Transcript PDE期末報告FDM在大地工程壓密方程式之應用

FDM在大地工程壓密方程式之應用
指導老師:陳正宗 教授
學生:曾胤棋
 壓密方程式介紹:
對
時
間
微
分

u
u
 Cv 2
t
z
u ( z, t ) u為z,t的函數
 u:孔隙水壓
 z:深度
為一拋物線型式的PDE
2
對
空
間
微
分
Step 1. Taylor series expansion
1 ''
1 '''
1 n
2
3
f ( x)  f 0  f ( x  x0 )  f 0 ( x  x0 )  f 0 ( x  x0 )  .....  f 0 ( x  x0 ) n
2
3
n
'
0
範例:

e
0.5
0.5n
0.52 0.53

 1  0.5 

 1.6458
2!
3!
n 0 n !
e0.5  1.64872(計算機結果)
f ( x)  f 0  f 0' ( x  x0 ) 
1 ''
1
1
f 0 ( x  x0 ) 2  f 0''' ( x  x0 )3  .....  f 0n ( x  x0 ) n
2
3
n
設x  x0 =x
1 ''
1 '''
2
若x為正: f ( x)  f 0  f (x)  f 0 (x)  f 0 (x)3  .....
2
3
1
1
若x為負: f ( x)  f 0  f 0' (x)  f 0'' (x) 2  f 0''' ( x)3  .....
2
3
'
0
f n 1
f ( x)
先看微分一次的:
fn
f 0 x  f ( x)  f 0  f0 
f2
f  x   f0
x
f0  f  x
f 0 x  f 0  f  x   f 0 
x
f1
x
i 1
x
i
i 1
f  i   f i 1 f i  1  f i 
f  i  
or
x
x
看微分兩次的:
x2
f  i  1  f  i   xf  i  
f  i   .....(1)
2!
x2
f  i 1  f  i   xf   i  
f  i   .....(2)
2!
將(1)和(2)相加:
f  i  1  f  i  1  2 f  i   x f   i   .....
2
f i 1  2 f i   f i 1
得到 f   i  
x2
Step 2.Use Taylor series expansion in consolidation equ.
對
時
間
未來的時間
微
分
u
u
 Cv 2
t
z
2
對
空
間
微
分
u u ( z , t  t )  u ( z , t )

t
t
 2u u ( z  z , t )  2u ( z, t )  u ( z  z , t )

2
z
z 2
Cv  t
令 =
z2
得u(z, t +Δt) = u(z, t) +β u(z +Δz, t) - 2u(z, t) + u(z - Δz, t)
u(z, t +Δt) = u(z, t) +β u(z +Δz, t) - 2u(z, t) + u(z - Δz, t)
對時間做前進差分(從未來的時間減回來)
f  t  t   f (t )
f ' t  
t
設z = i
z  z  i  1
t j
t  t  j  1
 uij 1  uij   (uij1  2uij  uij1 )
Cv  t
=
z2
此為顯示法
可由此法進行FDM之壓密排水問題
Step 3. 顯示法之應用
顯示法為有條件之收斂，可解壓密時之排水問題
uij 1  uij   (uij1  2uij  uij1 )
Cv  t
<0.5
收斂條件:  =
2
z
範例: 給定Δz=0.5m、Cv=10-3cm2/s= 0.00864m2/day
Depth (m) U (kN/m )
Δt=14days和右圖深度與孔隙水壓之關係，觀
0
10
1
9
2
2
察壓密到70天時的孔隙水壓消散情況 3
10
2
0
4
5
6
7
8
9
10
6
3
2
10
6
5
4
Cv * t 0.00864 14


 0.48384  0.5
2
2
z
 0.5
符合收斂條件
假設題目土層之上下均為排水層，可視為雙向排水，孔
隙水壓都會由上下層消散，消散的情形如下表:
Node
depth
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
0
10
9.5
9
5.5
2
6
10
8
6
4.5
3
2.5
2
6
10
8
6
5.5
5
4.5
4
0
0
9.5
7.54848
5.5
5.6288
6
7.09696
8
6.24192
4.5
3.48384
2.5
4.17728
6
7.09696
8
6.72576
5.5
5
4.5
0
14
0
3.959297
7.501567
6.553455
5.746083
6.351152
7.003134
6.712444
6.249739
4.851152
3.499478
3.787556
4.24765
5.648848
7.003134
6.946545
6.749217
5.851152
5
2.56464
0
28
0
3.757523
5.32894
6.62155
6.429478
6.37385
6.547031
6.629216
5.796922
4.87385
4.292856
3.870784
4.702994
5.62615
6.320496
6.87845
6.410172
5.87385
4.233497
2.502089
0
42
0
2.699798
5.194042
5.903202
6.495495
6.484557
6.503004
6.186754
5.753
5.039361
4.369749
4.477656
4.746997
5.515443
6.254504
6.381918
6.377249
5.339676
4.189441
2.129203
0
56
0
2.600343
4.330347
5.846657
6.203628
6.498775
6.341065
6.129901
5.61758
5.060663
4.745943
4.555764
4.988484
5.501225
5.958565
6.318011
5.877489
5.285166
3.749145
2.095835
0
70
0
2.179238
4.226953
5.285722
6.173715
6.279664
6.315201
5.984189
5.596003
5.177848
4.806201
4.857147
5.027202
5.474419
5.9112
5.930954
5.804042
4.828567
3.692396
1.881724
0