Transcript Programski paket Mathematica i primena u elektrostatici

Programski paket
Mathematica i primena
u elektrostatici
Maturski rad
Nenad Živić
Šta je Mathematica?
• Mathematica je programski paket koji se koristi
na poljima matematike, fizike, inženjerstva itd.
• Mathematica je moćan alat koji se koristi za
izračunavanja, programiranje i grafički prikaz
funkcija
• Mathematica sadrži hiljade operacija, što je
čini pogodnom za najrazličitije namene
Mogućnosti programskog paketa
Mathematica
• Rad ovog programskog paketa odvija se kroz
dve celine – radnog okruženja (notebook) i
jezgra, gde se izvode sva izračunavanja (kernel)
• U liniji In[n] korisnik unosi svoju naredbu, a
Mathematica vraća rezultat u liniji Out[n]
• Mathematica obrađuje sve podatke redom,
tako da je moguće uneti više naredbi
odjednom i ostaviti ih Mathematici da ih reši
Aritmetičke operacije
• U Mathematicu je integrisan veliki
broj osnovnih matematičkih funkcija,
kao što su eksponencijalna i
logaritamska funkcija,
trigonometrijske i hiperboličke
funkcije i druge
• Takođe, integrisane su naredbe za
generaciju random brojeva,
zaokruživanje brojeva...
Aritmetičke operacije - primeri
In[1] := 11*(7-2)
Out[1] = 55
In[2] :=Sqrt[3]*Sqrt[12]
Out[2] =6
In[10] := Sum[Exp[i*3],{i,1,5}]//N
Out[10] = 3.4403 × 106
Manipulisanje izrazima
• U Mathematici je takođe moguće
manipulisati izrazima na različite načine,
sređivati ih, uvoditi pretpostavke, vršiti
transformacije...
• Najosnovnije funkcije u ove svrhe su
Expand (do kraja razvija izraz), Factor
(vrši faktorizaciju polinoma), Collect
(sređuje polinom u obliku stepena
dominantne promenljive) i Simplify (vrši
sve moguće transformacije nad izrazom)
Manipulisanje izrazima - primeri
In[4] := Expand[(3+x)(x+y)+(x+y)2]
Out[4] = 3x + 2x2 +3y + 3xy + y2
In[5] := Factor[1 + x2 + 4y + 4y2 + x(2 +
4y)]
Оut[5] = (1 + x + 2y)2
In[6] := Simplify[Sin[x]^2 + Cos[x]^2]
Out[6] = 1
Grafika
• Naredbom Plot može se nacrtati
grafik bilo koje funkcije oblika y=f(x)
In[7] := Plot[ArcTan[x], {x, -10 ,10}]
1.5
1.0
0.5
Out[7] =
10
5
5
0.5
1.0
1.5
10
Grafika
• Naredbom Plot3D može se nacrtati
trodimenzionalni grafik funkcije
In[8] := Plot3D[{x^2 + y^2, -y^2 - x^2},
{x,-5,5}, {y,-5,5}]
Out[8] =
Grafika
• Takođe, postoje funkcije ContourPlot i
ContourPlot3D (crta bilo kakvu krivu, tj.
jednačina koju unesemo ne mora biti
funkcija) i ParametricPlot i
ParametricPlot3D (i x i y i eventualna z
koordinata zavise od promenljivog
parametra t)
• Pomoću ovih funkcija moguće je crtati
bukvalno bilo kakvu krivu ili figuru u
koordinatnom sistemu
Grafika - primeri
• Evo i primera nekih
grafika dobijenih
funkcijama
ParametricPlot i
ContourPlot3D:
2.0
1.5
1.0
0.5
1
2
3
4
5
Diferenciranje i integracija
• Mathematica je u stanju da rešava
izvode (D), integrale (Integrate) i
diferencijalne jednačine (DSolve), što je
čini moćnom alatkom u naučne ali i u
edukativne svrhe
• Ukoliko neki integral ili diferencijalnu
jednačinu nije moguće analitički rešiti,
može se posegnuti za numeričkim
rešavanjem (NIntegrate i NDSolve)
Diferenciranje i integracija primeri
In[9] := D[x^2]
Out[9] = 2x
In[10] := DSolve[{y’[x] + 2y[x] == x^2, y[0]
== 0}, y[x], x]
Out[10] = {{y[x] → ¼ e-2x (-1 + e2x – e2xx +
2e2xx2 ) }}
In[11] := Integrate[Log[x^2], {x, 0, 10}]
Out[1] = 20 (-1 + Log[10])
Osnove elektrostatike
• Elektrostatika je nauka koja se bavi
proučavanjem naelektrisanih stacionarnih ili
sporih čestica
• Među naelektrisanim česticama deluje
Kulonova sila čiji se intenzitet računa po
formuli:
Osnove elektrostatike
• Svaka naelektrisana čestica oko sebe
emituje električno polje oblika:
• Linije sile električnog polja – to su
linije provučene kroz električno polje
tako da se tangenta na liniju u svakoj
tački poklapa sa vektorom jačine
polja u toj tački
Osnove elektrostatike
• Linije sile, po dogovoru, izviru iz
pozitivnog a uviru u negativno
naelektrisanje
Raderfordovo rasejanje
• Raderfordovo rasejanje je zapravo kretanje
naelektrisane čestice projektila u polju druge
nelektrisane čestice – tzv. čestice mete.
Modeliranje rasejanja
• Modeliranje Raderfordovog
rasejanja svodi se na numeričko
resavanje diferencijalne jednačine
koja opisuje kretanje naelektrisane
čestice, i grafički prikaz tog rešenja
pomoću funkcija Plot i Manipulate
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0
1
2
3
4
5
Funkcija Manipulate
• Manipulate je funkcija za
interaktivnu vizuelizaciju i najčešće
ima oblik Manipulate[expr, {u, umin,
umax}]
• Na slici
je manipulacija
funkcijom
Sin(ax+b)
Funkcija Manipulate
• Funkcijom Manipulate mozemo
menjati broj čestica prijektila,
vrednosti naelektrisanja, poziciju
mete itd.
Funkcija Manipulate
• Naravno, mozemo se ‘igrati’ brojem
čestica, njihovom početnom brzinom
i drugim parametrima...
Zakljucak
• Videli smo kako koristeći programski paket
Mathematica
možemo
bez
previše
programerskog znanja modelirati jedan fizički
proces
• Dakle, Mathematicu očigledno mogu koristiti i
početnici i ljudi koji se ozbiljno bave naukom,
što je čini jedinstvenim i sveobuhvatnim
paketom
HVALA NA PAŽNJI
(APLAUZ)