Transcript 獨立研究正式報告
獨立研究-三角知多少 報告人：鍾秉恩,王柏揚,洪至謙 指導老師：張興財 老師 摘要 • 這個報告就是把正三角形分割成很多小正 三角形組成的大三角形，再把全部的正小 三角形加起來，包括重疊的部份，例 如:2X2三角形有5個小三角形，3X3三角形 有13個三角形。 研究動機 •數學考試中，有時會出現像是大長方形裡 有小長方形的圖形，並要求算出個數之題 目，但是換成其他圖形，它是否也有一定 的關係與算法呢？我們想到把圖形換成三 角形，並在這個研究中透過關係導出三角 形個數公式。 研究目的 •1.求出大小不同三角形的總和，找出之間 關係。 •2.由總和間關係導出公式。 •3.求總和間的關係。 研究設備及器材 •GSP繪圖軟體 •Microsoft Excel •紙、筆 1.先用一個一個數的 方式找出邊長1~5的個 數，接著在找尋其規 律。 2.試做出邊長 為1到30的三角 形個數表格。 5.完成 流程圖 3.分別推導出正,倒三角形的 公式。 4.找出個數間 之關係 研究過程 •我們研究此三角形主要是以土法煉鋼法(也就是一 個一個數)來找尋規律，先數出邊長1.2.3.4.5的三 角形個數，在從其數字中找尋規律，以此規律我們 做了下表(在下頁，我們將大三角形分為奇數邊長 與偶數邊長，在將其中的小三角形分成正立與倒立 的) ，經驗證後發現是正確的。 研究過程（圖） 研究過程（圖） 研究過程 • 根據上圖的數據，我們發現三角形總數跟 所謂「高階等差數列」有些關係。不過， 高階等差數列並不是我們的研究範圍，在 此並不討論。 研究過程 • 我們將三角形的邊長分為奇數邊長與偶數邊長的原 因是我們發現，當邊長分開來看時，奇數邊長的三 角形個數有種規律存在，偶數邊長的三角形個數也 有規律存在，但是當兩種混在一起看時，我們發現 找不到規律，因此我們將邊長分為奇數與偶數（我 們將小三角形分為正立與倒立也是因此原因）。 研究過程 •根據圖表，我們發現奇數邊長的「倒立」 小三角形的個數有著規律，當邊長越大時， 數字依序為0、0+3、0+3+10、0+3+10+21、 0+3+10+21+36………。我們發現，若將各 項×2，會得出0、0+6、0+6+20、 0+6+20+42、0+6+20+42+72，若將各數拆 開，得到：0×1、0×1+2×3、0×1+2×3+4×5、 0×1+2×3+4×5+6×7、 0×1+2×3+4×5+6×7+8×9………我們得到規 律後，就推演出下列公式(在下頁)。 研究過程 公式推導（奇數邊長的倒立小三角形）： 1 0 1 2 3 4 5 .......................... (2k 2)(2k 1) 2 1 (2k 2)(2k 1) (k 1)(2k 1) 2k 2 3k 1 2 k 1 k 1 k 1 k (k 1)(2k 1) k (k 1) k 2 3 k 2(k 1)(2k 1) 9(k 1) 6 6 2 6 k 2 k 2 k 4k 6k 2 9k 9 6 4k 3k 1 (4k 1)(k 1) 6 6 6 研究過程 •公式推導：可是k是1.2.3………，而邊長卻是 1.3.5.7……... ，於是我們必須找到n與k的關係。 •我們發現n與k的關係式為 n 1 k •所以我們將 帶入上頁的式子，得出奇數邊 2 n 1 k 長中倒三角形個數的公式（在下頁） 2 研究過程 n 1 2 (4 n 1 1)( n 1 1) 6 2 2 n 1 (2n 3)(n 1) 24 1 (n 1)(n 1)(2n 3) 此為奇數邊長中倒三 角形之公式 24 研究過程 •公式推導：我們發現偶數邊長也有類似的規律，但 是其規律與奇數邊長不同，當邊長越大時，其數字依 序為1、1+6、1+6+15、1+6+15+28、 1+6+15+28+45………。將各數×2，得：1、1+12、 1+12+30、1+12+30+56、1+12+30+56+90………。將其 分解，得：1×2、1×2+3×4、1×2+3×4+5×6、 1×2+3×4+5×6+7×8、1×2+3×4+5×6+7×8+9×10………。 依據此規律我們推出了下頁的公式。 研究過程 1 1 1 2 3 4 5 6 ...... 2k (2k 1) 2k (2k 1) 2 2 k 1 k (k 1)(2k 1) k (k 1) 2 2k k 2 6 2 k (k 1) k (k 1) 2(2k 1) 3 (4k 1) 6 6 n k （此為偶數邊長與k的關係） 2 1 n n n ( 1)(2n 1) (n 2)(2n 1) 6 2 2 24 此為偶數邊長中倒三角形的公式 研究過程 • 公式推導：至於正立的小三角形，我們發現無論 奇數邊長或者是偶數邊長，規律都一樣，而此規 律為： n (n 1)( n 2) 6 • 因此我們將此式加上之前所推出的倒三角型公式， 即可得出所有三角形的公式。 研究過程 公式推導： 1 n (n 1)(n 1)(2n 3) (n 1)(n 2) 24 6 (n 1) [(n 1)(2n 3) 4n(n 2)] 24 n 1 2 [2n n 3 4n 2 8n] 24 n 1 2 [6n 9n 3] 24 n 1 (2n 2 3n 1) 8 此為奇數邊長的大三角形中所 1 3 2 (2n 5n 2n 1) 有的小三角形的個數公式 8 研究過程 n n ( n 2)(2n 1) ( n 1)(n 2) 6 • 公式推導： 24 n [(n 2)(2n 1) 4( n 1)(n 2)] 24 n ( n 2)(2n 1 4n 4) 24 n ( n 2)(6n 3) 24 n ( n 2)(2n 1) 8 1 ( 2 n 3 5n 2 2 n ) 8 此為偶數邊長的大三角形中 所有的小三角形的個數公式 研究過程 •推導出上頁的公式之後（經由數學歸納法得知 K 及 K2 的值是正確的），我們將任何的n值帶入 公式中發現與表都是相符的，但有個問題是，邊 長為奇數時必須代奇數的公式，偶數時必須代偶 數的公式，這樣很麻煩，於是我們將奇數代進偶 數的公式，我們發現，出來的值都會跟代進正確 公式時的值相差八分之一，於是我們想到，無論 將數字代進哪個偶數公式，只要將帶出來的值加 上「高斯符號」（就是將值取整數位），出來的 值便是正確的，解決了奇偶數公式不同的問題。 結論 •我們發現三角形個數關係呈高階等差數列 •我們發現三角形個數之偶數及奇數公式可 概括為同一公式(偶數公式)。 心得 •我們因這個研究比別人多了解了高斯符號 以及平方總和公式，因老師的教導，我們 學會如何用表格推出公式，而這個研究讓 我們更加了解三角形的特色! 未來遠景 •1.希望未來能推出其他圖形之個數算法的 公式。 •2.能推出非正三角形之個數算法的公式。 •3.能用其他簡單算法算出三角形個數。 文獻參考 •維基百科 http://zh.wikipedia.org/zhtw/Wikipedia:%E9%A6%96%E9%A1%B5 •國立台灣科學教育館 http://www.ntsec.gov.tw/User/index.as px