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Racines carrées
Type d ’activité : leçon illustrée Bruno DELACOTE
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1
Conseils et méthode de travail
Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices : A chaque clic (gauche) tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution.
Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement
Prépare l’exercice avant de visionner la solution.
Vérifie (sans tricher !)
Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé.
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2
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3
Racines carrées
Construction de la racine carrée d’un nombre entier
Le colimaçon de PYTHAGORE (activité de découverte)
Les techniques de calcul
Définition et applications directes
Comparaison de racines carrées
Racine carré d'un produit
Racine carrée d'un quotient
Les exercices d’application
4
donc Le nombre
a a
est le seul nombre positif dont le carré vaut
a .
a
9
16 144
4 25
4
25 16
9
16
9
mais attention la racine carrée n' est pas toujours une valeur décimale : 5
est une valeur approchée au millième par défaut.
Voir les réponses 5
donc Le nombre
a a
est le seul nombre positif dont le carré vaut
a .
a
9 16
3 4
144
12 Car 3² = 9 Car 4² = 16
4 25
2 5
16
9
25 5 Attention ! Le signe doit être bien placé car il indique une priorité opératoire.
4 25 16
2 25
9
4 + 3 = 7 En général
a
b
a
b
mais attention la racine carrée n' est pas toujours une valeur décimale : 5
2,236
est une valeur approchée au millième par défaut.
6
Les racines carrées sont rangées dans le même ordre que leurs carrés
Pour tous nombres
a
et
b
positifs si
a
b
alors
a
b
Donc et En effet 38 42 car 38 42 4 2 3 2 3 2 3 car 16 32 2 27 32 9 3 27 7
La racine carrée d'un produit de nombres positifs est égale au produit des racines carrées.
pour tous nombres
et
positifs.
Ecrire sous la forme
a b
Avec
b
entier le plus petit possible
75
8
27
98
2000
75 27 8 3 24 2 98 96 5 Voir les solutions 54 8
Ecrire sous la forme
a b
ab
a
b
donc Avec
b
entier le plus petit possible
pour tous nombres
a
et
b
positifs.
75 25 3 25 3 5 3 8 27 98 2000 4 9 49 2 3 2 400 5 4 9 49 400 2 3 2 2 3 7 2 3 2 5 20 5 suite Plusieurs décompositions sont possibles...
2000 = 400 x 5 permet de trouver le résultat en une seule étape.
9
75 5 8 3 3 3 27 3 8 3 98 2 2 3 7 2 23 2 21 2 24 2 2 96 5 2 6 2 4 2 54 6 5 3 5 6 On utilise 75 5 98 7 3 8 2 27 3 2 3 2 6 10
9 121 3 10 2 125 540 128 5 8 45 18 2 125
11
9 121 3 10 2 125 540 128 5 8 3 540 10 128 2 5 125 8 81 64 1 100 9 8 1 10 45 18 2 9 121 3 11 125 45 2 125 18 1 25 1 5 12
Quelques calculs de bases
3 5 27 2 2 2 2 5 45 3 2 3 2 2 2 8 2 12 8 1 6 75 5 27 4 3 26 6 39 48 Voir les solutions 13
27 45 9 3 9 5 9 3 3 2 2 2 4 8 2 2 2 ( 15 2 ) 2 2 5 25 2 4 3 2 3 20 37 20 3 3 26 6 39 48 26 6 39 48 2 13 3 13 6 16 3 4 13 3 3 3 13 12 3 14
2 2 3 2 24 4 6 12 1 2 6 2 12 12 3 3 3 2 5 2 10 2 8 16 8 10 2 3 6 12
Revoir 75 5 8 2 2 3 27 3 3
75 5 5 27 4 3 5 3 3 3 4 16 3 3 15
Ne pas confondre 2 5 2 5 2 2 10 5 Est une expression qui ne peut pas être réduite avec 2 5 5 Et 2 2 ² 2 4 5 20 3 5
du nombre positif
a
(elle est unique et positive) !
et Les deux solutions de l ’équation
x² = a (a>0)
16
Equation
x² = a
Etant donné un nombre
a
l ’équation
x² = a a
et -
a a > 0
Admet une solution
x = 0
lorsque
a = 0
N ’admet pas de solution lorsque
a < 0
a
a a
a
C ’est la définition !
a
a
2
a x² = 0
si et seulement si
x = 0
Si
x > 0
alors
x
x
x > 0
: c ’est le produit de deux nombres positifs !
Si
x < 0 x²
alors
x
x
x > 0
: c ’est le produit de deux nombres négatifs !
ne peut pas être négatif … 17
Construire le colimaçon de PYTHAGORE Pré-requis : connaître le théorème de Pythagore.
Construire un triangle OA 1 A 2 isocèle rectangle en A 1 côtés mesurent 1cm.
Son hypoténuse OA 2 Son hypoténuse OA 3 dont les petits 2 Construire un deuxième triangle rectangle OA 2 A 3 dont les petits cotés 3 Construire un troisième triangle rectangle OA 3 A 4 dont les petits cotés 3 Son hypoténuse OA 4 En continuant ainsi on obtient le colimaçon de Pythagore !
Construis maintenant les segments de longueurs
l
20 En mesurant certains segments (lesquels ? ) tu peux vérifier la précision de ton dessin. 18
Utilise ta figure : en reportant les longueurs avec ton compas, les égalités suivantes sont-elles plausibles ?
2 3 5 5 15 20 2 2 8 3 2 18 NON NON Oui Oui
Quelles sont les règles de calcul qui justifient ceci…
19
Le nombre
p p
est le seul nombre positif dont le carré vaut
p .
p
( Par définition , pour tous nombres
a
et
b
positifs
ab
)²
ab
Et (
a
b
)²
a
b
a
b
(
a
)² (
b
)²
ab
Les deux nombres positifs
ab
et
a
b
ont même carré donc ils sont égaux.
ab
a
b
pour tous nombres
a
et
b
positifs.
20 De même….
Pour tous nombres
a
positif et
b
strictemen t positif.
a b
2
a b
a b
a b a b
2 2 2
a b
Les deux nombres positifs
a
b et
a b
ont même carré donc ils sont égaux.
21
UN PROBLEME
Les exercices
22
Etant donné un nombre
n
positif on peut tracer Voici un programme : Tracer un cercle de diamètre AB =
n
Sur ce diamètre placer le point H tel que AH =1
n
La perpendiculaire à la droite (AB) en H coupe le cercle en C et C’
alors : AC
AC'
n
Faire des essais avec géoplan Piloter B au clavier lecture de l’affichage e1 = AH = 1 e2 = AB = n e3 = AC e 3 AC
n
Choisir
n = 4, n = 9 et n = 16
Le résultat attendu est-il vérifié ?
A C C’ H B
C A 1 H
4
Dans le triangle ABC Dans le triangle HBC Dans le triangle HAC AC² = AH² + HC² AC² - 1 = HC² En divisant par 2 B Si
n = 4
Le point C est situé sur le cercle de diamètre [AB], donc le triangle ABC est rectangle en C. Utilisons le théorème de Pythagore à bon escient….
AC² + BC² = AB² AC² + HC² + HB² = 4² AC² + HC² + 3 ² = 16
Or HB = AB - 1 = 3
AC² + AC² - 1 + 9 = 16 2AC² = 8 AC² = 4
AC
4
2
Généralisons ce travail pour un nombre
n
quelconque...
C A 1 H
n
B Dans le triangle ABC Dans le triangle HBC Or HB = AB - 1 Dans le triangle HAC En divisant par 2 Or AB =
n
donc Le point C est situé sur le cercle de diamètre [AB], donc le triangle ABC est rectangle en C. Utilisons le théorème de Pythagore à bon escient….
AC² + BC² = AB² AC² + HC² + HB² = AB² AC² + HC² + (AB - 1) ² = AB² AC² + HC² + AB² - 2AB + 1 = AB² AC² - 2AB + AC² = 0 AC² = AB
AC
n
25
Etant donné un nombre
n
positif on peut tracer Voici un programme : Tracer un cercle de diamètre AB =
n
Sur ce diamètre placer le point H tel que AH = 1 La perpendiculaire à la droite (AB) en H coupe le cercle en C et C’
alors : AC
AC'
n
C Faire trois dessins pour
n = 4, n = 9 et n = 16
Le résultat attendu est-il vérifié ?
A
n
Puis justifier la première construction en appliquant le théorème de Pythagore lorsque
n = 4.
Etudier le cas général : (refaire les calculs en fonction de
n.)
C’ H Enoncé à imprimer 26 B