Transcript Розанов Н.Н DopGlavMatFiz1
Дополнительные главы математической физики
Николай Николаевич Розанов НИУ ИТМО, 2012
•
Предмет и основные задачи математической физики и математического моделирования
(в широком смысле слова) Альтернатива экспериментальному моделированию Гибкость: Возможность включения или выключения из математической модели различных факторов. • Рост производительности компьютеров.
Что мы моделируем: физические эффекты (цель - понимание или предсказание процесса, выяснение основных свойств и зависимостей) техническое устройство (цель - оптимизация параметров)
Классификация моделей мат. физики
• • • • • Детерминированные или стохастические . Сосредоточенные или распределённые (сосредоточенность как предел распределенности). Дискретные или непрерывные (то же).
Динамические (эволюционные) или неэволюционные (краевые) . Устойчивость.
Линейные или нелинейные модели параметру?).
(по какому
Прямые и обратные задачи мат. моделирования
• •
Примеры
Расчет траектории частицы с известной массой в известных условиях (задача баллистики) Расчет массы частицы по известной траектории (масс-спектрограф).
Аналитическое и численное моделирование
Математическая физика
в узком смысле слова Теория и методы решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (а также родственных интегральных, интегродифференциальных и др.)
Функции комплексного переменного
М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного.
Комплексные величины
2 1
x
y
Im
z y x
2
y
2 0
y
0
z x z
exp(
i
) tg exp(
i
)
z
cos (cos
i
i
sin 0 2
n
,
x
x
n y
sin Arg
z
Равенство комплексных величин означает равенство их вещественных и мнимых частей
Комплексное сопряжение
(
z
1
z
2 )*
z
1 *
z
2 * ,
z
*
iy
(
z z
1 2 )*
i
* *
z z
1 2 ,
i
?
z
2 * (
z
1 /
z
2 )*
z
1 * /
z
2 * ,...
Если алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами
a z n n
a n
1
z n
1
a z
1
a
0 0 имеет корень
a z n n
z
1
a n
1
z n
1
iy
, то оно имеет и корень
z
2
z
1 *
a z
1
a
0
n
z
1 )(
z
z
2 )...(
z
z n
)
iy
.
Алгебра комплексных величин
z
1
z
z
2
z z
1 2 1 /
z z
1 /
z
2
z n
,
n
0,1, 2,...
z
1/2
z z
1/
n
n z
,
n
2, 3, 4,...
Формула Эйлера
e i
cos
i
sin
Задача: выразить cos5 sin 5 sin (
e i
) 5
e i
5 cos5
i
sin 5 (
e i
) 5 (cos
i
5 cos 5
i
5cos 4 sin 10 cos 3 sin 2
i
10 cos 2 sin 3 4
i
sin 5 (бином Ньютона*). Сравнивая вещественные и мнимые части cos5 sin 5 cos 5 10cos 3 sin 2 4 sin 5 10cos 2 sin 3 5cos 4 sin *) (
a
b
)
n
a n
n
1!
a n
1
b
1)
a n
2
b
2 2!
1)...(
n k
!
1)
a b k b n
Домашнее задание-1
1. Записать в тригонометрической и показательной форме комплексные числа: 1 + i, 1 - i, -1, 3i.
z
известен один из его корней 2 – i.
6
z
11
z
2
z
10 0 4. Выразить cos 3 (1
i
16 ) ; 1 2
i
2 3 9 .
Функции комплексного переменного
Область определения функции -
область D на комплексной плоскости (множество), если: 1. вместе с каждой точкой из D этому множеству принадлежит и круг достаточно малого радиуса с центром в этой точке; 2. любые две точки D можно соединить ломанной, состоящей из точек D.
Граничная точка области D : не принадлежит D , но в любой ее окрестности лежат точки этой области. Совокупность граничных точек – граница области. Область D с присоединенной границей – замкнутая область
D
.
Разрезы, точки, односвязные и многосвязные области
Положительное направление обхода границы – область остается слева
Функции комплексного переменного
w
z u
iy
,
w v
iv
Сейчас рассматриваем случай взаимно однозначного (однолистного) отображения Предел (независимо от способа приближения к точке) lim
z
z
0 lim
x
,
x
0
i
lim
x
,
x
0 Непрерывность функции в точке lim
z
z
0
f z
0 Непрерывность функции в области
Производная функции
(однозначной)
z
( ) lim
h
0
iy
,
h
)
h
Условия существования производной (условия Даламбера-Эйлера, или Коши-Римана)
u x
v y
,
u y
v x
Вывод: независимость предела от способа приближения к нему 1. h = dx; 2. h = idy. … Обычные правила дифференцирования.
Функция f(z), дифференцируемая в каждой точке области D, называется аналитической (или регулярной, или моногенной) в этой области.
Сопряженные гармонические функции
u
и
v
Если задана одна из этих функций, то другая определяется с точностью до постоянной.
Доказательство от противного. Пусть заданной функции v(x,y) условий Даламбера-Эйлера (Коши-Римана)
x
(
u
1
u
2 ) 0,
y
(
u
1
u
2 ) 0
Уравнение Лапласа
Из условий Даламбера-Эйлера
u
x
v
y
,
u
y
v
x
вывести уравнения для 1) u и 2) для v (гармонические функции).
1.
2.
Элементарные функции Степенная функция
w
z n
,
n
1, 2,3,...
Область определения ?
Однозначность ?
Производная ?
Аналитичность ?
w
n z
z
1/
n
,
n
2, 3,...
(обратная функция) n ветвей z = 0 – точка ветвления разрезы Решить уравнение:
z n
1
Элементарные функции.
Показательная функция
Область определения ?
Однозначность ?
Производная ?
Аналитичность ?
exp
z
exp(
x
iy
)
y
i
Периодичность: exp(
z
2
ki
) exp(2
ki
) 1
k
Элементарные функции.
Логарифмическая функция
w
ln
z
1 ln ln
z z
2
z
1 | |,
z
2 exp
w
ln(
z z
1 2 )
i
arg
z
z
ln
z
1
z
Область определения ?
Однозначность ?
Производная ?
Аналитичность ?
i
arg
z
(
для всех ветвей
) Бесконечнозначная функция z = 0 – точка ветвления
Элементарные функции.
Тригонометрические и гиперболические функции
cos
z
cos ch
z
z
Обратные функции
z
2 exp(
iz
) ?
exp(
z
) , 2 , sin
z
sh
z
2 exp(
iz
) tg
z
sin
z
cos
z
, 2
i
ctg
z
cos
z
sin
z
exp(
z
)
w
arccos
z
cos
w w
arccos
z
i
ln(
z
z
2 1)
Общая степенная функция
w
z a
,
z a
a z
exp(
i
2
ki
) ln
z
ln
i
( 2
k
)
z a
e
( 2
k
) 2
k
) |
z a
|
e
arg
z a
), 2
k
Модуль – бесконечнозначная функция.
При иррациональных a аргумент – бесконечнозначная функция
Домашнее задание-2
1. Найти логарифмы чисел: -1; -i; 1 + i.
2. Найти все значения 3 1; 6 1.
3. Решить уравнение cos 4; sin 5.
4. Для f(z) = u(x,y) +iv(x,y) заданы
x
2
y
2 , Найти v(x,y).
f
(0) 0.
z
Интегрирование функций комплексного переменного
iy
,
f iv
,
C
C
C
(
udx
vdy
)
i C
(
udy
vdx
)
C
C
Обобщаются обычные свойства криволинейных интегралов: { ( )
C
1
C
2
C
1
C
C
2
C
a,b – компл. постоянные - кривая, состоящая из С 1 и С 2
C
противоположные направления обхода кривой
Теорема Коши
Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то для всех кривых С, лежащих в этой области и имеющих общие концы, интеграл имеет одно и то же значение.
(условия аналитичности Даламбера-Эйлера совпадают с условиями независимости от пути криволинейного интеграла) Другая формулировка Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то ее интеграл вдоль любого замкнутого контура С, лежащего в D, равен нулю:
C
0.
Первообразная
Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл
z
0
z
f d
рассматриваемый как функция своего верхнего предела, также является аналитической в D функцией, причем по определению производной
d dz z
z
0
f
Первообразная F в односвязной области определяется с точностью до постоянной.
Определенный интеграл
z
0
z
f
F z
0
Пример:
Многосвязные области
1
z y
Особая точка – z = 0 (полюс)
C
dz z
?
z
exp(
i
)
dz
i
exp(
i d
0 2 0
C C
dz z
2 0
i d
2
i
0 C – окружность единичного радиуса с центром в начале координат 1
x
Интеграл при многосвязной области
a b
C k
циклические постоянные
С
0 – простая кривая (без самопересечений)
a b
C
a b
C
0
N
1 1
N
2 2 ...
N n
n N k
– целые числа, указывающие, сколько раз и в каком направлении проходится
1
z
dz
2
i z
Пример
1
z
C dz z
1
z
C
0
dz z
2 ln
z z z
1 2 ln
z
2
C
*
Разрезы
После введения разрезов область становится односвязной. Для аналитической функции f(z)
C
0
k n
1
C k
0
Формула Коши
1 2
i C
f
d
z
Значение аналитической функции в любой точке вычисляется через значения этой функции на границе области.
Функция f(z) аналитична в n-связной области D.
Граница области C проходится так, что область D все время остается слева.
Доказательство: Из области D выбрасывается кружок радиуса r с центром в точке z и используется формула с предыдущего слайда.
Частный случай: Кривая С – окружность | 1 2 0 2
R
exp(
i
z R
z R
exp(
i
) - теорема о среднем
Принцип максимума
Если функция f(z), не равная тождественно постоянной, не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области D.
Если функция f(z) не постоянна, аналитична в области D, модуля этой функции | f(z)| не может достигаться внутри D.
Краевые задачи. Гармонические функции
Уравнение Лапласа 2
u
x
2 2
u
y
2 0 Следствие условий дифференцируемости Даламбера-Эйлера
u x
v
y
,
u
y
v
x z iy
, Сопряженные функции в односвязной области D
z
0
z
u
y dx
u
x dy
const
Особая точка функции (полюс)
Для однозначной гармонической функции u(z): Если u(z) стремится к бесконечности при
z
a
, то в окрестности точки а она может быть представлена в виде
k
ln |
z
a
|
U z
где k = const и U(z) - гармоническая в точке а функция (полюс).
Задача Дирихле
D
границе D принимает заданные непрерывные значения
u
Решение задачи Дирихле для области D в виде круга единичного радиуса 1 2 2 0
it
) 1
t r
2 )
r
2
dt
,
z
re it
.
Для полуплоскости 1
y
( ) (
t
x
) 2
y
2
dt
К задаче Дирихле сводится и задача Неймана (на границе задана нормальная производная)
Ряды
Ряд Тейлора
n
0
f n
!
(
z
a
)
n
Функция f(z) представима своим рядом Тейлора в любом открытом круге с центром в точке a, в котором она аналитична. Ряд Тейлора сходится во всякой замкнутой области, принадлежащей этому кругу.
exp
z
sin
z
cos
z
sh
z
ch
z
z z
2 2!
z
3!
3 ...
ln(1
z
) (1
z
)
a z
2 2
az
z
3 ...
3 1)
z
2 2!
1)(
a
2)
z
3 ...
3!
Сходимость при |z|<1 (исключение – натуральное а) Сходимость при любом z
Степенные ряды
n
0
n
a
)
n
Ряд сходится в круге радиуса R 1
R
l im
n
n
|
c n
| (верхний предел) Сравнение с рядом Тейлора
c n
f n
!
Теорема единственности
1. Нули аналитической функции изолированы.
2. Если функции f(z) и g(z) аналитичны в области D и их значения совпадают на некоторой последовательности точек, сходящейся к внутренней точке области D, то всюду в D эти функции совпадают: f(z) = g(z).
Ряд Лорана
Для представления функций, аналитических в кольцевых областях, например, r < |z – a| < R
n
n
a
)
n c n
1 2
i C
(
f
a
)
n
1 C – окружность |z – a| = ρ радиуса r < ρ < R Главная часть ряда Лорана:
n
1
c
n
(
z
a
)
n
Применения рядов
Специальные функции
Функция вероятности
erf
z
2
z
0
e
2
d
erf
z
erf ( 2
k
0
k k
! 2
z
2
k
1
k
1 2 0
e
2
d
?
cходится при всех конечных z
z
- существенно особая точка
Интегральный синус
si
z
0
z
sin
k
0 2
k
k
1 (2
z
2
k
1
k
1)!
Особые точки однозначной функции
Изолированные особые точки Устранимая особая точка: конечный предел lim
z
a
Разложение в ряд Лорана в окрестности точки а не содержит главной части.
Полюс: предел lim
z
a
Главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов.
lim В окрестности этой точки функция принимает любое значение.
Полюс n-го порядка функции f(z) – это нуль n-го порядка функции 1/f(z); число членов в главной части разложения Лорана равно порядку полюса.
Для существенно особой точки – бесконечное число членов в главной части.
Примеры
sin
z z e z
2 1
1
e z
1 1
z z
2 3!
z
4 5!
...
1 1 2!
z
2
...
05.09.2012
Целые и дробные аналитические функции
Целые (голоморфные) функции – не имеют особых точек. Пример: f(z) = exp(z).
Дробные (мероморфные) функции – не имеет других особенностей, кроме полюсов.
Пример: (
z a
)
n
, n – целое число.
Аналитическое продолжение функции. Пример: 1 1
z z z
2 ...
Сходимость – круг |z|< 1
Интеграл
C
(
z
n
,
n
2,...
C a C a C
Прямое вычисление (а не по теореме Коши) (
z
)
n a dz
(
n
1) (
n
1) C – окружность |z – a| = ρ радиуса ρ
n i
1
n
1 2 0
e
1
i
2 0
d
e
1) 2
i
1)
d
2 0 0
z
e i
,
dz
i
Ряд Лорана
Вычеты
n
n
a
)
n c n
1 2
i C
(
f
d a
)
n
1 Вычет функции f(z) в изолированной особой точке a
c
1 1 2
i C
f
, где С – достаточно малая окружность |z – a| = r . residu Выделенность n = - 1:
C
n
n
n
n
c n C
(
z
n
c
1 2
i
Для полюсов первого порядка lim
z
a
{(
z
Теорема о вычетах
Если функция f(z) непрерывна на границе С области D и аналитична внутри этой области всюду, за исключением существенно особые точки), то
C
2
i k n
1
k
).
Вычисление интеграла сводится к нахождению локальных величин. Это следствие теоремы Коши:
C
k n
1
C k
2
i k n
1
k
).
Вычисление вычета для полюса 1-го порядка
, 0, ( ) 0, 0 Функции g(z) и h(z) регулярны в точке а. Функция f(z) имеет в точке а простой полюс.
Разлагаем функции g(z) и h(z) в ряды Тейлора в окрестности точки а:
a
( )( 1 2!
a
a
) 2 ...
lim
z
a
{(
z
( )
Вычет n-го порядка
Если
z
0 – полюс n-го порядка функции f(z), то
f z
0 (
n
1 1)!
lim
z
z
0
d n
1
dz n
1
z
0
n
) ] Задача: найти вычеты функций :
z
3 sin
z
4 2
z
2 ,
e z
(
z
2)(
z
1) 3 ,
z
3 sin 1
z
2 .
Домашнее задание 3
Найти вычеты в особых точках функций
z
2 tg
z
4
z
, 3 (
z
3) ,
e z
1 4
e
z
sin 2 .
z
,
Вычисление интегралов по теории вычетов-1
Пример: вычислить интеграл
z e z
2 1
z dz
Теорема о вычетах:
C
2
i k n
1
k
).
Особые точки?
Вычеты в них?
Интеграл от рациональной дроби
m n dx
2
i k n
1
k
)
n
2 Вычеты подынтегральной функции во всех полюсах в верхней полуплоскости Если f(z) непрерывна в окрестности бесконечно далекой точки и ( ) |z| = R стремится к 0 при
R
0 ( ( 1
dz z
max | ( 1
R s
( ( ) | 0 Пример: 0
x
2
x
4 1 1
dx
Вычисление интегралов по теории вычетов
Лемма Жордана: Если на некоторой последовательности дуг окружностей
C n
R n
, Im
z
n
функция g(z) стремится к нулю равномерно относительно arg z, то для любого положительного числа λ lim
n
C n
0 (для вычисления интегралов с бесконечными пределами)
Примеры вычисления интегралов
I
0 cos
x dx x
2
a
2
z
2
e iz
a
2 Простые полюса: z = ai, z = -ai Вычет в полюсе z = ai:
I
0 sin
x dx x
Окончить – это домашнее задание 4
e iz z
Вычисление интегралов
I
sin
x dx x
0
r
R
R r
c r C r
0
e iz z
lim
R
C r
0 На полуокружности с
r
(по лемме Жордана) (
r
0)
z
re i
,
dz
i
ire d
,
c r dz z
0
i
re id
re i
i
1
z
Окончание
r
R e ix dx x
r R
e ix dx x
i
r
R e ix dx x
(
x
x
)
r R
e
ix dx x
O
1 ( )
R R r
e ix
x e
ix dx
i
O
1 ( )
R
si 0 sin
x x dx
2
Интегралы Френеля
y
0 (2) / 4 (1)
R
(3)
x I
(1)
I c
0 cos
I
R
0
e
x
2
dx
,
I s
0 sin
l
e
z
2
dz
?
0
e
x
2
dx
(3) 2 (2)
z
re i
/4 ,
dz
e i
/4
dr
,
z
2 2
r e i
/2
ir
2
z
Re i
,
I
(2) 0 li m
R
I
3 0
e i
/4 0
R
e
ir
2
dr
/ 4,
dz
2 2
i i
iRe d
, 2 2
R
0
e
ix
2
dx z
2 2 2
R e i
0 cos 0 sin
x
2
dx
1 2 2
Вычисление интеграла
e
z
1
e z C I
e
x
1
e x y dx
, 2 0
B
1 (?) Простой полюс
z
i
) (1
e
z
e z
)
D -R
e i
e i
e i
0
DA
AB
BC
CD R A
2
ie
i x
DA
:
CD
: Продолжение
z
x
,
dz
dx
,
AB
:
e
z
1
e z
AB z
e
( 1
e
) ,
x dz R
,
idy
,
R
, 0
y DA
e e
R R
1 2 0
e e
R R
1
dy
2
e
R e R
1 0
R
R
R e
x
1
e x при R
dx
CD BC
:
BC
2
e
R
1
e
R
0
z при R
dz
dx
,
x R
,
R
R
1
e
(
x
2
i
)
e x
2
i dx
e
2
i
R
R e
x
1
e x dx R
Окончание
R
BC
I
e
x
1
e x
e
2
i I
R R
1
e
(
x
2
i
)
e x
2
i
2
i
e
x
1
e x
2
ie
i I
2
ie
i e
2
i
1 sin
dx
e
2
i dx
R R
1 2
ie
i e
x e x dx
2 0
F
Интегрирование функций от тригонометрических функций
F – рациональная функция своих переменных
z
e ix
, cos
x
z
2
z
1 , sin
x
z
z
1 , 2
i dx
1
iz dz
Интеграл по единичной окружности С (|z| = 1) равен 2πi x сумму вычетов подынтегральной функции относительно полюсов внутри единичной окружности
Пример
I
2 0 1
dx
cos
x
, 0 Полюса
I
z
2
C
iz
1
dz z
2
z
1 2
z
0 Полюс внутри С
z
0 1 1 2 Вычет res 2
z
0 1 2 2 1 2
i
2
C
z
2 ,
dz
2
z
z
0 0
I
2
i i
1 2 1 2 2 1 2 1 (?)
Интеграл от многозначных функций
Главное значение особого интеграла (пример)
I
0
x a
1 1
x dx
, 0
z a
1 1
z
1 (?)
e
(
a
1) ln
z
1
z
На нижнем берегу разреза вдоль положительной полуоси 2
i
)
e
2 (?)
c r e
2 ) 1
r
r r
0, 1
R
r R
r
r
C R
0
Окончание
r
: 1
r
: 1
re i
,
c r
0, ,
C R
0
dz
ire d
dz
ire d
re i
,
меняется от
до
z a
1
r
r
i
(1
e
2 ) (1
e
2 )
I
i
(1
e
2 ) 0
I
ctg
a
Домашнее задание.
Вычислить интегралы
z
2 sin 1
dz z
1
x m x
2
n
0
2 0
x
3 1 sin
x x
2
dx
1 2
dx dx
, cos
x
Асимптотические разложения
c
0 (ср. с рядом Лорана)
c z
1
c
2
z
2
c
3
z
3
c n z n
...,
z
Разность между функцией f(z) и частной суммой
s n
относительно последнего члена частной суммы
k n
0
c k z k
lim
z
lim
z
z n
k n
0
c k z k
0,
n
0, 1, 2,...
Определение коэффициентов (однозначное)
c
0 ]
c
0 lim
z
lim
z
s
1 ] lim
z
0
c
1 ]
z c
1 lim
z
c
0 ], ...
c n
lim
z
z n
s n
1
Асимптотические разложения-2
Один и тот же ряд может служить асимптотическим разложением различающихся функций Задача: найти асимптотическое разложение функции
e
x
,
x
Асимптотические разложения можно почленно складывать, перемножать и интегрировать, но нельзя, в общем случае, дифференцировать. Пример:
e
x
sin
e x
,
x
(
e
x
sin
e x
)
e
x
sin
e x
cos
e x
Асимптотические разложения-3
x
t
1
e
Задача: найти асимптотическое разложение функции (связана со специальной функцией – интегральной показательной функцией)
x
t
1
e dt
t
1
e
x
x
t
1
e
x
1
t
2
e dt
,
dt x
x
x
1
t
2
e dt
Интегрирование по частям,
u
t
1 , Повторяем интегрирование по частям
dv
e dt
,
v
e dt x
1
x
2 2!
x
3
n
1 (
n
1)!
x n n n
!
x
1
t n
1
e dt
.
Асимптотические разложения-4
Оценка интеграла (тоже интегрирование по частям)
x
1
t n
1
e dt
1
x n
1 1)
x
1
t n
2
e dt
1
x n
1
x n
n
n
!
x
x
t
1
e dt
~ 1
x
1
x
2 2!
x
3
n n
!
x n
1 ...
Сходимость ряда?
lim
n
u n
1
u n
lim
n
n
x
при любом фиксированном x, так что ряд расходится.
Гамма-функция (Эйлера)
- аналитическая функция z при Re z > 0 0
t z e t
1
dt
Г(1) = ?
Г(n) = ?
Указание: Г(z + 1) = z Г(z) (интегрирование по частям) (
n
1)!
1 2 ) 2
n
(2
n
1)!!
Асимптотические оценки интегралов
Упрощенный вариант: – большой параметр
F
F
0
a
t
(
c
0
t
dt
,
c t
0
a
0, 0
c t
0
n
...), 1
n
0
c n
1
n
1 ряд сходится. Тогда Основной вклад в интеграл от окрестности
t
0 (почленно интегрируем. Верхний предел заменяем на бесконечность)
Метод Лапласа
F
a b
dt
– большой параметр, функция f(t) имеет на отрезке (a,b) один резко выраженный максимум при
t
t
0 В окрестности максимума функции f(t)
f t
0
a t
2
t
0 ) 2
n
t
0 )
n
...,
a
2 0
f t
0 2 ,
t
F
a b
0 ) 2
a
3 (
t t
0 ( )
n
0
c n
n dt
~
e
f t
0
n
0
c
2
n n
2 2
n n
!
Асимптотика гамма-функции
1) 0
1 0
e
d
1 0
e
)
d
1,
f
c
0 (1) 1) 2 /
f
(1) 2 2 [1
O
0
e
1 ] Максимум f: f(1) = 0
d
[ 2
O
] - формула Стирлинга Задание: оценить 100!
R
Соотношения Крамерса-Кронига
r
0 Диэлектрическая проницаемость
D
i
E
Диэлектрическая проницаемость вакуума 1 Для любых сред 1 Формула Коши
C
z
1
dz
0
x
dx
, Аналитичность в верхней полуплоскости комплексной частоты
c r
z
dz
i
1
x
dx