keisoku22 FFT
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復習
単純移動平均の周波数特性
• 位相は変化しない
• 振幅特性(ゲイン)は
1
G
2f
2(1 cos 2f )
ただし t : サンプリング間隔
fs : サンプリング周波数(
f : 信号周波数
M : 移動平均点数
: Mt [ s ]
1 / t )
相関法
• 2つの時系列信号x(t), y(t)の関係の深さ、類
似度を表す
音の伝播
相関利用の例
A
B
A点で観測
B点で観測
この遅れ時間の測定に相関を利用する
相互相関関数
1
(m) x(i) y (i m)
N
N 1
xy
i 0
m=0の時
x
x(0)
y
y(0)
10
20
10
20
Φ(m)
m
相互相関関数
1
(m) x(i) y (i m)
N
N 1
xy
i 0
m=5の時
x
x(0)
y
y(5)
Φ(m)
10
20
m
相互相関関数
1
(m) x(i) y (i m)
N
N 1
xy
i 0
m=10の時
x
x(0)
y
y(10)
Φ(m)
10
20
m
相互相関関数
1
(m) x(i) y (i m)
N
N 1
xy
i 0
m=15の時
x
x(0)
y
y(15)
Φ(m)
10
20
m
計測工学21
相関関数
相関法の注意点
•
相関法を行う前に、データの平均を0にしておく(データから平均を差し引いておく
=オフセットを除去する)
x(t ), y (t )は平均0のデータであるとする
今、オフセットのある
。
データ
X (t ) x(t ) C , Y (t ) y (t ) D
を観測したとする。こ
1
XY (m)
N
N 1
X (i)Y (i m)
i 0
N 1
1
N
x(i) C y(i m) D
1
N
N 1
1
N
i 0
x(i) y(i m) Dx(i) Cy (i m) CD
i 0
N 1
1
x(i ) y (i m) D
N
i 0
1
N
となり、オフセットが
xy (m) C
(1)上式第
(2)第
の時、 X (t ), Y (t )で相関を求めると
N 1
1
x(i ) C
N
i 0
N 1
1
y (i m) CD
N
i 0
N 1
1
i 0
N 1
y(i m) CD
i 0
大きい場合、
3項CDが大きく、相関関数の 変化が埋もれて見えに くくなる
2項の値が0とならず、
などの影響が出る。
mによって値が変わるた め、相関関数の形その ものがかわる
自己相関関数
• 相互相関関数の式におけるy(t)をx(t)に置き換え、自分自身
との相関をみる
N 1
1
xx (m)
N
x(i) x(i m)
i 0
相互相関関数(2つの波形の相関関数)
自己相関関数(1つの波形の相関関数)
x(i)
x(i)
m
y(i+m)
x(i+m)
自己相関関数の性質
• 自己相関関数の性質
– 偶関数 Φxx(m)=Φxx(-m)
-m
m
– m=0で最大(2つの波形の類似度最大)
– 不規則信号では、Φxx(0)以外はΦxx(m)=0
– 周期関数に対しては、Φxx(m)も周期関数
(Φxx(m)が最大となるところで、関数の周期がわかる)
計測工学22
フーリエ変換、DFT
周波数領域における信号解析
フーリエ級数展開
繰り返し波形
周期 T
b1 sin
基本波
2
t
T
2
b2 sin
2t
T
2
a2 cos
2t
T
2
b3 sin
3t
T
a1 cos
高調波
2
t
T
フーリエ級数展開 式
• 周期Tの繰り返し波形x(t)は
a0
2
2
2
2
x(t )
a1 cos t b1 sin
t a 2 cos 2t b2 sin
2t ・・・
2
T
T
T
T
a0
2
2
a n cos nt bn sin
nt
2 n 1
T
T
となる
フーリエ係数の求め方
T
2
a0 x(t )dt
T 0
直流分
2
2nt
an x(t ) cos
dt
T 0
T
T
2
2nt
bn x(t ) sin
dt
T 0
T
T
例) a1
n=1のとき基本波
n>1のとき高調波
2 a
2t
2t
2 2t
a1 0 a1 cos
b1 sin
a2 cos
・・・
T 0 2
T
T
T
T
2t
dt
cos
T
2 a0
2t
2t
2t
2t
2t
cos
dt
a
cos
cos
dt
b
sin
cos
dt ・・・
1 T
1 T
T 2
T
T
T
0
0でない
0
演習
• Excelのシート「フーリエ級数基礎」で、正弦波
どうしの積が、同じ周期同士の場合のみ0で
ないことを確認する。(演習1)
• また、sin(2πft)+sin(2π3ft)の波形についてフー
リエ級数展開を試み、フーリエ係数を求める(
演習2)
離散フーリエ変換
• フーリエ級数展開
– 繰り返し波形を基本波と高調波の和として表す
• フーリエ変換
– 繰り返しでない波形についても各周波数成分の和として
表す
– フーリエ級数展開における周期Tが∞になったと考えても
よい(基本波の周波数が1/∞に低くなり、周波数の間隔が
1/∞に小さくなり、周波数成分は連続になる)
• 離散フーリエ変換
– サンプリングした波形についてフーリエ級数展開
– サンプリングしたデータの繰り返し波形についてのフーリ
エ級数展開
– サンプリング周波数fsに対してfs/2までの周波数成分でサ
ンプリングされたデータを表す。
離散フーリエ変換
フーリエ級数展開(離散有限フーリエ逆変換(IDFT))
a0 N / 21
2km
2km aN / 2
2 ( N / 2)m
xm ak cos
bk sin
cos
2
N
N
2
N
k 1
ただし、 m 0,1, 2・・・
,
, ( N 1)
離散有限フーリエ変換(DFT)
N 1
2km
, k 0,1, 2・・・
,
N
2
ak
N
m 0
2
bk
N
2km
xm sin
, k 0,1, 2・・・
,
N
m 0
xm cos
N 1
N
,
2
N
, 1
2
演習
• Excelのシート「離散フーリエ変換(DFT)」の
演習3を行い、DFTを計算してみよう。
• 練習問題をやってみよう。