Transcript Clase estructuras método de la rigidez

ESTRUCTURAS
Análisis Estructural
Barras y Nodos
B + 3 = 2N
B
N
3
5
7
9
.
.
.
3
4
5
6
.
.
.
B + 3 = 2N
De dónde viene esta serie????
3
Método de los nudos
Nodo 1
3
2
y
T3
R1x
1
1
2
Nodo 2

F 0
T2
x
R2y
R1y
R1x  T1  T3 cos  0
x
T1
R1 y  T3 sen  0
Nodo 3
y
T1

F  0
y
 T1  0
R2 y  T2  0
T3

F 0
F
T2
x
 T3 cos  F  0
 T2  T3 sen  0
Agrupando ecuaciones
R1x  T1  T3 cos  0
R1 y  T3 sen  0
 T1  0
R2 y  T2  0
 T3 cos  F  0
 T2  T3 sen  0
1
0

 1

0
0

 0
Se tienen 6 ecuaciones y 6 incógnitas,
GT   F 
0 cos
0 sen
0
1
0
0
0 cos
1 sen
1 0 0  T1   0 
 
0 1 0  T2   0 
0 0 0  T3   0 
    
0 0 1  R1x   0 
0 0 0  R1 y   F 
   
0 0 0  R2 y   0 
2 ecuaciones por nodo y 3 reacciones
2N = B + 3
Vector Fuerzas externas
Vector Fuerzas incógnitas
Matriz Geométrica
isoestática
Clasificación de las Estructuras
2N = B + 3
2N < B + 3
2N > B + 3
Isoestática
Hiperestática
Mecanismo
N=6
2N = B + 3
B=9
N=6
B=10
N=4
B=4
2N < B + 3
2N > B + 3
Cálculo de estructuras hiperestáticas
1
2
1
3
Nodo 4

F 0
y
2
3
T1
4
T2
 T1 cos  T3 cos  0
T3
x
T1sen  T2  T3 sen  F
F
Se tienen 2 ecuaciones y tres incógnitas
F
d1  d 2 cos

d2

d1  d 2 cos  0
Esta es la tercera ecuación
Aplicando la Ley de Hooke se tiene
d1
d3
  E

d
L
F

A
EA
F
d
L
Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio se tiene:
 EA

 EA


 
cos d1  
cos d 3  0
 L1

 L3

 EA

 EA

 EA 

d 2  
sen d1  
sen d 3  F
 L1

 L2 
 L3

d1  d 2 cos  0
Escrito en forma matricial se tiene:
EA
 EA
 d1   0 
cos
0
cos     

L1

 EA sen
 L1

1


EA
L2
 cos
L3
 d   F 
EA
 2  

sen     
   
L3
 d 3   0 
0
   
   
K d  F 
K d  F 
Vector Fuerzas externas
Vector Desplazamientos incógnitas
Matriz de Rigidez
Se sabe que:
T   C d 
GC d   F 
Entonces se tiene:
GT   F 
K d   F 
METODO DE LA RIGIDEZ
K d  F 
Caso Unidimensional
Problema
x
k2
k1
Modelo
u1
U1
u2
U2
k3
u3
U3
u4
U4
  E

d
L

F
A

F
EA
d
L
Para cada elemento
U11  k1 k1u1 
 1  
 
U2  k1 k1 u2 
k1
u1
u2
U11
U12
k2
u2
u3
U22
U23
k3
u3
u4
U33
U34

U 22   k 2
 2  
U 3   k 2
 k 2  u2 
 
k 2  u3 
U 33   k3
 3  
U 4   k3
 k3  u3 
 

k3  u4 
K 
EA
L
Ensamblando Matrices
 k1
 k
 1
 0

 0
 k1
0
k1  k 2
 k2
0
 k2
k 2  k3
 k3
Equilibrio en los nodos
0  u1   U11 


0  u2  U 21  U 22 
  2
3

 k3 u3  U 3  U 3 
  
k3  u4   U 43 
 U11   R1 
 1
F 
2
U 2  U 2   
 
 2
3
U 3  U 3   0 
 U 43   R4 
 k1
 k
 1
 0

 0
 k1
0
k1  k 2
 k2
0
 k2
k 2  k3
 k3
0  u1   R1 
0  u2   F 
  
 k3  u3   0 
   
k3  u4   R4 
Si hacemos k1= k2= k3=k tenemos
 1  1 0 0   u1   R1 
 1 2  1 0  u   F 
 2  


k
  
 0  1 2  1 u3   0 

   
 0 0  1 1  u4   R4 
Aplicando condiciones de borde u1=0 y u4=0 se tiene:
 ku2  R1
 1  1 0 0   0   R1 
 1 2  1 0  u   F 
2ku2  ku3  F
 2  


k
   
 0  1 2  1 u3   0   ku2  2ku3  0
   

 ku3  R4
 0 0  1 1   0   R4 
 2  1 u2   F 
k
  

 1 2  u3   0 
u2 
 
u3 
1
1 2 1 F 

  
k 1 2  0 
2F 
u2  3k 
   
u3   F 
3k 
Volviendo al problema
1
u1=0 y u4=0
u2  2 1 F 
  k
  
u3  1 2  0 
U11  k1 k1 0  U11  
2F 3

 1  
2F   1   2F 
U2  k1 k1  3k  U 2  
 3 

U11  k1 k1u1 
 1  
 
k
k
u2 
U2   1
1 
2F/3
2F 
u2  3k 
   
u3   F 
3k 

2F/3
U 22   k 2  k 2  u2 
 2  
 u 

k
k
2  3 
U 3   2
F/3
U 22  k2 k2
2F 3k 
 U22  
 F 3 

 2  
 F   2  F 
U 3  k2 k2 
 3k 
 U3  
 3

F/3

U 33   k3  k3  u3 
 3  
 u 

k
k
3  4 
U 4   3
F/3
U33  k3 k3F 3k U33   F 3 
 3  
   3   
U4  k3 k3  0  U4  F 3
F/3

Generalizando se tiene
K aa 
K 
 ba
d a 
d b 
Fa 
Fb 
K ab  d a  Fa 




K bb  d b  Fb 
Desplazamientos desconocidos
Desplazamientos conocidos
Fuerzas conocidas
Fuerzas desconocidas
Resolviendo la primera fila se tiene
K aa da   K ab db   Fa   K aa da   Fa   K ab db 
1
da   K aa  Fa   K ab db 
Resolviendo la segunda fila se tiene
K aa 
K 
 ba
K ab  d a  Fa 



Kbb  d b  Fb 
K ba da   K bb db   Fb 


Fb   K ba  K aa  Fa   K ab db   K bb db 
1
Estructuras en 2-D
Elemento barra
Vj
vj
y
Vi
uj
vi
a
ui
Ui
x
Uj
Modelo matemático
U i1   k11
 1 
Vi  k 21
 1 
U j  k31
V j1  k 41
 
 k11
k
K e   21
 k31

k 41
 
k12
k 22
k32
k 42
k13
k 23
k33
k 43
k12
k13
k 22
k32
k 23
k33
k 42
k 43
k14   ui 
 
k 24   vi 
 

k34 u j 
 
k 44  v j 
k14 
k 24 
k34 

k 44 
Cómo determinamos K
U i1   k11
 1 
Vi  k 21
 1 
U j  k31
V j1  k 41
 
k12
k 22
k32
k 42
k13
k 23
k33
k 43
k14   ui 
 
k 24   vi 
 
k34  u j 

k 44  v j 
Vj
vj
y
Vi
a
vi
Ui
ui
x
Aplico condiciones de borde dadas por:
ui  0,
uj Uj
vi  u j  v j  0
d
u
Vi
F  U i2  Vi2
F
cosa 
d
k12
k 22
k32
k 42
 d  ucosa
U i  kd cosa
Ui  ku cos a
2
Vi kdsena
Vi  Fsena
U i1   k11
 1 
Vi  k 21
 1 
U j  k31
V j1  k 41
 
u
U i  F cosa
Ui
u
d
F  kd
k13
k 23
k33
k 43
k14   ui 
 
k 24   vi 
 
k34  u j 

k 44  v j 
Vi  ku cosa.sena
Ui  k11u
 k11  k cos a
Vi  k21u
 k21  k cosa.sena
2
U i1   k11
 1 
Vi  k 21
 1 
U j  k31
V j1  k 41
 
k12
k 22
k32
k 42
V j  k41u
k13
k 23
k33
k 43
k14   ui 
 
k 24   vi 
 
k34  u j 

k 44  v j 
U j  k31u
 k31  k cos2 a
U j  U i
V j  Vi
 k41  k cosa.sena
Para las otras columnas se procede con las siguientes
condiciones de borde
vi  0,
ui  u j  v j  0
u j  0,
ui  vi  v j  0
v j  0,
ui  vi  u j  0
MATRIZ de RIGIDEZ en 2-D
cos2 a cosa .sena
cos2 a
cosa .sena


2
2
sen a
cosa .sena
sen a 
EA 
e
K  L 
cos2 a
cosa .sena 


2
sen a 
 Sim.
Tarea:
Determinar matriz de rigidez de elemento barra en 3-D
j
z
y
a
i
b
x
Estructuras en 2-D
Elemento Viga
vj, Vj
vi, Vi
j, Mj
i, Mi
ui, Ui
 U i   k11
V  
 i  k 21
M i  k31
U   
 j  k 41
V j  k51
  
M j  k61
k12
k 22
k32
k 42
k52
k62
uj, Uj
k13
k 23
k33
k 43
k53
k63
k14
k 24
k34
k 44
k54
k64
k15
k 25
k35
k 45
k55
k65
k16   u 
i

k 26   vi 
 
k36   i 
 
k 46  u j 
v
k56   j 
  
k66   j 
Determinación de los coeficientes
Observe que los GdL correspondientes a U, son los que
cuantifican la tracción y compresión, además nunca
producirán flexión. Por lo tanto hay una total independencia
con las otras variables.
 EA
U i  
V   L
 i   0
M i   0
 U    EA
 j  
V j   L
   0
M j  
 0
0
0
k 22
k32
k 23
k33
0
0
k52
k53
k62
k63
EA
0
L
0
k 25
0
k35
EA
0
L
0
k55

0
k65

0 u 
i
k 26   vi 
 
k36   i 
 u j 
0  
vj 


k56   
 j
k66 
Determinación de los coeficientes
Condiciones de borde dadas por:
vi  0,
ui  i  u j  v j   j  0
vj, Vj
vi, Vi
i, Mi
x
Ecuaciones:
d2y
EI 2  M ( x)
M ( x)  Vi x  M i
dx
d2y
EI 2  Vi x  M i
dx
dy
x2
EI
 Vi
 M i x  c1
dx
2
x3
x2
EIy  Vi
 Mi
 c1 x  c2
6
2
j, Mj
x
Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene
dy
x2
EI
 Vi
 M i x  c1
dx
2
x3
x2
EIy  Vi
 Mi
 c1 x  c2
6
2
dy
 i  0
dx x 0

 L  V   0 
i




L2  M i   EI 

2 
0  c1
y x 0  vi  1

dy
0
dx x  L
L2
0  Vi
 MiL
2
L3
L2
0  Vi  M i
 EI
6
2
y xL  0
 L2
2
 3
L
 6

12EI
L3
6 EI
Mi  2
L
Vi 
Vi  k22 vi
V j  k 52 vi
Vi  V j
M i  k32 vi
M j  k 62 vi
M j   M i  Vi L
EI  c2
12EI
L3
6 EI
k32  2
L
12EI
k52   3
L
6 EI
k62  2
L
k 22 
Condiciones de borde dadas por:
i  0,
ui  vi  u j  v j   j  0
vj, Vj
vi, Vi
i, Mi
x
Ecuaciones:
d2y
EI 2  M ( x)
M ( x)  Vi x  M i
dx
d2y
EI 2  Vi x  M i
dx
dy
x2
EI
 Vi
 M i x  c1
dx
2
x3
x2
EIy  Vi
 Mi
 c1 x  c2
6
2
j, Mj
x
Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene
dy
x2
EI
 Vi
 M i x  c1
dx
2
x3
x2
EIy  Vi
 Mi
 c1 x  c2
6
2
dy
 i  1
dx x 0
y x 0  vi  0
dy
0
dx x  L
y xL  0
 L2
2
 3
L
 6

 L   V    EI 
i


2 
L  M i   EIL

2 
6 EI
L2
4 EI
Mi 
L
Vi 
Vi  k23 i
V j  k 53 i
Vi  V j
M i  k33 i
M j  k 63 i
M j   M i  Vi L


EI  c1
0  c2
L2
0  Vi
 M i L  EI
2
L3
L2
0  Vi  M i
 EIL
6
2
6 EI
L2
4 EI
k33 
L
6 EI
k53   2
L
2 EI
k 63 
L
k 23 
Condiciones de borde dadas por:
v j  0,
ui  vi   i  u j   j  0
vj, Vj
vi, Vi
i, Mi
x
Ecuaciones:
d2y
EI 2  M ( x)
M ( x)  Vi x  M i
dx
d2y
EI 2  Vi x  M i
dx
dy
x2
EI
 Vi
 M i x  c1
dx
2
x3
x2
EIy  Vi
 Mi
 c1 x  c2
6
2
j, Mj
x
Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene
dy
x2
EI
 Vi
 M i x  c1
dx
2
x3
x2
EIy  Vi
 Mi
 c1 x  c2
6
2
dy
 i  0
dx x 0

 L  V   0 
i
 
2 
L M
EI
  i   
2 
0  c1
y x 0  vi  0

dy
0
dx x  L
L2
0  Vi
 MiL
2
L3
L2
EI  Vi  M i
6
2
y xL  1
 L2
2
 3
L
 6

12EI
Vi   3
L
6 EI
Mi   2
L
Vi  k 25 v j
V j  k55 v j
Vi  V j
M i  k 35 v j
M j  k 65 v j
M j   M i  Vi L
0  c2
12EI
L3
6 EI
k35   2
L
12EI
k55  3
L
6 EI
k65   2
L
k 25  
Condiciones de borde dadas por:
 j  0,
ui  vi   i  u j  v j  0
vj, Vj
vi, Vi
i, Mi
x
Ecuaciones:
d2y
EI 2  M ( x)
M ( x)  Vi x  M i
dx
d2y
EI 2  Vi x  M i
dx
dy
x2
EI
 Vi
 M i x  c1
dx
2
x3
x2
EIy  Vi
 Mi
 c1 x  c2
6
2
j, Mj
x
Aplicando a condiciones de borde a las ecuaciones se tiene
dy
x2
EI
 Vi
 M i x  c1
dx
2
x3
x2
EIy  Vi
 Mi
 c1 x  c2
6
2
dy
 i  0
dx x 0

 L   V   EI 
i
 
2 
L M
0
  i   
2 
0  c1
y x 0  vi  0

dy
1
dx x  L
L2
EI  Vi
 MiL
2
L3
L2
0  Vi  M i
6
2
y xL  0
 L2
2
 3
L
 6

6 EI
Vi  2
L
2 EI
Mi 
L
Vi  k 26 j
V j  k56 j
Vi  V j
M i  k 36 j
M j  k66 j
M j   M i  Vi L
0  c2
6 EI
L2
2 EI
k36 
L
6 EI
k56   2
L
4 EI
k 66 
L
k 26 
Matriz de rigidez Elemento Viga
 EA

EA
0
0

0
0 
 L
L
12EI
6EI
12EI 6EI 
U i  
0
 3
ui 
3
2
2
   0
L
L
L
L v 
Vi

i
 
6EI
4
EI
6EI
2EI




0
0

M i 
2
2
 i 

L
L
L
L

 
u 
U
EA
EA
 j 
 j  
0
0
0
0  v

L
L
V j 
 j 
12EI
6EI
12EI
6EI 
   0
 3
 2
0
 2  j 
3
M j  
L
L
L
L 

6EI
2EI
6EI
4 EI
 0

0

2
2

L
L
L
L 
Ejemplo:
3
v3,
Barra
u3,
v2,
1
45
u2,
2
F
Viga
v1,
1.0m
1,
v2,
u1,
2,
u2,
Barra
cos2 135 cos135.sen135
 cos2 135
 cos135.sen135


sen 2135
 cos135.sen135
 sen 2135 
EA 
e
K 
L 
cos2 135
cos135.sen135 


sen2135
 Sim.

 
v3,
u3,
135
v2,
u2,
 1 1 1 1 
 1 1 1  1
EA


Ke 
2 2 L  1 1 1  1


1

1

1
1


 
U 2b 
 1  1  1 1  u 2 
 b

 
EA  1 1 1  1 v2 
V2 
 b 
 



1
1
1

1
2
2
L
U
 3
u3 

 
V3b 
1

1

1
1

  v3 
Viga
v1,
1,
v2,
u1,
2,
u2,
 EA
0
 L

12EI
 U1   0
L3
V  
6 EI
 1  
M 1   0
L2

   EA
 U 2  
0
V2   L
12EI
   0

M
 2 
L3
6 EI

0

L2
 EA
0
 L

12EI
 0
L3

6 EI
 0
L2
K e  
EA
0

L

12EI
 0
 3
L

6 EI

0

L2
6 EI
L2
4 EI
L
 
0
6 EI
L2
4 EI
L
0
6 EI
L2
2 EI
L


EA
L
0
0
EA
L
0
0
0
12EI
L3
6 EI
 2
L
0
EA
L
6 EI
L2
2 EI
L

12EI
L3
6 EI
 2
L
EA
L
0
0
0


0
0
0


6 EI 
 u 
L2   1 
2 EI   v1 
L  1 
 u2 
0  
v
 2 
6 EI
 2   2 
L 
4 EI 
L 
0
0
12EI
L3
6 EI
 2
L

0
12EI
L3
6 EI
 2
L


6 EI 

L2 
2 EI 
L 

0 

6 EI 
 2
L 
4 EI 
L 
0
Ensamble de matrices
 EA
0
 L

12EI
 0
 R1x  
L3
R  
6 EI
0
1
y
  
2
L
 M 1   EA
  
0
 0   L
 
12EI
 3
 F   0
L
 0  

6 EI
 
0
R

2
 3x 
L
 R3 y  
   0
0


0
 0

0

6 EI
L2
4 EI
L
0
6 EI
L2
2 EI
L

0
0
EA
L
0
0
EA EA

L
2L
EA
0
2L
0

EA
2L
EA
2L
0
0
12EI
L3
6 EI
 2
L
EA
0
2L
12EI EA

L3
2L
6 EI
 2
L
EA
2L
EA

2L
6 EI
L2
2 EI
L

0
6 EI
L2
4 EI
L

0
0
0
0
0

EA
2L
EA
2L
0
EA
2L
EA

2L



0 
 u1 
 
0   v1 

EA  1 
 
2 L  u2 
EA  v 

 2

2 L  
 2 
0  u3 

EA   v3 

2L 
EA 

2L 
0
Aplicando condiciones de borde
 EA
0
 L

12EI
 0
L3
 R1x  
6 EI
R  
0
1
y

 
L2
M R1   EA
0

 
0

  L


12EI

F
 3

  0
L
 0  
6 EI

 
0
R
 3x  
L2
 R3 y  


0
 0

 0
0

0

6 EI
L2
4 EI
L
0
6 EI
L2
2 EI
L

0
0
EA
L
0
0
EA
EA

L 2 2L
EA
0
2 2L
0
EA
2 2L
EA
2 2L

0
0
12EI
L3
6 EI
 2
L
EA
0
2 2L
12EI
EA

L3
2 2L
6 EI
 2
L
EA
2 2L
EA

2 2L
6 EI
L2
2 EI
L

0
6 EI
L2
4 EI
L

0
0
0
0
0
EA
2 2L
EA
2 2L

0
EA
2 2L
EA

2 2L



0 
 u1 
0   v1 

EA  1 
 
2 2 L  u2 
EA  v 

 2

2 2 L  
 2
 
0  u3 

EA   v3 

2 2L 
EA 

2 2 L 
0
 EA EAb
 L  2 2L
 0  
EAb
  

F


 
2 2L
 0  
  
0


EAb
2 2L
EAb
12EI

L3
2 2L
6 EI
 2
L



u2 

6 EI  
 2   v2 
L  
4 EI   2 

L 
0
F=10000
E=2.0x1011 Pa
L= 1.0 m
A=0.01 m2
Ab=0.001 m2
I=8.33x10-6 m4
 4 .65 9 1 0 6 

 u2 
 v2  
4
   1 .36 4 1 0 
 2  
4

2
.04
7

1
0


Cambio de Coordenadas Viga
v1,
1,
v2,
2,
u2,
u1,
v2,
2,
u2,
1,
v1,
u1,
 EA
0
 L

12EI
U i   0
V  
L3
i
  
6 EI
M i   0
L2
 U    EA
 j  
0
V j   L
12EI
   0
 3
M j  
L
6 EI

 0
L2
U i 
 k11
V 
k
i
 
 21
M i 
k31


U 
j
k 41
 
k51
V j 

 
M
 j G k61
0
6 EI
L2
4 EI
L
0
6 EI
L2
2 EI
L


EA
L
0
0
0
12EI
L3
6 EI
 2
L

EA
L
0
0
0
12EI
L3
6 EI
 2
L
k12
k13
k14
k15
k 22
k 23
k 24
k 25
k32
k 42
k33
k 43
k34
k 44
k35
k 45
k52
k53
k54
k55
k62
k63
k64
k65


6 EI 
  ui 
L2   v 
2 EI   i 
L   i 
 u j 
0  
v
 j 
6 EI   
 2  j
L 
4 EI 
L 
0
k16   u 
i

k 26   vi 
 
k36   i 
  
k 46  u j 
v
k56   j 
  
k66  G  j G
Transformación de Coordenadas
Y
p
Yp
a
y
a
yp
x
xp
a
Y0
X0
X P  X 0  x p cos(a )  y p sin(a )
YP  Y0  x p sin(a )  y p cos(a )
X
Xp
 X   X  cos(a )  sin(a )  x 
    
 y
Y
Y
sin(
a
)
cos(
a
)
 P  0 
  P
Y
r   r   Rr 
p
p G
x
y
rpL
rp
a
r0
0 G
cos(a )  sin(a )
R  

sin(
a
)
cos(
a
)


X
Si hacemos coincidir los orígenes de los sistemas coordenados tenemos


rp G  Rrp L
p L
Donde R es la matriz de
rotación en 2-D
Se puede ampliar a cualquier tipo de vector
Si se trata de fuerzas tenemos


f p G  Rf p L
cos(a )  sin(a )
R  

sin(
a
)
cos(
a
)


Observe que R es una matriz ortogonal, entonces su inversa es
igual a la traspuesta.
Por otra parte se tiene

1 
f p L  R  f p G
FG  K G d G
FL  K L d L
F L  K L d L
1
1
R  F G  K L R  d G
1
1
R R  F G  R K L R  d G
F G  K G d G
1
K G  R K L R 
Tarea:
Determinar matriz de rigidez de elemento viga en 3-D
j
z
y
a
i
b
x