod 4 =1
i
f(ei) =
n-1
n
c(vi) =
i paire
i mod 4=2
i mod 4=0
n-1
i mod 4=2
n-i+1
i mod 4=0
n –i-1
i mod 4=3
f(e1)=1
8
9
8
5
2
7
3
1
6
8
9
0
n-i
i mod 4=1
gap(Cn) =n
7
4
8
3
5
Coloration Gap sommet-identifiante
(b) : gap(Cn) = n+1
Si n=2, 3(mod 4)
 gap(Cn) > n ? ? ?
 Chaque terme f(ei) apparaît deux fois avec le même signe (ou par deux
signes différents)
Contradiction !!!!(n (n-1)/2 est impaire Si n=2, 3(mod 4) )
gap(Cn) > n
Coloration Gap sommet-identifiante
(b) : gap(Cn) = n+1
Si n=2, 3(mod 4)
o gap(Cn) ≥ n+1
o gap(Cn) ≤ n+1 ? ? ?
Case (b).1 : n mod 4 =3
n+1 mod 4= 0 (gap(Cn+1) = n+1)
Cn+1 doit contenir deux bords successifs de mêmes couleurs.
7
1
8
4
2
4
gap(Cn) = n+1
2
4
04
6
8
4
1
3
3
5
Coloration Gap sommet-identifiante
(a) : gap(Cn) = n+1
Si n=2, 3(mod 4)
gap(Cn) ≤ n+1 ?
Case (b).2 : n mod 4 =2
f(en)= f(en-1)=2, f(en-2)=3 et
n+2-i
Pour 1≤ i ≤ n-3, f(ei) =
1
2
5
i paire
i mod 4=2
i mod 4=0
f(e1)=7
2
1
4
0
2
5
1
2
3
gap(Cn) =n+1
6
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
 Coloration arête équilibrée
Définition 2
Pour chaque sommet v de G=(V, E):
Soit un intervalle I(v)=[Min f(e) v ∈ e , Max f(e) v ∈ e ]
Une coloration arête f de G est une coloration équilibrée si
seulement si :
Pour toute pair u,v de V : I(u) ∩ I(v)≠ Ø
v1
I(v1)=[1,6]
6
v3
1
5
5
I(v1) ∩ I(v2) ∩ I(v3) ∩ I(v4) ={5}
v2
3
v4
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
Théorème 4 :
Soit G un graphe avec δ(G) ≥ 2.
1.S'il existe un sous-graphe couvrant H de G tel que δ(H) ≥2
2.S’il existe une coloration arête équilibrée de H tel que gap(H) ≤ k.
gap(G) ≤ k.
Preuve
 gap(H) ≤ k.
 Pour toute (u,v) de V:
3
 c(u)≠c(v) et
1
 f : coloration équilibrée : x∈ I(u) ∩ I(v)
 Pour toute (u,v) ∈ E(G)/E(H), f(e)=x,
2
gap(G) ≤ k.
4
2
2
2
0
2
I(v1) ∩ I(v2) ∩ I(v3) ∩ I(v4) ={2}
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
Théorème 5
Pour tout graphe 2-arête-connexe G d’ordre n tel que G n’est pas un cycle
de longueur =2, 3(mod 4), nous avons
gap(G) = n
Idée de preuve
Proposer une coloration arête équilibrée d’un sous-graphe couvrant G’ de
G.
Algorithme Polynomial
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
Notations
Au cours de l'algorithme:
 Soit Sc l’ensemble courant des sommets codés .
 Initialement Sc= Ø.
 Un sommet v est inséré dans Sc si et seulement si il est incident à au
moins deux arêtes colorées (e1,e2). On fixe c(v) à |f(e1)-f(e2)|.
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
Notations
 Une fonction N(Sc) retourne l'ensemble des sommets voisins de Sc et
non encore inclus dans l’ensemble Sc.
 Pour chaque sommet u de N(Sc), soit la fonction P(u) qui renvoie une
chaine entre deux sommets de Sc qui passe forcément par le sommet u.
Sc
P(u)
v
1
7
8
N(Sc)
u
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
Algorithme
 Input: un graphe 2-arête-connexe G = (V, E) d'ordre n, différent
d'un cycle de longueur 1, 2 ou 3 (mod 4).
 Output: une coloration gap sommet-identifiante de G avec n
couleurs.
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
 Etape 1: Prendre un sous-graphe H de G tel que H est isomorphe à :
 Cycle de longueur multiple de 4.
 Deux cycles distincts ayant au moins un sommet commun.
Observation
Par hypothése, si G est différent d'un cycle de longueur multiple de 4,
Alors Δ(G) ≥3 , le sous-graphe H peut être toujours obtenu à partir de G.
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
 Etape 2: Coloration de sous-graphe H (10 fonctions de coloration)
 Par exemple : H est un cycle de longueur multiple de 4
n-i+1
f(ei) =
i impaire
1
i mod 4=2
2
i mod 4=0
 Sc=V(H)
5
1
7
6
8
6
2
4
Principe
1. Pour tout sommet v de H : 2∈ I(v)
2. Pour toute paire de sommets (u,v) de H, c(u)≠c(v)
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
 Etape 3: Choisir un sommet u ∈N(Sc),
 Soit une chaine R=P(u) d’ordre k
 Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de R
selon la valeur k mod 4=0,1,2,3.
 Sc= Sc U V(R)
 Si |Sc|<|V|
5
1
7
5
6
8
6
2
2
4
Principe
1. Pour tout sommet v de Sc : 2∈ I(v)
2. Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)≠c(v)
3u
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
 Etape 3: Choisir un sommet u ∈N(Sc),
 Soit une chaine R=P(u) d’ordre k
 Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de R
selon la valeur k mod 4=0,1,2,3.
 Sc= Sc U V(R)
5
1
7
5
3
u
5
6
8
6
2
2 2
4
2
0
2
Principe
1. Pour tout sommet v de Sc : 2∈ I(v)
2. Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)≠c(v)
3
1
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
Etape 4:
 Pour chaque sommet v de G : 2∈ I(v)
 Pour toute paire de sommets (u,v) de G, c(u)≠c(v)
 Pour chaque arête non-colorée: f(e) =2
 Fin de l’algorithme
 gap(G)=n.
5
1
7
5
8
5
6
2
6
3
2
2 2
4
2
2
0
2
3
1
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
 Pour tout entier k>2, tout graphe k-arête-connexe contient un sousgraphe 2-arête connexe couvrant G’ différent d'un cycle.
 Selon l’algorithme précédent, G’ admet une coloration Gap sommet
identifiante équilibrée
Corollaire 6
Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k>2, nous avons
gap(G)=n
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
 Nous pouvons maintenant conclure que le résultat du Théorème 2 est
une conséquence directe du Théorème 3 et le Corollaire 6.
Théorème 2 (Résultat principal)
Pour tout graphe k-arête-connexe d’ordre n tel que k ≥ 2,
gap(G) = n,
si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4)
(a)
gap(G) = n+1
sinon
(b)
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
 Graphe de degré minimum δ (G) = 1
Théorème 7 :
gap(Pn) = n,
si n=2, 3(mod 4)
(a)
gap(Pn) = n-1
si n=0, 1(mod 4)
(b)
Coloration Gap sommet-identifiante
Résultats
 Graphe de degré minimum δ (G) = 1
Théorème 8
Pour tout arbre binaire complet BT d’ordre n > 3, nous avons
gap(BT) = n − 1.
Théorème 9
Soit T un arbre de n sommets tel que T a au moins deux feuilles à une
distance égale à 2, nous avons
gap(T) ≤ n.
Coloration Gap sommet-identifiante
Perspective
Conjecture 2 (Graphe de degré minimum δ (G) ≥ 2)
Pour tout graphe G d’ordre n avec un degré minimum δ (G) ≥ 2,
gap(G) = n,
si G n’est pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4)
(a)
gap(G) = n+1
sinon
(b)
Conjecture 3 (Arbre)
Pour tout arbre T d’ordre n ≥ 3,
gap(T) = n,
si la condition (ii) du Théorème 1 est remplie
(a)
gap(T) = n-1
sinon
(b)
Merci pour votre attention
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