Transcript Par divvirzienu galīgiem automātiem

Par divvirzienu galīgiem
automātiem
Kaspars Balodis
Vadītājs: prof. R.M.Freivalds
Galīgi automāti
Divvirzienu galīgi automāti
Automāti
•
•
•
•
•
Determinēti
Nedeterminēti
Alternējoši
Varbūtiski
[Ultrametriski, kvantu, frekvenciāli]
2FA complexity theory
• Apskata valodu klases (Lh)h1 un to, kā pieaug
atbilstošās valodas atpazīstošo automātu
(Ah)h1 stāvokļu skaits
• 2D – tās valodu klases, kuras var atpazīt ar
polinomiāla izmēra 2DFA
• Analoģiski – 2N, 2A, 2P2, ...
Kāpēc pētīt divvirziena automātus?
• Ja Tjūringa mašīnām P vs NP ir grūti atrisināt,
varbūt jāsāk ar vienkāršākām mašīnām –
galīgiem automātiem
• Līdzīga sarežģītības teorija – ar redukcijām,
sarežģītības klasēm, pilnām problēmām, utt.
• Ir arī ne tikai konceptuāla saistība – ja izdotos
pierādīt, ka 2D2N*, no tā sekotu, ka NL L
* - izmantojot polinomiāla izmēra instances
Ultrametriski automāti
• Varbūtisku automātu vispārinājums
• Pārejas varbūtību vietā – amplitūdas (p-adiski
skaitļi)
p-adiski skaitļi
• p – pirmskaitlis
• Reāliem skaitļiem var būt bezgalīgi daudz
ciparu pa labi no komata, piem., 1.428571...
• p-adiskiem – bezgalīgi daudz pa kreisi no
komata, piemēram, ...1251251253341012
• Ultrametriskā norma
• 𝑥 = ±2𝑎2 3𝑎3 5𝑎5 7𝑎7 ...
𝑝−𝑎𝑝 , 𝑗𝑎 𝑥 ≠ 0
• ||𝑥||𝑝 =
0, 𝑗𝑎 𝑥 = 0
Ultrametriski automāti
• Varbūtisku automātu vispārinājums
• Pārejas varbūtību vietā – amplitūdas (p-adiski
skaitļi)
• Pēc vārda apstrādes, salīdzina akcepējošo
stāvokļu amplitūdu ar uzdotu slieksni
– ja pārsniedz – akceptē vārdu, citādi noraida
Ultrametriski automāti
• Ar zināmiem nosacījumiem var panākt, ka
akceptē tikai regulārās valodas (t.i. tās pašas,
ko DFA)
• Savukārt stāvokļu sarežģītība var krietni
atšķirties
– kur tie atrodas 2FA complexity theory bildē?
Frekvenciāli automāti
• Frekvenciālas skaitļošanas jēdzienu ieviesa
G.Rose 1960. gadā
• Akceptē valodu ar frekvenci (m,n)
• Ieejā ir n dažādi vārdi
• Automātam jāizdod pareizā atbilde
(akceptēt/neakceptēt) uz vismaz m no tiem
• Netiek prasīts zināt, uz kuriem ir izdota pareizā
atbilde
Ar frekvenci (1,2) – kontinuums dažādu
valodu
• Uztver vārdu w kā bināri pierakstītu skaitli 0.w
𝑛
• Lx = { w | val(w) < x }
𝑤 2−𝑖
𝑖
𝑖=1
• Frekvenciāls automāts:
– akceptē mazāko vārdu, noraida lielāko
• Uz vismaz viena no vārdiem būs atbildēts
pareizi (neatkarīgi no x)
Divvirzienu frekvenciāli automāti
• Ja valodu var atpazīt ar frekvenci (m,m), tad tā
ir regulāra
• Ar frekvenci (m–k,m) var atpazīt jebkuru
valodu, ko var ar 2DFA ar k lineāriem
skaitītājiem
– k garākos vārdus var izmantot kā skaitītājus, lai
atpazītu pārējos vārdus
Skaitītāji <-> galviņas
• Zināmai valodu klasei (‘‘bounded languages’’)
2DFA ar k lineāriem skaitītājiem un 1 galviņu ir
ekvivalents 2DFA ar k+1 galviņu
– vienā virzienā vienkārši – izmanto galviņas kā
skaitītājus
Divas galviņas
• Var uzskatīt, ka automāts staigā pa 2D
kvadrātu
X1
x2
...
xn
x1
(x1, x1)
(x1, x2)
...
(x1, xn)
x2
(x2, x1)
(x2, x2)
...
(x2, xn)
...
...
...
...
...
xn
(xn, x1)
(xn, x2)
...
(xn, xn)
Viens lineārs skaitītājs viena burta
alfabētā
• Var atpazīt, vai vārda garums ir 2n
• Var atpazīt, vai vārda garums ir 11p, kur p –
pirmskaitlis
• Nav zināms, vai var atpazīt garumu n2
Publikācijas
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Scott Aaronson, Andris Ambainis, Kaspars Balodis, Mohammad Bavarian. Weak Parity. Iesniegts CCC
2014.
Kārlis Jēriņš, Kaspars Balodis, Rihards Krišlauks, Kristīne Cīpola, Rūsiņš Freivalds. Ultrametric query
algorithms. SOFSEM 2014.
Ilja Kucevalovs, Kaspars Balodis and Rūsiņš Freivalds. Co-learning of Functions by Probabilistic
Algorithms. 3CA 2013.
Kaspars Balodis. One Alternation Can Be More Powerful Than Randomization in Small and Fast TwoWay Finite Automata. FCT 2013.
Andris Ambainis, Kaspars Balodis, Jānis Iraids, Raitis Ozols, Juris Smotrovs. Parameterized Quantum
Query Complexity of Graph Collision. Workshop on Quantum and Classical Complexity, 2013.
Andris Ambainis, Artūrs Bačkurs, Kaspars Balodis, Juris Smotrovs, Agnis Škuškovniks, Madars Virza.
Worst case analysis of non-local games. SOFSEM 2013.
Kaspars Balodis et al. On the State Complexity of Ultrametric Finite Automata. SOFSEM 2013.
Andris Ambainis, Arturs Backurs, Kaspars Balodis, Dmitrijs Kravcenko, Raitis Ozols, Juris Smotrovs,
Madars Virza. Quantum Strategies Are Better Than Classical in Almost Any XOR Game. ICALP 2012
Jānis Iraids, Kaspars Balodis, Juris Čerņenoks, Mārtiņš Opmanis, Rihards Opmanis, Kārlis Podnieks.
Integer Complexity: Experimental and Analytical Results. Scientific Papers University of Latvia, 2012.
Kaspars Balodis, Anda Beriņa, Gleb Borovitsky, Rūsiņš Freivalds, Ginta Garkāje, Vladimirs Kacs, Jānis
Kalējs, Iļja Kucevalovs, Jānis Ročāns, Madars Virza. Probabilistic and Frequency Finite-State
Transducers. SOFSEM 2012.
Kaspars Balodis, Ilja Kucevalovs, Rūsiņš Freivalds. Frequency prediction of functions. MEMICS 2011
Paldies par uzmanību!
Jautājumi?