Дополнительные главы математической физики

Николай Николаевич Розанов НИУ ИТМО, 2012

•

Предмет и основные задачи математической физики и математического моделирования

(в широком смысле слова) Альтернатива экспериментальному моделированию Гибкость: Возможность включения или выключения из математической модели различных факторов. • Рост производительности компьютеров.

Что мы моделируем: физические эффекты (цель - понимание или предсказание процесса, выяснение основных свойств и зависимостей) техническое устройство (цель - оптимизация параметров)

Классификация моделей мат. физики

• • • • • Детерминированные или стохастические . Сосредоточенные или распределённые (сосредоточенность как предел распределенности). Дискретные или непрерывные (то же).

Динамические (эволюционные) или неэволюционные (краевые) . Устойчивость.

Линейные или нелинейные модели параметру?).

(по какому

Прямые и обратные задачи мат. моделирования

• •

Примеры

Расчет траектории частицы с известной массой в известных условиях (задача баллистики) Расчет массы частицы по известной траектории (масс-спектрограф).

Аналитическое и численное моделирование

Математическая физика

в узком смысле слова Теория и методы решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (а также родственных интегральных, интегродифференциальных и др.)

Функции комплексного переменного

М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного.

Комплексные величины

2   1

x



y

 Im

z y x

2 

y

2  0

y

0

z x z

  exp(

i

 ) tg   exp(

i

 )

z

  cos   (cos  

i



i

sin    0  2 

n

,

x

 

x



n y

  sin   Arg

z

Равенство комплексных величин означает равенство их вещественных и мнимых частей

Комплексное сопряжение

(

z

1 

z

2 )* 

z

1 * 

z

2 * ,

z

*

iy

(

z z

1 2 )*

i

 * *

z z

1 2 ,  

i

 ?

z

2 * (

z

1 /

z

2 )* 

z

1 * /

z

2 * ,...

Если алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами

a z n n



a n

 1

z n

 1

a z

1 

a

0  0 имеет корень

a z n n



z

1

a n

 1

z n

 1

iy

, то оно имеет и корень

z

2 

z

1 *

a z

1 

a

0 

n



z

1 )(

z



z

2 )...(

z



z n

)

iy

.

Алгебра комплексных величин

z

1 

z



z

2

z z

1 2 1 /

z z

1 /

z

2

z n

,

n

 0,1, 2,...

z

1/2 

z z

1/

n



n z

,

n

 2, 3, 4,...

Формула Эйлера

e i

  cos





i

sin



Задача: выразить cos5  sin 5   sin  (

e i

 ) 5 

e i

5   cos5  

i

sin 5  (

e i

 ) 5  (cos  

i

5  cos 5  

i

5cos 4  sin    10 cos 3  sin 2  

i

10 cos 2  sin 3   4  

i

sin 5  (бином Ньютона*). Сравнивая вещественные и мнимые части cos5  sin 5   cos 5   10cos 3  sin 2   4  sin 5   10cos 2  sin 3   5cos 4  sin   *) (

a



b

)

n



a n



n

1!

a n

 1

b

  1)

a n

 2

b

2 2!

 1)...(

n k

!

1)

a b k b n

Домашнее задание-1

1. Записать в тригонометрической и показательной форме комплексные числа: 1 + i, 1 - i, -1, 3i.

z

известен один из его корней 2 – i.

 6

z

 11

z

 2

z

 10  0 4. Выразить cos 3    (1 

i

16 ) ;    1 2 

i

2 3    9 .



Функции комплексного переменного

Область определения функции -

область D на комплексной плоскости (множество), если: 1. вместе с каждой точкой из D этому множеству принадлежит и круг достаточно малого радиуса с центром в этой точке; 2. любые две точки D можно соединить ломанной, состоящей из точек D.

Граничная точка области D : не принадлежит D , но в любой ее окрестности лежат точки этой области. Совокупность граничных точек – граница области. Область D с присоединенной границей – замкнутая область

D

.

Разрезы, точки, односвязные и многосвязные области

Положительное направление обхода границы – область остается слева

Функции комплексного переменного

w

  

z u



iy

,

w v



iv

Сейчас рассматриваем случай взаимно однозначного (однолистного) отображения Предел (независимо от способа приближения к точке) lim

z



z

0  lim

x

 , 

x

0 

i

lim

x

 , 

x

0 Непрерывность функции в точке lim

z



z

0 

f z

0 Непрерывность функции в области

Производная функции

(однозначной)

z

 ( )  lim

h

 0

iy

,  

h

) 

h

 Условия существования производной (условия Даламбера-Эйлера, или Коши-Римана)  

u x

  

v y

,  

u y

   

v x

Вывод: независимость предела от способа приближения к нему 1. h = dx; 2. h = idy. … Обычные правила дифференцирования.

Функция f(z), дифференцируемая в каждой точке области D, называется аналитической (или регулярной, или моногенной) в этой области.

Сопряженные гармонические функции

u

и

v

Если задана одна из этих функций, то другая определяется с точностью до постоянной.

Доказательство от противного. Пусть заданной функции v(x,y) условий Даламбера-Эйлера (Коши-Римана)  

x

(

u

1 

u

2 )  0,  

y

(

u

1 

u

2 )  0

Уравнение Лапласа

Из условий Даламбера-Эйлера 

u



x

 

v



y

, 

u



y

  

v



x

вывести уравнения для 1) u и 2) для v (гармонические функции).

1.

2.

Элементарные функции Степенная функция

w



z n

,

n

 1, 2,3,...

Область определения ?

Однозначность ?

Производная ?

Аналитичность ?

w



n z



z

1/

n

,

n

 2, 3,...

(обратная функция) n ветвей z = 0 – точка ветвления разрезы Решить уравнение:

z n

 1

Элементарные функции.

Показательная функция

Область определения ?

Однозначность ?

Производная ?

Аналитичность ?

 exp

z

 exp(

x



iy

) 

y



i

Периодичность: exp(

z

 2 

ki

) exp(2 

ki

)  1 

k

Элементарные функции.

Логарифмическая функция

w

ln

z

1   ln ln

z z

2  

z

1  | |,

z

2 exp

w

  ln(

z z

1 2 )

i

arg

z



z

ln

z

   1

z

Область определения ?

Однозначность ?

Производная ?

Аналитичность ?



i

arg

z

(

для всех ветвей

) Бесконечнозначная функция z = 0 – точка ветвления

Элементарные функции.

Тригонометрические и гиперболические функции

cos

z

 cos ch

z



z

Обратные функции

z

 2 exp( 

iz

) ?

 exp( 

z

) , 2 , sin

z

 sh

z

 2  exp( 

iz

) tg

z

 sin

z

cos

z

, 2

i

ctg

z

 cos

z

sin

z

 exp( 

z

)

w

 arccos

z

cos

w w

 arccos

z



i

ln(

z



z

2  1)

Общая степенная функция

w



z a

,

z a



a z

  exp(

i

  2 

ki

)  ln

z

 ln  

i

(   2 

k

)

z a



e

( 2

k

)    2 

k

)  |

z a

| 

e

arg

z a

  ),  2  

k

Модуль – бесконечнозначная функция.

При иррациональных a аргумент – бесконечнозначная функция

Домашнее задание-2

1. Найти логарифмы чисел: -1; -i; 1 + i.

2. Найти все значения 3  1; 6 1.

3. Решить уравнение cos   4; sin   5.

4. Для f(z) = u(x,y) +iv(x,y) заданы

x

2 

y

2 , Найти v(x,y).

f

(0)  0.

z

Интегрирование функций комплексного переменного

iy

,

f iv

,

C



C





C



(

udx



vdy

) 

i C



(

udy



vdx

)

C



C

 Обобщаются обычные свойства криволинейных интегралов: { ( )

C

1  

C

2   

C

1 

C

  

C

2  

C

a,b – компл. постоянные - кривая, состоящая из С 1 и С 2  

C

  противоположные направления обхода кривой

Теорема Коши

Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то для всех кривых С, лежащих в этой области и имеющих общие концы, интеграл имеет одно и то же значение.

(условия аналитичности Даламбера-Эйлера совпадают с условиями независимости от пути криволинейного интеграла) Другая формулировка Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то ее интеграл вдоль любого замкнутого контура С, лежащего в D, равен нулю:

C



 0.

Первообразная

Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, то интеграл

z

0

z



f d

 рассматриваемый как функция своего верхнего предела, также является аналитической в D функцией, причем по определению производной  

d dz z



z

0

f

 Первообразная F в односвязной области определяется с точностью до постоянной.

Определенный интеграл

z

0

z



f

 

F z

0

Пример:

Многосвязные области

 1

z y

Особая точка – z = 0 (полюс)

C



dz z

 ?

z

 exp(

i

 )

dz



i

exp(

i d

0 2  0

C C



dz z

 2  0 

i d

  2 

i

 0 C – окружность единичного радиуса с центром в начале координат 1

x

Интеграл при многосвязной области

a b



C k

  циклические постоянные

С

0 – простая кривая (без самопересечений)

a b



C



a b



C

0

N

1 1

N

2    2 ...

N n



n N k

– целые числа, указывающие, сколько раз и в каком направлении проходится

 1

z

  

dz

 2 

i z

Пример

1

z



C dz z

 1

z



C

0

dz z

 2  ln

z z z

 1  2   ln

z

 2 

C

* 

Разрезы

 После введения разрезов область становится односвязной. Для аналитической функции f(z)

C

0  

k n

  1 

C k

 0

Формула Коши

 1 2 

i C



f



d



z

Значение аналитической функции в любой точке вычисляется через значения этой функции на границе области.

Функция f(z) аналитична в n-связной области D.

Граница области C проходится так, что область D все время остается слева.

Доказательство: Из области D выбрасывается кружок радиуса r с центром в точке z и используется формула с предыдущего слайда.

Частный случай: Кривая С – окружность |   1 2  0  2  

R

exp(

i

 

z R



z R

exp(

i

 ) - теорема о среднем

Принцип максимума

Если функция f(z), не равная тождественно постоянной, не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области D.

Если функция f(z) не постоянна, аналитична в области D, модуля этой функции | f(z)| не может достигаться внутри D.

Краевые задачи. Гармонические функции

Уравнение Лапласа  2

u



x

2   2

u



y

2  0 Следствие условий дифференцируемости Даламбера-Эйлера  

u x

 

v



y

, 

u



y

  

v



x z iy

,   Сопряженные функции в односвязной области D 

z

0

z

    

u



y dx

 

u



x dy

  

const

Особая точка функции (полюс)

Для однозначной гармонической функции u(z): Если u(z) стремится к бесконечности при

z



a

, то в окрестности точки а она может быть представлена в виде 

k

ln |

z



a

| 

U z

где k = const и U(z) - гармоническая в точке а функция (полюс).

Задача Дирихле

D

границе D принимает заданные непрерывные значения

u

 Решение задачи Дирихле для области D в виде круга единичного радиуса  1 2  2  0 

it

) 1  

t r

2   ) 

r

2

dt

,

z



re it

.

Для полуплоскости  1    

y

( ) (

t



x

) 2 

y

2

dt

К задаче Дирихле сводится и задача Неймана (на границе задана нормальная производная)

Ряды

Ряд Тейлора 

n





 0

f n

!

(

z



a

)

n

Функция f(z) представима своим рядом Тейлора в любом открытом круге с центром в точке a, в котором она аналитична. Ряд Тейлора сходится во всякой замкнутой области, принадлежащей этому кругу.

exp

z

sin

z

 cos

z

 sh

z

 ch

z



z z

2 2!



z

3!

3  ...

ln(1 

z

) (1 

z

)

a z

2 2

az

 

z

3  ...

3  1)

z

2  2!

 1)(

a

 2)

z

3  ...

3!

Сходимость при |z|<1 (исключение – натуральное а) Сходимость при любом z

Степенные ряды



n

   0

n



a

)

n

Ряд сходится в круге радиуса R 1

R

 l im

n



n

|

c n

| (верхний предел) Сравнение с рядом Тейлора

c n



f n

!

Теорема единственности

1. Нули аналитической функции изолированы.

2. Если функции f(z) и g(z) аналитичны в области D и их значения совпадают на некоторой последовательности точек, сходящейся к внутренней точке области D, то всюду в D эти функции совпадают: f(z) = g(z).

Ряд Лорана

Для представления функций, аналитических в кольцевых областях, например, r < |z – a| < R 

n

  

n



a

)

n c n

 1 2 

i C

 ( 

f



a

)

n

 1 C – окружность |z – a| = ρ радиуса r < ρ < R Главная часть ряда Лорана:

n

   1

c



n

(

z



a

) 

n

Применения рядов

Специальные функции

Функция вероятности

erf

z

 2 

z

0 

e

  2

d

 erf

z

 erf ( 2 

k

   0

k k

! 2

z

2

k

 1

k

 1 2   0 

e

  2

d

  ?

cходится при всех конечных z

z

  - существенно особая точка

Интегральный синус

si

z

 0

z

 sin  

k

   0 2

k



k

1 (2

z

2

k

 1

k

 1)!

Особые точки однозначной функции

Изолированные особые точки Устранимая особая точка: конечный предел lim

z



a

Разложение в ряд Лорана в окрестности точки а не содержит главной части.

Полюс: предел lim

z



a

  Главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов.

lim В окрестности этой точки функция принимает любое значение.

Полюс n-го порядка функции f(z) – это нуль n-го порядка функции 1/f(z); число членов в главной части разложения Лорана равно порядку полюса.

Для существенно особой точки – бесконечное число членов в главной части.

Примеры

sin

z z e z

2 1



1

e z

1 1

z z

2 3!



z

4 5!



...

1 1 2!

z

2



...

05.09.2012

Целые и дробные аналитические функции

Целые (голоморфные) функции – не имеют особых точек. Пример: f(z) = exp(z).

Дробные (мероморфные) функции – не имеет других особенностей, кроме полюсов.

Пример: (

z a

)

n

, n – целое число.

Аналитическое продолжение функции. Пример: 1 1 

z z z

2  ...

Сходимость – круг |z|< 1

Интеграл

C

 (

z



n

,

n

2,...

C a C a C



Прямое вычисление (а не по теореме Коши) (

z

 )

n a dz

(

n

  1) (

n

  1) C – окружность |z – a| = ρ радиуса ρ  

n i

 1

n

 1 2  0



e

 1 

i

2 0  

d



e

 1)   2 

i

 1) 

d

 2  0  0

z

 

e i

 ,

dz

 

i



Ряд Лорана 

Вычеты

n

  

n



a

)

n c n

 1 2 

i C

 ( 

f



d a

)

n

 1 Вычет функции f(z) в изолированной особой точке a 

c

 1  1 2 

i C



f

, где С – достаточно малая окружность |z – a| = r . residu Выделенность n = - 1:

C



n

  

n



n



n

  

c n C

 (

z



n



c

 1  2 

i

Для полюсов первого порядка  lim

z



a

{(

z



Теорема о вычетах

Если функция f(z) непрерывна на границе С области D и аналитична внутри этой области всюду, за исключением существенно особые точки), то

C

  2 

i k n

  1

k

).

Вычисление интеграла сводится к нахождению локальных величин. Это следствие теоремы Коши:

C

 

k n

  1 

C k

 2 

i k n

  1

k

).

Вычисление вычета для полюса 1-го порядка

 ,  0,  ( )  0,  0 Функции g(z) и h(z) регулярны в точке а. Функция f(z) имеет в точке а простой полюс.

Разлагаем функции g(z) и h(z) в ряды Тейлора в окрестности точки а:  

a

  ( )( 1  2!

a



a

) 2  ...

 lim

z



a

{(

z

   ( )

Вычет n-го порядка

Если

z

0 – полюс n-го порядка функции f(z), то

f z

0  (

n

1  1)!

lim

z



z

0

d n

 1

dz n

 1 

z

0

n

) ] Задача: найти вычеты функций : 

z

3 sin  

z

4 2

z

2 , 

e z

(

z

 2)(

z

 1) 3 , 

z

3 sin 1

z

2 .

Домашнее задание 3

Найти вычеты в особых точках функций 

z

2 tg 

z

 4

z

,  3 (

z

 3) , 

e z

 1  4

e



z

sin 2 .

z

,

Вычисление интегралов по теории вычетов-1

Пример: вычислить интеграл 

z e z

2  1 

z dz

Теорема о вычетах: 

C

 2 

i k n

  1

k

).

Особые точки?

Вычеты в них?

Интеграл от рациональной дроби

  

m n dx



2



i k n

  1

k

)

n

2 Вычеты подынтегральной функции во всех полюсах в верхней полуплоскости Если f(z) непрерывна в окрестности бесконечно далекой точки и  ( ) |z| = R стремится к 0 при

R

  0 (   (  1

dz z

 max | ( 1

R s

  ( ( ) |  0 Пример:  0 

x

2

x

4  1  1

dx



Вычисление интегралов по теории вычетов

Лемма Жордана: Если на некоторой последовательности дуг окружностей

C n



R n

, Im

z

 

n

функция g(z) стремится к нулю равномерно относительно arg z, то для любого положительного числа λ lim

n

 

C n

 0 (для вычисления интегралов с бесконечными пределами)

Примеры вычисления интегралов

I

  0  cos

x dx x

2 

a

2 

z

2

e iz



a

2 Простые полюса: z = ai, z = -ai Вычет в полюсе z = ai:

I

 0   sin

x dx x

Окончить – это домашнее задание 4 

e iz z

Вычисление интегралов

I

   sin

x dx x

0  

r

   

R

 

R r



c r C r

 0 

e iz z

lim

R





C r

 0 На полуокружности с

r

(по лемме Жордана) (

r

 0)

z



re i

 ,

dz



i



ire d

 , 

c r dz z

 0  

i



re id



re i

  

i

  1

z

Окончание

 

r



R e ix dx x



r R



e ix dx x



i

   

r



R e ix dx x

 (

x



x

) 

r R



e



ix dx x



O

1 ( )

R R r



e ix



x e



ix dx



i

  

O

1 ( )

R

si   0   sin

x x dx

  2

Интегралы Френеля

y

0 (2)  / 4 (1)

R

(3)

x I

(1)

I c

  0  cos

I



R

0 

e



x

2

dx

 ,

I s

  0  sin

l



e



z

2

dz

 ?

0  

e



x

2

dx

 (3) 2  (2)

z



re i

 /4 ,

dz



e i

 /4

dr

,

z

2  2

r e i

 /2 

ir

2

z



Re i

 ,

I

(2) 0 li m

R



I

3  0 

e i

 /4 0

R



e



ir

2

dr

/ 4,     

dz

 2 2 

i i



iRe d

 , 2 2   

R

0 

e



ix

2

dx z

2  2 2

R e i

   0  cos   0  sin

x

2

dx

 1 2  2

Вычисление интеграла 

e



z

1 

e z C I

   

e



x

1 

e x y dx

, 2  0

B

1 (?) Простой полюс

z



i

  )  (1

e



z



e z

) 

D -R

 

e i



e i

  

e i

 0 

DA

 

AB

 

BC

 

CD R A

  2 

ie



i x

DA

:

CD

: Продолжение

z



x

,

dz



dx

,

AB

:

e



z

1 

e z



AB z



e

 ( 1 

e

) ,

x dz R

, 

idy

,

R

  , 0 

y DA

 

e e



R R

 1  2  0 

e e



R R

 1

dy

 2 

e



R e R

 1  0

R



R

   

R e



x

1 

e x при R

 

dx



CD BC

: 

BC

 2 

e

 

R

1 

e



R

 0

z при R

  

dz



dx

,

x R

,  

R



R

1

e

 (

x

 2 

i

) 

e x

 2 

i dx

 

e

2 

i



R



R e



x

1 

e x dx R

 

Окончание

R



BC



I

  

e



x

1 

e x



e

2 

i I

 

R R

 1

e

 (

x

 2 

i

) 

e x

 2 

i

2 

i

  

e



x

1 

e x

  2 

ie



i I

 2 

ie



i e

2 

i

 1  sin  

dx

 

e

2 

i dx



R R

 1    2 

ie



i e



x e x dx

2  0 

F

Интегрирование функций от тригонометрических функций

F – рациональная функция своих переменных

z



e ix

, cos

x



z

 2

z

 1 , sin

x



z



z

 1 , 2

i dx

 1

iz dz

Интеграл по единичной окружности С (|z| = 1) равен 2πi x сумму вычетов подынтегральной функции относительно полюсов внутри единичной окружности

Пример

I

 2  0  1  

dx

cos

x

, 0 Полюса

I



z

2 

C



iz

  1  

dz z

 2

z

 1    2

z

0 Полюс внутри С

z

0  1   1   2 Вычет res  2 

z

0 1  2  2 1   2

i

2

C

 

z

2 , 

dz

2

z

 

z

0  0

I

 2 

i i

1 2 1   2  2  1   2 1 (?)

Интеграл от многозначных функций

Главное значение особого интеграла (пример)

I

  0 

x a

 1 1 

x dx

, 0 

z a

 1 1 

z

1 (?) 

e

(

a

 1) ln

z

1 

z

На нижнем берегу разреза вдоль положительной полуоси 2 

i

) 

e

2 (?)



c r e

2 )    1 

r



r r

 0,  1 

R



r R

      

r

  



r

 

C R

 0

Окончание



r

: 1 

r

 : 1

re i

 ,  

c r

 0,   , 

C R

 0

dz

 

ire d



dz

 

ire d



re i

 , 

меняется от

 

до



z a

 1

r

   

r

  

i

(1 

e

2 )  (1 

e

2 )

I

 

i

(1 

e

2 )  0

I

  ctg

a



Домашнее задание.

Вычислить интегралы 

z

2 sin 1

dz z

 



1 

x m x

2

n

 0



2  0



x

3 1  sin

x x

2

dx

1 2

dx dx

,  cos

x

Асимптотические разложения

c

0 (ср. с рядом Лорана)

c z

1

c

2

z

2 

c

3

z

3

c n z n

 ...,

z

Разность между функцией f(z) и частной суммой 

s n

относительно последнего члена частной суммы   

k n

  0

c k z k

lim

z

 lim

z



z n

  

k n

  0

c k z k

   0,

n

 0, 1, 2,...

Определение коэффициентов (однозначное) 

c

0 ]

c

0  lim

z

 lim

z

 

s

1 ]  lim

z

   0

c

1 ]

z c

1 lim

z

 

c

0 ], ...

c n

 lim

z



z n



s n

 1

Асимптотические разложения-2

Один и тот же ряд может служить асимптотическим разложением различающихся функций Задача: найти асимптотическое разложение функции 

e



x

,

x

  Асимптотические разложения можно почленно складывать, перемножать и интегрировать, но нельзя, в общем случае, дифференцировать. Пример:  

e



x

sin

e x

,

x

   (

e



x

sin

e x

)   

e



x

sin

e x

 cos

e x

Асимптотические разложения-3



x



t

1

e

Задача: найти асимптотическое разложение функции (связана со специальной функцией – интегральной показательной функцией) 

x



t

1

e dt

 

t

1

e



x

 

x





t

1

e



x



1

t

2

e dt

,

dt x

 

x



x



1

t

2

e dt

Интегрирование по частям,

u



t

1 , Повторяем интегрирование по частям

dv



e dt

,

v

 

e dt x

1

x

2  2!

x

3

n

 1 (

n

 1)!

x n n n

!



x



1

t n

 1

e dt

.

Асимптотические разложения-4

Оценка интеграла (тоже интегрирование по частям) 

x



1

t n

 1

e dt

 1

x n

 1 1) 

x



1

t n

 2

e dt

 1

x n

 1

x n



n



n

!

x



x



t

1

e dt

~ 1

x

 1

x

2  2!

x

3

n n

!

x n

 1  ...

Сходимость ряда?

lim

n



u n

 1

u n

  lim

n



n

 

x

при любом фиксированном x, так что ряд расходится.

Гамма-функция (Эйлера)

 - аналитическая функция z при Re z > 0   0





t z e t

 1

dt

Г(1) = ?

Г(n) = ?

Указание: Г(z + 1) = z Г(z) (интегрирование по частям)   (

n

 1)!

1 2 )   2

n

(2

n

 1)!!

Асимптотические оценки интегралов

Упрощенный вариант:  – большой параметр

F



F

 0

a



 

t

 (

c

0  

t



dt

, 

c t

0

a

 0,   0

c t

0

n

 ...),    1

n





 0

c n

   1   

n

1  ряд сходится. Тогда Основной вклад в интеграл от окрестности

t

 0 (почленно интегрируем. Верхний предел заменяем на бесконечность)

Метод Лапласа

F



a b



 

dt

 – большой параметр, функция f(t) имеет на отрезке (a,b) один резко выраженный максимум при

t



t

0 В окрестности максимума функции f(t) 

f t

0 

a t

2 

t

0 ) 2

n



t

0 )

n

 ...,

a

2  0

f t

0    2 ,

t



F



a b



     0 )   2

a

3 (

t t

0  ( ) 

n

   0

c n



n dt

~

e



f t

0  

n





 0

c

2 

n n

2 2

n n

!

Асимптотика гамма-функции

  1)  0



     1 0 



 

e

 

d

    1 0 



e

  )  

d

  1,

f



c

0   (1)  1)  2 /

f

 (1)  2 2     [1 

O

 0



e

 1  ]     Максимум f: f(1) = 0

d

    [ 2

O

 ] - формула Стирлинга Задание: оценить 100!

R

Соотношения Крамерса-Кронига

r

0 Диэлектрическая проницаемость  

D



i

  

E

Диэлектрическая проницаемость вакуума   1 Для любых сред     1 Формула Коши

C





z

      1 

dz

 0    

x

  

dx

, Аналитичность   в верхней полуплоскости комплексной частоты 



c r



z

 

dz

 

i

     1      

x

  

dx