Transcript 二極體 - 物理學科中心

高級中學課程物理學科中心 委辦
高中物理教師現代科技進階研習會(中區)
2007 Jan. 15th---17th
半導體：（一）原理 李英德老師（光電系）
（二）製程 劉堂傑主任（積體電路技術，電子系）
（三）應用 鄭經華老師（積體電路應用，電子系）
超導體： 施仁斌老師（電子系）
光電科技：（一）基礎光電
陳敬恒老師（光電系）
（二）光電半導體與光電元件
劉榮平老師（光電系）
（三）光電顯示器
魏明達老師（光電系）
（四）光纖通訊及其他光電產業 盧聖華老師（光電系）
奈米科技：
蔡雅芝老師（光電系）
新興能源：
邱國峰老師（材料系）
物理演示教學： 林泰生老師（光電系）
半導體基礎理論簡介 ---- Kittel 固態物理
1、晶體的X光繞射
2、晶體中電子的能隙(energy gap)與能帯(energy band)
3、半導體能隙
4、以”自由電子”看待晶體中的電子行為
5、晶體中電子的能量分布--Fermi-Dirac Distribution
6、晶體中電子的能量分布--Fermi energy & Density of states
7、電子、電洞、等效質量
8、導帶電子與價帶電洞的密度(n、p)與mobility。
9、 p-n junction(二極體)的整流與光電池效應。
逢甲大學 光電系 李英德 教授
2007 Jan. 15th (8:40am - 10:00am)
高級中學課程物理學科中心 委辦高中物理教師現代科技進階研習會(中區)
正晶格(direct lattice)---倒置晶格(reciprocal lattice)
  2
ㄧ維直線晶體： G  b 
iˆ
a

2 ˆ 
2 ˆ
二維方形晶體： b1 
i ；b 2 
j
a
b


b1和 b 2線性組合成各種

倒置晶格向量G - - - 紅色晶格面
BCC  FCC
三維晶體
 

a2  a3
b1  2    ；
a1  a 2  a 3
 

a 3  a1
b 2  2    ；
a1  a 2  a 3
 

a1  a 2
b 3  2   
a1  a 2  a 3
Bragg Law與X光繞射
2d  sin( )  n  


彈性散射 | k |  | k'|
X光繞射與倒置晶格及Brillouin zone
Ewald construction：由已知倒置晶格推測 x 光繞射的方向與波長
將入射光束 k 向量箭頭端點
指在任一倒置晶格點上(白點)，
並繪製一圓。
由k 向量起點(未必為倒置晶格點)
連至落在此圓周上的任意一個
晶格點向量就是散射光向量 k’。


 1   彈性散射 | k |  | k'|
'  
 1
k - k  G  k  G   | G |
2
2

Brillouin zone
2
ㄧ維晶格的x光繞射 電子能隙
  2
ㄧ維直線晶體： G  b 
iˆ
a


G

由Ewald construction知，
k n n
2
a
ㄧ維晶格發生 x 光繞射的條件為
x光電磁波 因週期晶格而造成 Bragg reflection…….一種「駐波」現象。
當週期晶格內的電子(物質波，波數 = k )符合 Bragg condition 時
也呈現「駐波」現象： 由 exp(+ikx) 和 exp(-ikx) 組合而成的駐波波函數。
()  exp(ikx)  exp(-ikx) 2cos(kx) 2cos( x/a)
(-)  exp(ikx) - exp(-ikx) 2i  sin(kx) 2i  sin( x/a)
駐波電子能量差距：
(-) - (+) = 能隙
Nearly free electron model 與 Bloch Theorem


G

能隙發生位置 k   n   n
2
a
若令 U(x) 2U  cos(2 x/a) 則 ....(設 a  1)
a
E g   U(x){| () |2 - |  (-) |2 }dx
0
a
1st Brillouin zone
 4 U  cos(2 x/a){cos2 ( x/a) - sin 2 ( x/a)}dx
0
 2U
Bloch Theorem： 週期性晶格位能中的波函數型態
 


k ( r )  exp(i k  r )  u k ( r )

Block functionu k ( r ) 擁有與晶格位能相同的週期
週期位能屏障—在正晶格的計算
 


將符合Bloch型態的波函數k (r)  exp(i k  r)  u k (r)
代入薛丁格方程式
2 d 2
[
 U(x) ]      
2
2m dx
2K 2
其中電子能量 
2m
再由 Bohn’s 邊界條件 可得
假設 P 
mab
3
(U 0   )  
2

2
| (P/Ka) sin(Ka) cos(Ka)|  | cos(ka)|  1
令 b0 位能高度 ∞
自由電子的情形(沒有晶格位能時)
 2k 2
 
2m

 2 (k  G) 2
 
2m
不是所有的k值(= n2/L)都可以。
但若某 k 值可以，則所有 k+G 也可以。
Simple cubic晶格內的自由電子能量
 沿 [100] 方向( kx)的變化。
週期位能屏障—在倒置晶格的計算-1
U (x)   UG  e iGx
 2 d 2 k
代入 
 U(x)  k    k 可得代數型態的Schrodinger Eq
2
2m dx
2 2
k
(
-  )Ck   UG  Ck -G  0
2m
G
G
 (x)   Ck  e ikx
k
再以只有兩個傅利業展開項的 U(x)  2U  cos(2 x/a)  U -g  e -igx  U  g  e  igx 為例，
其中 U -g  U  g  U、g  2/a。 代入上式，則可得係數C k 的聯立方程式，及   行列式  0。
若只取 近似的5  5 行列式  0，則
λ k -2g  ε
U
0
0
0
U
λ k -g  ε
U
0
0
0
U
λk  ε
U
0
0
0
U
λ k g  ε
U
0
0
0
U
λ k  2g  ε
2
2
 k
k 
2m
0
對某個電子的wavevector k，
此式可解出5個能量，亦即5
個能帶對應此 k 的能量。
若考慮Brillouin zone邊界( k  g/2  /a)
則由2x2行列式，可得E g  2U。
λε U
0
U λε
週期位能屏障—在倒置晶格的計算-2
ㄧ維直線晶格的能帶圖示
Extended
Brillouin zone scheme
Reduced
Brillouin zone scheme
Periodic
Brillouin zone scheme
Kittel Fig. 9-4
絕緣體與導體
絕緣體
導體
導體
導體、半導體、絕緣體
自由電子密度：
絕緣體 (10個/cm3 )  半導體  導體(1022 個/cm3 )
室溫下 Ge( 1013 個/cm3 )
Si ( 1010 個/cm3 )
純矽晶體
以”自由電子”看待晶體中電子的行為


 

晶體內電子是一個以 k0 為中心分佈的波包，其群速度 v g   k   k

 
 
外加電場力量對此電子做功的功率= F  v g  -e  E  v g


 k  非自由電子，
   k 
 F

F
所以，
t

t
卻擁有相同型態的關係式!
若外加(電場+磁場)的影響，則


 
F -e E - e  vg  B

dk
eE e 
或
 - - 2 ( k )  B
dt
 
至於晶體對其內「非自由電子」的影響就反映在   k 的dispersion關係中。


2  2
2
2 
 2  2  2   k ( r )   k  k ( r )
自由電子型態的 Schrodinger Eq：2m  x y z 
晶體中電子的自由電子行為--量子力學推導
週期a的一維晶體中之位移 operator T的定義：
T作用到此晶體中Bloch波函數，可得：
T f (x)  f (x  a)
T k (x)  exp(ika) k (x)
dT i
  [H ，T] 
而且 T 符合量子力學關係式：
dt

當無外力時，
H = H0
且 [H0，T] = 0
當有均勻外力時，H = H0 - Fx 且 [H， T] = FaT
dT i
i


[H
，
T]


Fa  T 
故，當有均勻外力時，
dt


但從 T k (x)  exp(ika) k (x)可知  T   exp(ika)
所以， 
dk
F
dt
k可代表單一k 值的Bloch波函數。
k 也可代表由許多k值的Bloch波函數線性組合而成；
但這些 k 值分屬不同能帶，且其在reduced Brillouin zone皆為相同的 k 值。
晶體中電子能量的分布--Fermi-Dirac Distribution
古典物理(Maxwell Distribution理論)無法解釋
1、金屬比熱與溫度關係  需用 Fermi-Dirac Distribution
2、金屬內自由電子的mean free path 可長達 1cm，不受週期晶格影響。
3、自由電子之間的碰撞不頻繁  Pauli exclusion principle。
free electron gas 佔據 E 能階的機率f(E)與溫度(T)關係
f (E) 
1
e
( E  ) / kB T
； 0  f (E)  1
1
晶體中電子能量的分布—Fermi energy & Density of states
以三維k-空間描繪 Free electron gas 在基態時(T = 0K)的能量分布

2
4
k  k x  iˆ  k y  ˆj  k z  kˆ； (k x、k y、k z )  0、 、 、......
L
L
每(2/L)^3體積內，對應一個不同大小或方向的量子化波數(或稱軌域)；
每個軌域可容 2 個電子。
3/ 2
V  2m 
能量   的電子總數目 N  3  2 
3   
4 k F3 / 3
2
N
3
(2/L)
 2 k 2F
 2  3 2 N 


Fermienergy  F 

2m
2m  V 
T  0 K的densityof state
3/ 2
dN
V  2m 
D( ) 
 2  2   1/2
(可令 V  1)
d 2   
T  0 K 的densityof state f ( , T )D( )
2/3
半導體分類
Elemental semiconductors如 Ge, Si……
不含雜質的純半導體 intrinsic semiconductor
含雜質的純半導體 extrinsic semiconductor
Compound semiconductors 複合半導體
如III-V semiconductor：GaAs，InP。
II-VI semiconductor：ZnS，CdS。
或再添加點alloy：
AlxGa(1-x)As，GaxIn(1-x)，AsyP(1-y)，
GaInNAs，GaInNAsSb。
比較矽與鍺的intrinsic conductivity
溫度越高 intrinsic conductivity越 ____?
同溫度下, 為何 Ge 比 Si 高?
矽與鍺的間接能隙energy gap
直接能隙
間接能隙
Ge: ～0.66 eV(T=300K) ; ～0.74 eV(T=0K)
Si : ～1.11 eV(T=300K) ; ～1.17 eV(T=0K)
各種半導體的能隙
溫度越高 Eg越小 (少數例外)
Ge的能帶計算結果
2
2
 k
導帶電子能量 E g 
2me
2k 2
價帶電洞能量 2mh
spin-orbit作用使得價帶上的
p1/2 能態與 p3/2 能態分裂開來。
p3/2 能態又對應兩種 hole 等效質量。
Kittel Fig.8-14
Intrinsic 矽晶體內自由電子與電洞
電子受熱激發至導帶
造成 intrinsic conductivity
電子與電洞--1
由energy band的對稱性，可知，填滿電子的能帶之總波數 = 0。
價帶的ke電子被激發至導帯後，導帯總波數(ke) + 價帶總波數(-ke) = 0。
將缺少一個電子的價帶看
成擁有波數(-ke)的電洞。
入射光的 k << /a
電洞的能帶：
h(kh) =  e(ke)

電洞速度 = 電子速度 
vg  (k )/
vh(kh) = ve(ke)
電子與電洞--2

  
d
k
e
電場E、磁場B對價帶(ke)電子 的影響：

 F  -e  (E  v e  B)
dt
  
對電洞而言： vh(kh) = ve(ke)、 kh = -ke
dk h 
 F  e  (E  v h  B)
所以，電場E、磁場B對價帶(kh)電洞 的影響： 
dt
因此，電洞 的電荷 > 0。
圖示電場E對價帶電洞的影響：
外加電場
在價帶(透過) 電洞
造成電流 jh
在導帶(透過) 激發電子造成電流 je
等效質量
2
2
 k
導帶電子能量 E g 
2me
2k 2
價帶電洞能量 2mh
2k 2
1
d 2
  2   - k曲線曲率
自由電子能量  
2m
m dk
量子物理推導
1 d
由 vg 
可知
 dk
dv g 1 d 2 d k  1 d 2 
 1 

  2 2   F   *   F
2
dt  dk d t   dk 
m 
當zone boundary處的 Eg << 自由電子能量，
其導帶和價帶的曲率越大  等效質量越小。
導帶底部電子等效質量 > 0
價帶頂部電子等效質量 < 0
價帶頂部電洞等效質量 > 0
等效質量的物理詮釋
ik x
晶格內電子波函數 k (x)  Ck  e
 Ck G  ei(k -G)x
自由電子項
晶格Bragg 反射項
等效質量的測量
eB
共振吸收頻率  
m*
Heavy hole
Light hole
導帶電子與價帶電洞的密度(n、p)--1
 2k 2
由 (1)導帶電子能量   E c 
2me
3/ 2
１  2me 
1/2
(2)能量  的電子 densit y of st at e D e ( ) 
(

E
)


c
2 2   2 
1
(3)電子佔據  軌域的機率 f e ( )  (   ) / k B T
 e (   ) / k B T (假設     k B T )
e
1

3/2
m k T
可得導帶的電子電荷密度n   D e ( ) f e ( )d  2   e B2  exp[( - E c )/k BT ]
 2 
Ec
同理可得，溫度T 時，價帶的電洞電荷密度
-E v
3/2
-E v
m k T
p   D h ( ) f h ( )d   D h ( )[1- f e ( )]d  2   h B2  exp[(EV -  )/k BT ]
 2 
-
-
3
 k BT 
3/2
顯然，溫度T的平衡狀態下，n  p  4  
(m
m
)
exp(-Eg /k BT )  常數。

e
h
2
 2 
3/2
k T
對intrinsic半導體，n  p  2 B 2  (me m h ) 4/3 exp(-Eg /2kBT。
)
 2 
導帶電子與價帶電洞的密度(n、p)--2
推導 np=常數的過程中只要求 |Ec(v) - | >> kBT，但未要求半導體為intrinsic。
即使是有dope雜質的半導體(extrinsic)，也符合 np=常數。
2.10 1019 cm-6 for Si
產生(黑體)輻射

26
-6
np  2.89 10 cm for Ge at T  300K
6.55 1012 cm-6 for GaAs

np=常數的物理圖像：
電子電洞複合，
複合速率=B(T)np
電子電洞產生，
產生速率=A(T)
dn/dt = dp/dt = A(T) – B(T)np。 若將半導體想像成處於溫度T的黑體輻射平衡態
則 dn/dt = dp/dt = 0 ，亦即 np = 常數。
 mh
1
3
對於intrinsic半導體(n  p)，可證明  E g  k BT ln
2
4
 me
所以，當m h  m e 時， 就落在能隙帶的中間。



導帶電子與價帶電洞的mobility




由 J  n  q  v    E 知   n  q | v | / | E |  n  q  mobility。
半導體的導電係數   e  n 電子mobility p 電洞mobility
室溫下
晶體
電子mobility
(cm2/Vsec)
電洞mobility
(cm2/Vsec)
鑽石
1800
1200
矽Si
1350
480
Ge
3600
1800
GaAs
8000
300
SiC
100
15
InAs
30000
450
電洞 mobility < 電子mobility。
能隙 Eg 越小  導帯電子的等效質量越小  電子mobility 越大。
Extrinsic 矽晶體內自由電子與電洞………摻雜比例 < 百萬分之一
N型半導體
摻雜五價donor(施體)原子
,如砷As,銻Sb,…
P型半導體
摻雜三價acceptor(受體)原子
,如硼B,鎵Ga,…
雜質的游離能
4
e
me
 5 meVin Ge
 13.6 m e 
氫原子模型的估計
Ed 
 2
 eV  
2
(考慮基態的Ed)
2(4 0 )
  m
20 meVin Si
0.1m in Ge
15.8 in Ge
電子等效質量m e  
； 介電係數   
0.2m in Si
11.7 in Si
Ed 、Ea 實驗觀測值
Donor游離能
(meV)
Acceptor游離能
(meV)
雜質
Si
Ge
雜質
Si
Ge
P
45
12
B
45
12
As
49
12.7
Al
49
12.7
Sb
39
9.6
Ga
39
9.6
室溫下 Ed (或 Ea )  kBT，所以，室溫下的游離機率就不低。
雜質的熱激發游離
經由donor雜質游離產生導帯電子的所需能量 << 價帶電子直接激發至導帯所需能量。
但若溫度太低，也無法經雜質的熱游離激發而產生導電電子。
但當溫度上升至某個 臨界溫度以上時，就會立即產生導電電子。
實驗結果顯示，溫度超過～200K會引致高純度Ge 內雜質的熱游離激發。
實驗上intrinsic semiconductor Ge 的P(磷)雜質含量可降至～ ppb/c.c.。
低溫(kBT << Ed)，且只有donor、
無acceptor時，導電電子密度 n 為
m k T 
n  N d  2 e B2 
 2 
3/ 2
 E 
 exp - d 
 2k B T 
估計臨界溫度：
由 kBT ～Ed ～10 meV 及kBTroom ～1/40(eV)
可知
1000/T 1000 k B /E d  1000/(40 Troom  E d )
1000

8
-3
40  300 10x10
Kittel Fig. 8-21
p-n結 (p-n junction 二極體)
二極體(電流電壓)整流特性
二極體光電特性
圖片來自 中興物理 孫允武教授
半導體的表面能級
熱平衡時：E F (bulk)  E F (surface)
圖片編輯自prof. H. Föll
p型、n型半導體的接觸
圖片編輯自prof. H. Föll
pn半導體接觸面的電流移動--1
未加偏壓
在熱平衡下，J pg (0) J pr (0)  0
在熱平衡下，J ng (0) J nr (0)  0
圖片編輯自prof. H. Föll
沒有電流
pn半導體接觸面的電流移動--2
施加正向偏壓
坡度下降
J正向(V)  J正向(0) exp(e | V | /k BT)
J逆向 (V)  J逆向 (0)
圖片編輯自prof. H. Föll
pn半導體接觸面的電流移動--3
施加逆向偏壓
坡度變大
J正向 (V)  J正向 (0) exp(-e | V | /k BT )
J逆向 (V)  J逆向 (0)
圖片編輯自prof. H. Föll
二極體的整流效應
I  Is [exp(eV/k BT)- 1]
未加偏壓之二極體(圖像描述)
電洞(p)電子(n)的空間分布變化
二極體任何區域皆符合：np =常數。 此處僅以電子的擴散流動為例。
同樣分析亦適用於電洞的擴散流動。
加上偏壓之二極體(圖像描述)
沒有電流
J ng (正向V)  J ng (0)
J nr (正向V)  J nr (0) exp(e | V | /k BT )
J ng (逆向V)  J ng (0)
J nr (逆向V)  J nr (0) exp(-e| V | /k B T )
二極體的光電池(solar cell)效應(圖像描述)
沒有電流
有電流