Recursão

Profa. Graziela Santos de Araújo [email protected]

www.facom.ufms.br/~gsa Algoritmos e Programação II, 2010

Motivação

    Conceito fundamental em computação Programas elegantes e mais curtos Equivalência entre programas recursivos – não-recursivos Memória

Recursividade

A definição de recursividade (recursão) aplica-se a funções e procedimentos. Por isso, vale (re)lembrar os seus conceitos:  Função: é um módulo que produz um único valor de saída. Ela pode ser vista como uma expressão que é avaliada para um único valor, sua saída, assim como uma função em Matemática.

 Procedimento: é um tipo de módulo usado para várias tarefas, não produzindo valores de saída.

Como a diferença entre função e procedimento é sutil, utilizaremos os termos funções e procedimentos de forma indiscriminada durante o curso.

Recursividade

Até agora, foram vistos exemplos de procedimentos chamados genericamente de iterativos. Recebem este nome pois a repetição de processos neles inclusos fica explícita, através do uso de laços. Um exemplo de procedimento iterativo, para cálculo do fatorial de um número n, pode ser visto a seguir: 01 Função Fatorial (n) 02 03 04 05 fat  1 para i  1 até n faça fat  fat * i fim para 06 retorna fat 07 fim função

Recursividade

 Alguns problemas têm uma estrutura recursiva: cada entrada do problema contém uma entrada menor do mesmo problema  Estratégia: se a entrada do problema é pequena então resolva-a diretamente; senão, reduza-a a uma entrada menor do mesmo problema, aplique este método à entrada menor e volte à entrada original.

 Algoritmo recursivo, programa recursivo, função recursiva  Uma função recursiva é aquela que possui uma ou mais chamadas a si mesma (chamada recursiva)

Recursividade

 Toda função deve possuir ao menos uma chamada externa a ela.

 Se todas as chamadas à função são externas, então a função é dita

não-recursiva

 Em geral, a toda função recursiva corresponde uma outra não recursiva equivalente  Correção de um algoritmo recursivo pode ser facilmente demonstrada usando indução matemática  A implementação de uma função recursiva pode acarretar gasto maior de memória, já que durante o processo de execução da função muitas informações devem ser guardadas na pilha de execução

Exemplos



Problema: Dado um número inteiro n ≥ 0, computar o fatorial n!.

Usamos uma fórmula que nos permite naturalmente escrever uma função recursiva para calcular n! : n! = 1 n x (n-1)!

, se n ≤ 1 , caso contrário

Exemplos – Solução 1

/* Recebe um número inteiro n ≥ 0 e devolve o fatorial de n */

função fat (inteiro n) inteiro result se n ≤ 1 então result



senão result



1 n * fat(n-1) retorna result fim função

Exemplos – Solução 2

/* Recebe um número inteiro n ≥ 0 e devolve o fatorial de n */

função fat (inteiro n) se n ≤ 1 então retorna 1 senão retorna n * fat(n-1) fim função

fat(3) fat(2) fat(1) devolve 1 devolve 2x1 = 2 x fat(1) devolve 3x2 = 3 x fat(2)

Exemplos

 Os procedimentos recursivos possuem uma descrição mais clara e concisa, fazendo com que o código do programa que o implemente seja “enxuto”.

 Por outro lado, os programas que implementam procedimentos recursivos tendem a ser mais custosos (em termos de memória e tempo) que aqueles que implementam a versão iterativa correspondente.  Além disso, a depuração de programas recursivos é um pouco mais complicada que a de programas iterativos.

Exemplos



Problema: Dado um número inteiro n > 0 e uma seqüência de n números inteiros armazenados em um vetor

v

, determinar um valor máximo em

v

.

Exemplos

/* Recebe um número inteiro n > 0 e um vetor v de números inteiros com n elementos e devolve um elemento máximo de v */

função maximo(inteiro n, inteiro v[MAX]) inteiro aux se n = 1 então retorna v[1] senão início aux



senão maximo(n-1, v) se aux > v[n] então retorna aux retorna v[n] fim senão fim função

Corretude

 Como verificar que uma função recursiva está correta?

Passo 1: escreva o que a função deve fazer; Passo 2: verifique se a função de fato faz o que deveria fazer quando a entrada é pequena; Passo 3: imagine que a entrada é grande e suponha que a função fará a coisa certa para entradas menores; sob essa hipótese, verifique que a função faz o que dela se espera.

Recursividade



Ao conceito de recursividade está relacionado o conceito de indução .



A indução permite determinar a corretude de um procedimento recursivo.

Recursividade

  A indução é um método de prova matemática que permite a generalização de uma propriedade a partir de instâncias particulares onde ela pode ser verificada. A indução pode ser usada para demonstrar a veracidade de um número infinito de proposições.

Seja P(n) uma propriedade que tenha como parâmetro um número natural n. Para provar que P é válida para todos os valores de n, devemos provar que: 1. Passo base: P é válida para n = 1; 2. Passo indutivo: Para todo n > 1, se P é válida para n então P é válido para n.

− 1

,

Recursividade

Ex: Provar, por indução, a seguinte fórmula: P(n) = 1+2+3+4+· · ·+n = n(n+1)/2 1. Passo base: Provar que P é valida para n = 1. Fazendo a substituição do n na fórmula por

1

, chegamos a 1 = 1.(1+1)/2 1 = 1 e está provado.

Recursividade

2. Passo indutivo: Para todo n>1, se P é valida para n

–

é válido para n. 1, então P Suponha que P é válida para n-1. Então podemos afirmar que: 1+2+3+...+(n-1) = (

n

 1 ).

n

2 Com base no passo indutivo, vamos provar por que P vale para n.

1+2+3+...+(n-1) +

n

 (

n

 1 ).

n



n

 (

n

 2 1 ).

n

2  2

n



n

(

n

 1 2  2 ) 

n

(

n

2  1 ) .

Recursividade

No caso do algoritmo para cálculo do fatorial de um número, por exemplo, poderíamos provar a sua corretude, utilizando a prova por indução, da seguinte forma: 1. Passo base: Provar que o algoritmo funciona para n=0.

Como o algoritmo devolve 1 nesse caso, que é exatamente o valor de 0!, ele funciona para o caso em que n=0;

função fat (inteiro n) se n ≤ 1 então retorna 1 senão retorna n * fat(n-1) fim função

Recursividade

Cálculo do fatorial de um número

2. Passo indutivo: Para todo n>1, se o algoritmo funciona para

n−1

, então ele funciona para n.

Supondo que o algoritmo funciona para

n−1

, e observando que o valor de n! corresponde a n × (

n − 1

)!, ele funciona para n.

Recursividade

Vamos provar a corretude da função maximo utilizando a prova por indução (na quantidade de elementos n do vetor).

Proposição: A função maximo encontra um maior elemento em um vetor v com n ≥ 1 números inteiros.

1. Passo base: Se n=1, o maior elemento é o da posição 1.

Recursividade

2. Passo indutivo: Suponha que para qualquer valor inteiro positivo m < n a função compute corretamente

maximo(

m, v

)

.

Suponha agora que temos um vetor v contendo n > 1 números inteiros.

Chamada externa

maximo(

n

,

v

)

, com n > 1. A função executa:

aux



maximo(

n

-1,

v

);

Por hipótese de indução,

aux

contém um valor máximo para os

n−1

primeiros valores do vetor v. Então, a função decide quem é maior:

aux

ou

v

[

n

]

.