Transcript veelhoeken en veelvlakken

Over voetbal enzo
Hoeveel zeshoeken bevat een voetbal?
Probleem:
onmogelijk om een voetbal te maken
met alleen zeshoeken
Bovenstaande figuur is een vlakvulling:
een vlak rooster
De veelzijdigheid van bollen
Veelhoeken (polygonen)
Hoekpunten n
1
2
Zijden n
Buren 2
n
3
Diagonalen n*(n-3)/2
…
Convexe veelhoek:
Alle diagonalen vallen binnen veelhoek
Recursieve Constructie:
Herhaald afknippen
1
2
Een n-hoek bekom je
als je vertrekkende vanuit een driehoek
n-3 maal een hoekpunt wegsnijdt.
n
3
…
Herhaald bijplakken
Een n-hoek bekom je door
n-2 driehoeken aan elkaar te plakken.
De som van de hoeken van een n-hoek
= (n-2)*180°
Regelmatige veelhoeken
Gegeven: r(=1) en n(=9)
360 
= n ( 40)

r
Regelmatige veelhoeken
z/2
r
a
180°/n
z
z=2*r*sin(180°/n)
z
a

r
a=r*cos(180°/n)
Opp =
r2*sin(180°/n)* cos(180°/n)
= r2*sin(360°/n)/2
2
Omtrek n-hoek=2*n*r*sin(180°/n) Opp n-hoek=n*r /2*sin(360°/n)
Omtrek 9-hoek=2*9*sin(20°)=6,16 Opp 9-hoek=9/2*sin(40°)=2,89
veelvlakken
Een veelvlak is een ruimtelijke figuur
begrensd door vlakke veelhoeken: Zijden of facetten(diamant)
Ribben
Hoekpunten
Buren zijn
hoekpunten verbonden door ribbe
Diagonalen:
zijdediagonaal
lichaamsdiagonaal
orde
De orde van een zijde =
Aantal begrenzende ribben
5
De orde van een hoekpunt =
Aantal ribben die toekomen
3
3
3
3
3
3
5
3
3
Prisma{n}
Grondvlak // bovenvlak
Opstaande ribben
Hoogte h:
afstand boven-grond
3
3
3
5
4
3
h
3
3 4
4
3
3
5
3
inh=opp(grond)*h
De orde van een zijde =
zijvlakken orde 4
grond en boven orde n
De orde van een hoekpunt =
allemaal orde 3
3
H
2n
R
3n
Z
n+2
Piramide {n}
H
n+1
grondvlak
top
opstaande ribben
R
2n
Z
n+1
5
Hoogte h:
afstand top-grondvlak
inh=opp(grond)*h/3
3
De orde van een hoekpunt =
grondvlak orde 3
top orde n
3
De orde van een zijde =
zijvlakken orde 3
grondvlak orde n
3
3
3
3
5
3
3
H
n+2
R
3n
Z
2n
samenstellingen
H
R
Z
2n+1 4n 2n+1
Formule van Euler
H
R
Z
H+Z-R
prisma
2n
3n
n+2
2
piramide
n+1
2n
n+1
2
duopiramid
e
toren
n+2
3n
2n
2
2n+1
4n
2n+1
2
Voor convexe veelvlakken geldt steeds:
H+Z-R=2
Platonische veelvlakken
Slechts 5
Zijden zijn identieke regelmatige veelhoeken
EN &
Dus alle ribben even lang
Alle hoekpunten hebben zelfde orde
Tetraëder
Kubus
octaëder
dodecaëder
twaalfvlak
12 regelmatige 5-hoeken
H
20
R
30
Z
12
Orde hoekpunten 3
Orde zijden 5
Icosaëder
20 regelmatige 3-hoeken
H
12
R
30
Z
20
Orde hoekpunten 5
Orde zijden 3
Afgeknotte icosaëder
H
12
R
30
H
60
Z
20
R
90
Z
32
Dualiteit
Verbind middelpunten van zijden
Dodecaëder
Kubus  octaëder
 Icosaëder
Duale in tabel
H
R
Z
tetraëder
4
6
4
3
3
kubus
8
12
6
4
3
octaëder
6
12
8
3
4
dodecaëder
20
30
12
5
3
icosaëder
12
30
20
3
5
Het duale van afknotten is uitstulpen
Orde Z Orde H
geode
Een veelvlak waarbij elk
Hoekpunt op een bol ligt
En orde 5 of 6 heeft
Richard Buckminster Fuller
(1895-1983)
triangulatie
Moeilijk kan ook
Fullerenen
Het duale van een geode
wordt een Fullereen genoemd
Onze voetbal is een
Fullereen F(1,1)
Ook dit nog
In elke geode zijn er exact 12 hoekpunten van orde 5.
5H5+6H6=2R=3Z
H=H5+H6
H+Z-R=2
Euler
Telt het aantal ribben uit elke punt
Elke ribbe wordt dubbel geteld
Elke zijde heeft 3 ribben,
maar weeral dubbel geteld
12H+12Z-12R=24
2H5+2(5H5+6H6)+12Z-6(2R)=24
2H5+2(3Z)+12Z-6(3Z)=24
2H5=24
Voetbal?
Er bestaan geen voetballen met alleen zeshoeken
H+Z-R=2
3H=2R=6Z
Euler
Telt het aantal ribben uit elke punt
Elke ribbe wordt dubbel geteld
Elke zijde heeft 6 ribben,
maar weeral dubbel geteld
6H+6Z-6R=12
2(6Z)+6Z-3(6Z)=12
2(3H)+6Z-3(2R)=12
012