Transcript 预测（2）
第八讲:预测方法(二)
_____时间预测方法
随机时间序列预测方法
许多经济现象都是了随机现象，需用随机时间序列
描述，因此，使用随机序列模型预测会比确定性模型更精
确。
勃克斯—詹金斯预测法，它是由美国的G.E.P.Box和
英国G.M.Jenkins在20世纪60年代末研究成功的。这种时
间序列预测方法是解决时间序列问题最普遍的、有效的方
法。由于这种方法在理论上比较完美，在实际应用中预测
精度比较高，因而在许多领域得到了广泛的应用。
平稳随机时间序列的基本概念
如果随机序列的统计特性不随时间变化，这样的随机
时间序列称为是平稳随机时间序列；反之称为非平稳时
间序列。
如果时间序列 yt （ｔ＝1，2，…）满足如下条件：
（1） 对一切ｔ，均有 t m ；
（2） 对一切ｔ，均有
Eyt , yt k E yt m yt k m k
k 0, 1, 2,
即自协方差函数与ｔ无关，则称时间序列 yt 为广义平稳随机时间序列，简称为广义平稳序
列（或宽平稳序列）
。
平稳序列 yt 的自协方差函数 k 具有如下性质：
（1） 0 E yt m 0 ；
2
（2） k 0 ；
（3） k k ，即自协方差函数具有对称性；
（4） k（ｋ＝1，2，…）是一个非负定的序列，即对任意的正整数ｎ、实数 a1 , a2 ,, an
有
n
n
a a
j 1 i 1
j
i
j i
0
为方便，可假定 E yt 0 。否则作变换 yt yt m 。
序列yt 的样本自协方差函数为
1 nk
ˆk yt ytk
n t1
序列yt 的样本自相关函数
为
k
rˆ k
0
k 0, 1, 2, , n 1
如果一个时间序列 et 满足如下条件：
（1） Eet 0
2 i j
（2） Cov (ei , e j )
0 i j
则称序列 et 为一白噪声序列。通常我们把除开预测模型内的影响因素外的各种外部因素造
成的随机干扰等效为一白噪声序列。
随机时间序列模型
自回归模型（又称为AR模型）形式为：
yt 1 yt 1 2 yt 2 p yt p et
我们规定移位算子 B：
Byt yt 1 , B 2 yt yt 2 ,, B p yt yt p
则（3－8－1）式可记为
1 B B
1
2
2
p B p yt et
记
1 B B
1
2
2
p B p p B
方程 p 0 称为模型（3－8－1）的特征方程，其根 称为模型特征根。当ｐ个特征根
都在单位园外，即当
i 1 i 0, 1, 2, , p 时，由（3－8－1）式所对应的齐次线性差分
方程的解随ｔ无限增大而趋于零，即 yt 是平稳的，故
稳性条件。
i 1 i 0, 1, 2, , p 是模型的平
移动平均模型（即MA模型）的一般形式为
yt et 1et 1 2 et 2 q et q
如果定义ｑ阶移动平均算子多项式为
H q (B) 1 1 B 2 B 2 q B q
则（3－8－2）式可简记为
yt H q (B)et
方程 H q ( ) 0 称为模型（3－8－2）的特征方程，其根称为模型的特征根。当 q 个特征根
都在单位园外，即当
i 1 i 0, 1, 2, , q 时， H 1 q ( B) 收敛，故移动平均模型（3－8
－2）便可转换为自回归模型
H 1q ( B) yt et
此时称时间序列为可逆的。故
i 1 i 0, 1, 2, , q 为时间序列可逆的条件。
自回归－移动平均模型
自回归－移动平均模型（即 MRMA 模型）的一般形式为
yt 1 yt 1 2 yt 2 p yt p et 1et 1 2 et 2 q et q
（3－8－3）
该模型既包括了自回归部分又包括了移动平均部分的混合模型，记为 ARMA p, q 模型也可
写成算子形式
p ( B) yt H q ( B)et
（3－8－4）
在满足可逆性条件下，自回归－移动平均模型可以转换为一个无限阶纯自回归模型
1
H q ( B) p ( B) yt et
当满足平稳性条件时，自回归－移动平均模型可以转换为一个无限阶纯移动平均模型
1
yt p ( B) H q ( B)et
模型识别
自回归模型的识别
设 AR（ｐ）模型为
yt 1 yt 1 2 yt 2 p yt p et
（3－8－1）
用 yt k 乘（3－8－3）式两边，并求期望得
E yt k , yt E yt k 1 yt 1 2 yt 2 p yt p et
1 E yt k yt 1 2 E yt k yt 2 p E yt k yt p E yt k et
即， k 1 k 1 2 k 2 p k p k 0 e
2
式中
1
0
k0
（3－8－5）
k 0
k 0
当 k 0 由（3－8－5）式，得
k 1 k 1 2 k 2 p k p
（3－8－6）
（3－8－6）式两端同乘以
1
0
得
r k 1 r k 1 2 r k 2 p r k p
取 k 0, 1, 2, , p ，并注意到 r 0 1及 r t
（3－8－7）
r t ，得
r1 1 2 r1 3 r 2 p r p1
r 2 1 r1 2 3 r1 p r p2
…………………………………………..
（3－8－8）
r p 1 r p1 2 r p2 p
（3－8－8）式称为 Yｕle－Walker 方程，是识别模型的基本方程。 r k 应满足差分方程
p (B) r k 0
k 0
（3－8－9）
设特征方程 p ( ) 0 的特征根为 i i 0, 1, 2, , p ，则差分方程（3－8－9）的通解
为
rk C11k C2 2k C p pk
（3－8－10）
因我们假定了 yt 是平稳序列，则由平稳条件 i 1 i 0, 1, 2, , p 得，如果 i 为实根，
则当 k 时， Ci ik 按指数衰减到零；如果 i 为复根，则由（3－8－10）可知， r k 中
包含有衰减的正弦波。指数衰减与正弦衰减统称为几何衰减。故平稳的 AR（ｐ）序列的自
相关函数 r k 随着滞后期ｋ的增加呈几何衰减形式。这是 AR 模型识别的基本标志。
另一方面，假设 AR 模型的真实阶次是ｐ，则 yt k 的系数 k 应该在 k p 时等于零。将
AR1 的最末一个参数 1 记为 11 ， AR2 的最末一个参数 2 记为 22 ，…… AR p 的最
末一个参数 p 记为 pp ，则称序列 11 , 22 ,, pp 为偏自相关函数。 kk 的概率意义是已
知 yt 1 , yt 2 ,, yt k 1 的条件下， yt 与 yt k 的条件相关函数。
由上述可知 AR p 模型的偏自相关函数 kk 应在 k p 时截止为零。偏自相关函数提供了另
一个识别模型的条件。
移动平均模型的识别
设 MR（ｑ）模型为
yt et 1et 1 2 et 2 q et q
（3－8－12）
或
yt k et k 1et k 1 2 et 2 q et k q
（3－8－13）
用（3－8－13）式乘（3－8－3）式两边，并求期望得
E yt k , yt E et k 1et k 1 k 1et 1 k et k 1et 1 q et k q et 1et 1
q k et q k q 1et q 1 q et q
（3－8－14）
因 e t 为白噪声序列，故
0
E et et j 2
e
j0
j0
则（1）当ｋ＝0 时，由（3－8－14）得
0 e2 1 12 22 q2
（2）当 k q 时， k 0
（3）当 0 k q 时，由（3－8－14）式可得
k k e2 1 k 1 e2 q k q e2
e2 k 1 k 1 q k q
综合得
k
e2 1 12 22 q2
e2 k 1 k 1 q k q
0
k 0
0k q
（3－8－15）
kq
自相关函数为
1
1 k 1 q k q
rk k
2
2
2
1 1 2 q
0
k 0
0k q
（3－8－16）
kq
由（3－8－16）可见：当 k q 时， MA(q ) 模型的自相关函数 r k 为零，即 r k 在ｑ步以后
截止为零。这一特性是识别 MA 模型的阶次十分有用。
在实际中，常以 kk 的估计值 ˆ kk 代替，由于样本的随机性，当 k p 时 ˆ kk 不会全为
零，而是在零附近波动。如果在 Yｕle－Walker 方程中，用自相关函数的估计值 rˆ k 代替自
相关函数 r k ，则可以由方程（3－8－8）求得偏自相关函数的估计值 ˆ kk ，也可以用如下的
递推公式计算
ˆ11 rˆ 1
k
k
ˆ k 1,k 1 rˆ k 1 rˆ k 1 jˆ k , j 1 rˆ j ˆ k , j
j 1
j 1
ˆ
j 1, 2, , k
k 1, j ˆ k , j ˆ k 1,k 1ˆ k ,k 1 j
k 1
（3－8－11）
可以证明，当 k p 时， ˆ kk 的渐近分布为 N 0,
1
（ｎ为样本长度）。故由 3 原则得
n
2
P ˆ kk
95.5%
n
或
1
P ˆ kk
68.3%
n
于是对每一个大于零的ｋ值，逐个检验 ˆ k 1,k 1 ,ˆ k 2,k 2 ,,ˆ k m,k m （ｍ一般取 n 或
n
2
1
），看其中满足 ˆ kk
的比例是否达到 95.5%或满足 ˆ kk
的比例是否达到
10
n
n
68.3%。如果在 k 0, 1, 2, , p 1 处都没有达到，而在 k p 处达到了，则可以判断该平
稳序列为 AR p 序列。
在可逆的条件下，若特征根是实数，则偏自相关函数 kk 是两个衰减指数项和。如果特
征根是复数根，则 kk 是一个衰减正弦波。事实上，由 AR 模型与 MA 模型的等效性知，在满
足可逆条件下，MA 模型可转换为一个无限阶自回归模型，故其偏自相关函数不可能截尾，
一定是拖尾。
在实际中，常以 r k 的估计值 rˆ k 代替，由于样本的随机性，当 k q 时 rˆ k 不会全为零，
q
1
2
而是在零附近波动。可以证明，当 k p 时， rˆ k 的渐近分布为 N 0, 1 2 rˆ j （ｎ
n
j 1
为样本长度）
。故由 3 原则得
1
q
2
2
1 2 rˆ 2j
P rˆ k
95.5%
n
j 1
1
q
2
1
1 2 rˆ 2j
P rˆ k
68.3%
n
j 1
或
于是对每一个大于零的ｋ值，逐个检验 rˆ k 1 , rˆ k 2 ,, rˆ k m （ｍ一般取 n 或
满足
rk
1
2
n
）
，看其中
10
1
2
2
2
1 2 rˆ 2j 的比例是否达到 95.5%或满足 r k
1 2 rˆ 2j 的比
n
n
j 1
j 1
q
q
例是否达到 68.3%。如果在 k 0, 1, 2, , q 1处都没有达到，而在 k q 处达到了，则可
以判断该平稳序列为 MRq 序列。
回归－移动平均模型的识别
设 ARMA（ｐ，ｑ）模型为
yt 1 yt 1 2 yt 2 p yt p et 1et 1 2 et 2 q et q
（3－8－17）
用 yt k 乘（3－8－17）式两边，并求期望得
k 1 k 1 2 k 2 p k p k y, e 1 k 1 y, e q k q y, e
（3－8－18）
其中， k ( y, e) E yt k , et
也即，
不为0
0
k y, e
k0
k 0
（3－8－19）
由（3－8－17）式知，当 k q 时，有
k 1 k 1 2 k 2 p k p
（3－8－6）式两端同乘以
1
0
（3－8－20）
得
r k 1 r k 1 2 r k 2 p r k p
kq
（3－8－21）
ARMA(p ， q) 模 型 有 ｑ 个 自 相 关 函 数
rq , rq1 ,, r1 的 数 值 和 ｐ 个 自 回 归 参 数
1 , 2 ,, p 的 选 择 。 ｐ 个 自 相 关 函 数 rq , rq1 ,, rq p1 为 差 分 方 程
p Br k 0k q 提供了必要的初始值。如果 q p ，则自相关函数 r k k 0, 1, 2,
由衰减指数和衰减的正弦波组成，即呈几何衰减。如果 q p ，则有ｑ－ｐ＋1 个初始值
r0 , r1 ,, r q p 不遵循上述自相关函数按几何衰减。
由此可以得出 ARMA(p，q)模型的自相关函数的特性：
（1） 当 q p 时，全部的自相关函数 r k 呈几何衰减；
（2） 当 q p 时，有ｑ－ｐ＋1 个初值 r 0 , r1 ,, r q p 不遵循上几何衰减规律，而ｑ－
ｐ＋1 以后的 r k 均服从几何衰减规律。
综上所述，ARMA(p，q)模型的识别标志为：如果一个平稳序列的自相关函数 r k 和偏自
相关函数 kk 随ｋ的增加呈几何衰减，则该平稳序列为 ARMA 序列，其自回归阶数ｐ及移动
平均部分的阶数ｑ，可按下列方法估计。
（1） 若自相关函数 r k 在 k l 以后呈几何衰减，则 q p l 。
（2） 若偏自相关函数 kk 在 k s 以后呈几何衰减，则 p q s 。
在实际应用中，常是从低阶到高阶逐个取 p, q 为 1,1 ， 1,2 ， 2,1 ， 2,2 ，…..等
进行尝试，以得到一个较好的模型。
模型参数估计
回归模型的参数估计
在 Yｕle－Walker 方程中，用自相关函数的估计值 rˆ k 代替自相关函数 r k 得
rˆ k 1 rˆ k 1 2 rˆ k 2 p rˆ k p k 1 , 2 , , p
（3－8－22）
其矩阵形式为
1
rˆ 1
rˆ
p 1
rˆ 1
1
rˆ 2
rˆ 1
rˆ p 2
rˆ p 3
rˆ p 1 1 rˆ 1
ˆ
r p 2 2 rˆ 2
1 p rˆ p
（3－8－23）
由上述方程组解出 1 ,
ˆ1 1
ˆ 2 rˆ 1
ˆ rˆ
p p 1
2 , , p ，即得估计值 ˆ1 , ˆ 2 , , ˆ p ，即
1
rˆ 2
rˆ 1
rˆ p 2
rˆ p 3
rˆ 1
rˆ p 1
rˆ p 2
1
1
rˆ 1
rˆ 2
rˆ
p
（3－8－24）
此外，还要估计 Eet2 e2 。为此，在（3－8－5）式中令 k 0 得
0 1 1 2 2 p p e2
用 k 、 k 的估计值 ˆ k 、 ˆk 分别代替 k 、 k ，即得 e 的估计值
2
ˆ e2 ˆ0 ˆ1ˆ1 ˆ 2ˆ2 ˆ pˆ p
（3－8－25）
移动平均模型的参数估计
在 （ 3 － 8 － 15 ） 式 中 ， 用 ˆk 代 替 k ， 可 以 解 出 模 型 参 数 k 、 e2 的 估 计 值
ˆk k 1 , 2 , , p 及 ˆ e2 。
ˆk
ˆk
ˆ1ˆk 1 ˆ2ˆk 2 ˆq kˆq
2
ˆ e
ˆ e2
ˆ0
1 ˆ12 ˆ22 ˆq2
k 1, 2 , , q
（3－8－26）
（3－8－27）
上式直接求解一般较复杂，一般采用线性选代法逐步修正，其步骤是先给出 ˆ e2 ,ˆ1 ,ˆ2 ,,ˆq
的一组初值，例如取 ˆ 0 ˆ0 ,ˆ1 ˆ2 ˆq 0 ，将其代入（3－8－26）及（3－8－
27）两式的右端，可计算出第一次迭代值 ˆ e2 (1),ˆ1 (1),ˆ2 (1),,ˆq (1) 。再将第一次迭代值
代入（3－8－26）及（3－8－27）两式的右端，可计算出第二次迭代值。如此一步步迭代下
去，直到相邻两步之差达到预期的精度即止。
自回归－移动平均模型的参数的估计
分两步进行，第一步，先估计 1 ,
2 , , p ，第二步估计1 , 2 ,, q 。
由（3－8－21）式
r k 1 r k 1 2 r k 2 p r k p
kq
令 k q 1, q 2, , q p ，并用 rˆ k 代替 r k ，可得ｐ个方程
rˆ k 1 rˆ k 1 2 rˆ k 2 p rˆ k p k q 1 , q 2 , , q p
该 方 程 组 称 为 扩 充 的 Yule-Walker 方 程 组 ， 解 此 方 程 组 可 求 得
ˆ k k 1, 2 , , p 。
k 的 估 计 值
ˆ1 rˆ q
ˆ 2 rˆ q 1
ˆ rˆ
p q p 1
rˆ q 1
rˆ q
rˆ q 2
rˆ q 1
rˆ q p 2
rˆ q p 3
rˆ q 1 p
rˆ q 2 p
rˆ q
1
rˆ q 1
rˆ q 2
rˆ
q p
（3－8－28）
此时对于 ARMA 模型，定义
zt yt ˆ1 yt 1 ˆ 2 yt 2 ˆ p yt p
（3－8－29）
则
zt et 1et 1 2 et 2 q et q
（3－8－30）
其自协方差函数为
k z E z t , z t k
p
ˆ ˆ
i , j 0
i
j
k i j
式中记 ˆ 0 1 ，并用 ˆk i j ( z ) 代替 k i j (z ) 得到 z t 的自协方差函数的估计值为
ˆk z
p
ˆ ˆ ˆ
i , j 0
i
j
k i j
ARMA(p,q)序列预报
设平稳时间序列 yTt 是一个ARMA(p,q)
过程，则其最小二乘预测为：
yˆTt l E yT 1 yT ,..., y1
AR(p)模型预测
yˆTt l 1 yˆ T l 1 ... p yˆ T l p
l 1,2,...
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ARMA(p,q)模型预测
p
q
j 1
j 1
yˆ Tt l j yˆ T l j j ˆT l j
其中：
ˆT i E T i yT ,..., y1
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预测误差
预测误差为：
et l yt l yˆ t l 0 t l 1 t l 1 ... l 1 l 1
l 步线性最小方差预测的方差和预测步长 l有
关, 而与预测的时间原点t无关。预测步长越大，
预测误差的方差也越大，因而预测的准确度就
会降低。所以,一般不能用ARMA(p,q)作为长期
预测模型。
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预测的置信区间
预测的95%置信区间：
yˆ t l 1.96 0 1 ... l 1
2
2
2
1
2
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例题分析
•例1
设 X t 0.3 X t 1 0.4 X t 2 t 为一AR(2)序列，
其中 t ~ WN (0,1)。
求 X t 的自协方差函数 k 。
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解答：
Yule-Walker方程为：
0 1 1
1 2 2
1
2
即：
0.3 0 0.4 1 1
0.3 1 0.4 0 2
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且：
0 0.3 1 0.4 2 1
2
联合上面三个方程，解出：
0 100/ 63
1 50/ 63
2 55/ 63
k 0.3 k 1 0.4 k 2
k 1
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•例2
考虑如下AR(2) 序列：
X t 1.5 0.3 X t 1 0.5 X t 2 t
若已知观测值 X 50 7.64
t ~ IIDN (0,1)
X 49 7.47
（1）试预报 X 51 , X 52
（2）给出（1）预报的置信度为95%的预报区间
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解答：
（1）
X 50 1 1.5 0.3 7.64 0.5 7.47 7.527
X 50 2 1.5 0.3 7.527 0.5 7.64 7.5781
（2）
0 1, 1 1 0.3, 2 2 0.59
2
1
1 1
2
50
2
502 2 2 1 12 1.09
预报的置信度为95%的预报区间分别为：
X 50 k 1.96 50 k
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例3.1:考察如下四个模型的平稳性
(1) xt 0.8xt 1 t
(2) xt 1.1xt 1 t
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
(4) xt xt 1 0.5xt 2 t
例3.1平稳序列时序图
(1) xt 0.8xt 1 t
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
例3.1非平稳序列时序图
(2) xt 1.1xt 1 t
(4) xt xt 1 0.5xt 2 t
AR(1)模型平稳条件
特征根
平稳域
1
AR(2)模型平稳条件
xt 1 xt 1 2 xt 2 t
特征根
1
2
1 12 42
2
1 12 42
2
AR(2)模型平稳条件
特征根
1 2 1
12 2
所以，
2 1
2 1 12 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 12 1 2 1 1 1 1 2 1
{1 , 2 2 1，且 2 1 1}
AR(2)模型平稳条件
平稳域
{1 , 2 2 1，且 2 1 1}
例3.1:考察如下四个模型的平稳性
(1) xt 0.8xt 1 t
(2) xt 1.1xt 1 t
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
(4) xt xt 1 0.5xt 2 t
例3.1平稳性判别
模
型
特征根判别
平稳域判别
结
论
(1)
1 0.8
0.8
平稳
1 1.1
1.1
非
平稳
2 0.5,2 1 0.5,2 1 1.5
平稳
2 0.5,2 1 1.5,2 1 0.5
非
平稳
(2)
(3)
(4)
1
1 i
2
1 i
2
2
1 3 1 3
1
2
2
2
例3.2:求平稳AR(1)模型的方差
平稳AR(1)模型的传递形式为
t
i
i
xt
(1B) t 1 t i
1 1B i 0
i 0
Green函数为
G j 1 , j 0,1,
j
平稳AR(1)模型的方差
2
2j
Var( xt ) G 2j Var( t ) 1 2 2
1 1
j 0
j 0
协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘xt k , k 1，再求期望
E( xt xt k ) 1E( xt 1xt k ) p E( xt p xt k ) E( t xt k )
根据
E( t xt k ) 0
, k 1
得协方差函数的递推公式
k 1 k 1 2 k 2 p k p
例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差
递推公式
k 1 k 1 1k 0
平稳AR(1)模型的方差为
2
0
1 12
协方差函数的递推公式为
2
k 1k 2 , k 1
1 1
例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差
平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为
1 2
2
0 (1 )(1 )(1 )
2
1
2
1
2
1 0
1
1 2
k 1 k 1 2 k 2，k 2
自相关系数
自相关系数的定义
k
rk
0
平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式
rk 1rk 1 2 rk 2
p rk p
常用AR模型自相关系数递推公式
AR(1)模型
AR(2)模型
rk , k 0
k
1
1,
1
rk
1 2
1 r k 1 2 r k 2
k 0
k 1
k2
AR模型自相关系数的性质
拖尾性
p
r (k ) ci ik
i 1
c1, c2 ,, c p不能恒等于零
呈复指数衰减
p
r (k ) ci ik 0
i 1
例3.5:考察如下AR模型的自相关图
(1) xt 0.8 xt 1 t
(2) xt 0.8 xt 1 t
(3) xt xt 1 0.5 xt 2 t
(4) xt xt 1 0.5 xt 2 t
例3.5—
(1) xt 0.8xt 1 t
自相关系数按复指数单调收敛到零
例3.5:—
(2) xt 0.8xt 1 t
例3.5:—
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
自相关系数呈现出“伪周期”性
例3.5:—
(4) xt xt 1 0.5xt 2 t
自相关系数不规则衰减
偏自相关系数
定义
对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就
xt 1 , xt 2 ,, xt k 1
是指在给定中间k-1个随机变量
的
条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变
x t 对 影响的相关度量。用数
xt k
量的干扰之后，
学语言描述就是
r x ,x
t
t k
xt 1 ,, xt k 1
E[(xt Eˆ xt )(xt k Eˆ xt k )]
E[(x Eˆ x ) 2
t k
t k
偏自相关系数的计算
滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回
归模型第个k回归系数的值。
r1 k1 r 0 k 2 r1 kk r k 1
r r r r
2
k1 1
k2 0
kk k 2
r k k1 r k 1 k 2 r k 2 kk r 0
E[(xt Eˆ xt )(xt k Eˆ xkt )]
kk
E[(xt k Eˆ xt k ) 2 ]
偏自相关系数的截尾性
AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾
kk 0 , k p
例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图
(1) xt 0.8 xt 1 t
(2) xt 0.8 xt 1 t
(3) xt xt 1 0.5 xt 2 t
(4) xt xt 1 0.5 xt 2 t
例3.5—
(1) xt 0.8xt 1 t
理论偏自相关系数
0.8 , k 1
kk
,k 2
0
样本偏自相关图
例3.5:—
(2) xt 0.8xt 1 t
理论偏自相关系数
0.8 , k 1
kk
,k 2
0
样本偏自相关图
例3.5:—
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
理论偏自相关系数
2
,k 1
3
kk 0.5 , k 2
0
,k 3
样本偏自相关图
例3.5:—
(4) xt xt 1 0.5xt 2 t
理论偏自相关系数
2
3
kk 0.5
0
,k 1
,k 2
,k 3
样本偏自相关系数图
参考书籍
<<应用时间序列分析>>
编著:何书元
北京大学出版社
<<时间序列分析__预测与控制>>
著:George E.P.Box等
人民邮电出版社