Transcript 獨立研究正式報告
獨立研究-三角知多少
報告人:鍾秉恩,王柏揚,洪至謙
指導老師:張興財 老師
摘要
• 這個報告就是把正三角形分割成很多小正
三角形組成的大三角形,再把全部的正小
三角形加起來,包括重疊的部份,例
如:2X2三角形有5個小三角形,3X3三角形
有13個三角形。
研究動機
•數學考試中,有時會出現像是大長方形裡
有小長方形的圖形,並要求算出個數之題
目,但是換成其他圖形,它是否也有一定
的關係與算法呢?我們想到把圖形換成三
角形,並在這個研究中透過關係導出三角
形個數公式。
研究目的
•1.求出大小不同三角形的總和,找出之間
關係。
•2.由總和間關係導出公式。
•3.求總和間的關係。
研究設備及器材
•GSP繪圖軟體
•Microsoft Excel
•紙、筆
1.先用一個一個數的
方式找出邊長1~5的個
數,接著在找尋其規
律。
2.試做出邊長
為1到30的三角
形個數表格。
5.完成
流程圖
3.分別推導出正,倒三角形的
公式。
4.找出個數間
之關係
研究過程
•我們研究此三角形主要是以土法煉鋼法(也就是一
個一個數)來找尋規律,先數出邊長1.2.3.4.5的三
角形個數,在從其數字中找尋規律,以此規律我們
做了下表(在下頁,我們將大三角形分為奇數邊長
與偶數邊長,在將其中的小三角形分成正立與倒立
的) ,經驗證後發現是正確的。
研究過程(圖)
研究過程(圖)
研究過程
• 根據上圖的數據,我們發現三角形總數跟
所謂「高階等差數列」有些關係。不過,
高階等差數列並不是我們的研究範圍,在
此並不討論。
研究過程
• 我們將三角形的邊長分為奇數邊長與偶數邊長的原
因是我們發現,當邊長分開來看時,奇數邊長的三
角形個數有種規律存在,偶數邊長的三角形個數也
有規律存在,但是當兩種混在一起看時,我們發現
找不到規律,因此我們將邊長分為奇數與偶數(我
們將小三角形分為正立與倒立也是因此原因)。
研究過程
•根據圖表,我們發現奇數邊長的「倒立」
小三角形的個數有著規律,當邊長越大時,
數字依序為0、0+3、0+3+10、0+3+10+21、
0+3+10+21+36………。我們發現,若將各
項×2,會得出0、0+6、0+6+20、
0+6+20+42、0+6+20+42+72,若將各數拆
開,得到:0×1、0×1+2×3、0×1+2×3+4×5、
0×1+2×3+4×5+6×7、
0×1+2×3+4×5+6×7+8×9………我們得到規
律後,就推演出下列公式(在下頁)。
研究過程
公式推導(奇數邊長的倒立小三角形):
1
0 1 2 3 4 5 .......................... (2k 2)(2k 1)
2
1
(2k 2)(2k 1) (k 1)(2k 1) 2k 2 3k 1
2 k 1
k 1
k 1
k (k 1)(2k 1)
k (k 1)
k
2
3
k 2(k 1)(2k 1) 9(k 1) 6
6
2
6
k 2
k 2
k
4k 6k 2 9k 9 6 4k 3k 1 (4k 1)(k 1)
6
6
6
研究過程
•公式推導:可是k是1.2.3………,而邊長卻是
1.3.5.7……... ,於是我們必須找到n與k的關係。
•我們發現n與k的關係式為
n 1
k
•所以我們將
帶入上頁的式子,得出奇數邊
2
n 1
k
長中倒三角形個數的公式(在下頁)
2
研究過程
n 1
2 (4 n 1 1)( n 1 1)
6
2
2
n 1
(2n 3)(n 1)
24
1
(n 1)(n 1)(2n 3) 此為奇數邊長中倒三
角形之公式
24
研究過程
•公式推導:我們發現偶數邊長也有類似的規律,但
是其規律與奇數邊長不同,當邊長越大時,其數字依
序為1、1+6、1+6+15、1+6+15+28、
1+6+15+28+45………。將各數×2,得:1、1+12、
1+12+30、1+12+30+56、1+12+30+56+90………。將其
分解,得:1×2、1×2+3×4、1×2+3×4+5×6、
1×2+3×4+5×6+7×8、1×2+3×4+5×6+7×8+9×10………。
依據此規律我們推出了下頁的公式。
研究過程
1
1
1 2 3 4 5 6 ...... 2k (2k 1) 2k (2k 1)
2
2 k 1
k (k 1)(2k 1) k (k 1)
2
2k k 2
6
2
k (k 1)
k (k 1)
2(2k 1) 3
(4k 1)
6
6
n
k (此為偶數邊長與k的關係)
2
1 n n
n
( 1)(2n 1)
(n 2)(2n 1)
6 2 2
24
此為偶數邊長中倒三角形的公式
研究過程
• 公式推導:至於正立的小三角形,我們發現無論
奇數邊長或者是偶數邊長,規律都一樣,而此規
律為: n (n 1)( n 2)
6
• 因此我們將此式加上之前所推出的倒三角型公式,
即可得出所有三角形的公式。
研究過程
公式推導:
1
n
(n 1)(n 1)(2n 3) (n 1)(n 2)
24
6
(n 1)
[(n 1)(2n 3) 4n(n 2)]
24
n 1 2
[2n n 3 4n 2 8n]
24
n 1 2
[6n 9n 3]
24
n 1
(2n 2 3n 1)
8
此為奇數邊長的大三角形中所
1
3
2
(2n 5n 2n 1)
有的小三角形的個數公式
8
研究過程
n
n
( n 2)(2n 1) ( n 1)(n 2)
6
• 公式推導: 24
n
[(n 2)(2n 1) 4( n 1)(n 2)]
24
n
( n 2)(2n 1 4n 4)
24
n
( n 2)(6n 3)
24
n
( n 2)(2n 1)
8
1
( 2 n 3 5n 2 2 n )
8
此為偶數邊長的大三角形中
所有的小三角形的個數公式
研究過程
•推導出上頁的公式之後(經由數學歸納法得知 K
及 K2 的值是正確的),我們將任何的n值帶入
公式中發現與表都是相符的,但有個問題是,邊
長為奇數時必須代奇數的公式,偶數時必須代偶
數的公式,這樣很麻煩,於是我們將奇數代進偶
數的公式,我們發現,出來的值都會跟代進正確
公式時的值相差八分之一,於是我們想到,無論
將數字代進哪個偶數公式,只要將帶出來的值加
上「高斯符號」(就是將值取整數位),出來的
值便是正確的,解決了奇偶數公式不同的問題。
結論
•我們發現三角形個數關係呈高階等差數列
•我們發現三角形個數之偶數及奇數公式可
概括為同一公式(偶數公式)。
心得
•我們因這個研究比別人多了解了高斯符號
以及平方總和公式,因老師的教導,我們
學會如何用表格推出公式,而這個研究讓
我們更加了解三角形的特色!
未來遠景
•1.希望未來能推出其他圖形之個數算法的
公式。
•2.能推出非正三角形之個數算法的公式。
•3.能用其他簡單算法算出三角形個數。
文獻參考
•維基百科
http://zh.wikipedia.org/zhtw/Wikipedia:%E9%A6%96%E9%A1%B5
•國立台灣科學教育館
http://www.ntsec.gov.tw/User/index.as
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