Transcript Huvudräkning - Pedagog Stockholm

Bråk och decimaltal och
procent
Mål, undervisning och resultat
Wiggo Kilborn 2011
1
Att skriva en lokal plan
Börja med det Centrala innehållet
Bryt ner detta i mål och delmål.
• Gör kriterieuppgifter.
• Hur hänger de samman?
• Vilka förkunskaper krävs?
• På vilket sätt ska man behärska innehållet?
• Hur vet man att ett mål är uppnått?
Wiggo Kilborn 2011
2
Hur vet man att ett mål är uppnått?
Till varje mål/delmål bör det finnas en diagnos.
Diagnosen bör ge besked om vilka elever som
nått delmålet respektive vilka som saknar
förkunskaper för att nå nästa mål/delmål.
Någon måste ges personligt ansvar för att alla
elever nått uppställda mål.
Wiggo Kilborn 2011
3
Planering av Bråk och Decimaltal
Området består av sju diagnoser.
•
•
•
•
•
BD1. En del av en hel. (Nämnarens betydelse)
BD2. Flera delar av en hel. (Täljarens betydelse)
BD3. Del av ett antal
BD4. Bråk som tal
BD5. Begreppsförståelse av grundläggande
operationer
• BD6. Decimaltal
• BD7. Grundläggande operationer/räkning med
decimaltal.
Wiggo Kilborn 2011
4
En del av en hel. Nämnarens betydelse
Hur stor del är skuggad?
Wiggo Kilborn 2011
5
En del av en hel. Nämnarens betydelse
Hur stor del är skuggad?
Är en fjärdedel skuggad?
Wiggo Kilborn 2011
6
En del av en hel. Nämnarens betydelse
Hur stor del är skuggad?
Är en fjärdedel skuggad?
Skugga en tredjedel
Wiggo Kilborn 2011
7
Skugga en fjärdedel av figuren
Wiggo Kilborn 2011
8
Skugga en fjärdedel av figuren
Skriv med siffror
En tredjedel En sjättedel
Wiggo Kilborn 2011
9
Skugga en fjärdedel av figuren
Skriv med siffror
En tredjedel En sjättedel
Är en tredjedel skuggad?
Wiggo Kilborn 2011
10
Övergripande struktur
En del av en hel
Flera delar av en hel
Del av ett antal
Bråk som tal
Räkning med bråk
Decimaltal
Räkning med decimaltal
Wiggo Kilborn 2011
11
Bråk och decimaltal och
procent
Mål, undervisning och resultat
Wiggo Kilborn 2011
12
I den här presentationen har jag valt att använda
Tecknet / som bråkstreck.
Bråket tre fjärdedelar skrivs alltså 3/4
Tecknet ÷ för division.
Divison av 3 med 4 skrivs alltså 3 ÷ 4
Wiggo Kilborn 2011
13
Behöver vi bråk i dagens samhälle?
Allt fler läromedel undviker att operera med bråk.
Additionen 2/5 + 1/4 skrivs om i decimalform
som 0,40 + 0,25 ≈ 0,65.
Därmed missar eleverna ett verktyg för problemlösning
och även en nödvändig förkunskap för att arbeta med
algebra.
Wiggo Kilborn 2011
14
Anders kan klippa en gräsmatta på 7 timmar och
Stina kan klippa samma gräsmatta på 5 timmar.
Hur lång tid tar det att klippa gräsmattan om de
arbetar samtidigt med var sin gräsklippare?
De klipper på en timma 1/7 + 1/5 av gräsmattan,
alltså 12/35 av gräsmattan.
Det tar således 35/12 timmar = 2 11/12 timmar
= 2 timmar och 55 minuter.
Wiggo Kilborn 2011
15
Lpo94. Uppnåendemål i årskurs 3
- kunna dela upp helheter i olika antal delar samt
kunna beskriva, jämföra och namnge delarna som
enkla bråk
Lgr11. Centralt innehåll årskurs 1-3
• Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan
benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur
enkla bråk förhåller sig till naturliga tal.
• Naturliga tal och enkla tal i bråkform och deras
användning i vardagliga situationer.
Wiggo Kilborn 2011
16
Resultat på våren i årskurs 4
31% av eleverna vet inte att
tre fjärdedelar av figuren
är skuggad
22% av eleverna kan inte skriva tre fjärdedelar
som ett bråk, alltså som 3/4
Wiggo Kilborn 2011
17
Resultat på våren i årskurs 4
31% av eleverna vet inte att
tre fjärdedelar av figuren
är skuggad
22% av eleverna kan inte skriva tre fjärdedelar
som ett bråk, alltså som 3/4
39% av eleverna kan inte
skugga 2/3 av figuren
Wiggo Kilborn 2011
18
Ringa in de figurer där 1/3 är skuggad
Årsk. 4
Årsk. 5
86%
93%
38%
45%
Wiggo Kilborn 2011
27%
34%
19
Lpo94. Uppnåendemål i årskurs 5
- ha en grundläggande taluppfattning som omfattar
naturliga tal och enkla tal i bråk- och decimalform
Lgr11. Centralt innehåll årskurs 4-6
• Rationella tal och deras egenskaper.
• Positionssystemet för tal i decimalform.
• Tal i bråk- och decimalform och deras användning i
vardagliga situationer.
• Tal i procentform och deras samband med tal i bråkoch decimalform.
samt.
Wiggo Kilborn 2011
20
• Centrala metoder för beräkningar med
naturliga tal och enkla tal i decimalform vid
överslagsräkning, huvudräkning samt vid
beräkningar med skriftliga metoder och
miniräknare. Metodernas användning i olika
situationer
Wiggo Kilborn 2011
21
Del av ett antal
Måla 3/4 av cirklarna
Åk 5
Åk 6
54%
62%
Hur mycket är 2/3 av 6?
Åk 5
Åk 6
44%
51%
Wiggo Kilborn 2011
22
Enkla problem med andelar
• I en skål låg det 12 karameller. Först åt Ola upp
en tredjedel av karamellerna. Sedan åt Lisa
upp hälften av de karameller som var kvar. Hur
många karameller låg det då i skålen?
Årskurs 5 51%
Årskurs 6 57%
Wiggo Kilborn 2011
23
Wiggo Kilborn 2011
24
Resultat på våren i årskurs 6
Beräkna 2/3 – 1/3
Lösningsfrekvens 72%
Beräkna 1 – 3/4
Lösningsfrekvens 49%
Beräkna 2 ∙ 2/5
Lösningsfrekvens 71%
Beräkna 4/5  2
Lösningsfrekvens 63%
Beräkna 1  1/2
Lösningsfrekvens 10%
Observera: Detta handlar om taluppfattning!
Wiggo Kilborn 2011
25
Lpo94. Uppnåendemål i årskurs 9
- ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal
och rationella tal i bråk- och decimalform,
- ha goda färdigheter i och kunna använda överslagsräkning med naturliga tal och tal i decimalform samt
procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av
skriftliga räknemetoder och med tekniska hjälpmedel
Wiggo Kilborn 2011
26
Lgr11. Centralt innehåll i årskurs 7-9
• Reella tal och deras egenskaper samt deras
användning i vardagliga och matematiska
situationer.
• Centrala metoder för beräkningar med tal i
bråk-och decimalform vid överslagsräkning,
huvudräkning samt vid beräkningar med
skriftliga metoder och digital teknik.
Metodernas användning i olika situationer.
Wiggo Kilborn 2011
27
Resultat på våren i årskurserna 8 och 9
Uppgift
Rätt svar åk 8
Rätt svar åk 9
1/3 + 1/4
35%
21%
3/4 – 1/4
74%
57%
3/5 – 1/3
27%
32%
6 · 1/2
65%
65%
6/5 ÷ 3
33%
27%
2 ÷ 1/3
12%
9%
Wiggo Kilborn 2011
28
Varför har svenska elever så stora problem
med bråkräkning?
Det finns två svar på detta
● Man har tonat ner bråkräkningen och satsat på
decimaltal
● De räkneregler som lärs ut är oftast föråldrade och kan
inte konkretiseras
Exempel: Division lärs ut som 3/4 ÷ 1/2 = 3/ 4 · 2/1
en regel som inte konkretiseras
Wiggo Kilborn 2011
29
Vad står det i kursplanens strävansmål?
Strävan skall också vara att eleven utvecklar sin tal- och
rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och
använda
– grundläggande talbegrepp och räkning med reella tal,
närmevärden, proportionalitet och procent
Utbildningen skall också ge en god grund för studier av
andra ämnen, fortsatt utbildning och ett livslångt
lärande
Wiggo Kilborn 2011
30
Förmågorna enligt Lgr11
• formulera och lösa problem med hjälp av matematik
samt värdera valda strategier och metoder,
• använda och analysera matematiska begrepp och
samband mellan begrepp,
• välja och använda lämpliga matematiska metoder för
att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter,
• föra och följa matematiska resonemang, och
• använda matematikens uttrycksformer för att
samtala om, argumentera och redogöra för
frågeställningar, beräkningar och slutsatser.
Wiggo Kilborn 2011
31
Hur gör man bråkräkningen begriplig?
Ett begripligt och konkretiserbart alternativ kräver kunskaper om:
1 Nämnarens innebörd
2 Täljarens innebörd
3 Varje tal i bråkform kan skrivas på oändligt många sätt
Dessutom bör eleverna behärska de vanligaste räknereglerna.
Wiggo Kilborn 2011
32
1. Nämnarens innebörd
Om man delar en hel i 3 delar får man 3 tredjedelar
Wiggo Kilborn 2011
33
1. Nämnarens innebörd
Om man delar en hel i 3 delar får man 3 tredjedelar
En sådan del kallas för en tredjedel och kan skrivas 1/3
Wiggo Kilborn 2011
34
2. Täljarens innebörd
Ett bråk som 2/3 betyder 1/3 + 1/3
=
+
Wiggo Kilborn 2011
35
2. Täljarens innebörd
Ett bråk som 2/3 betyder 1/3 + 1/3
=
+
Ett bråk som 3/4 betyder 1/4 + 1/4 + 1/4
=
+
Wiggo Kilborn 2011
+
36
3. Ett tal i bråkform kan skrivas på oändligt
många olika sätt
Ett bråk som 1/3 kan skrivas
som 1/3 =
=
2/6
=
3/9
=
Wiggo Kilborn 2011
=
4/12 ….
=
37
Addition, Subtraktion och Jämförelse
Regel: När man adderar, subtraherar och jämför två bråk
bör man se till att de har samma nämnare
För att addera talen 2/3 och 1/4 kan man först skriva om
dem så att nämnarna blir lika:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = ….
1/4 = 2/8 = 3/12 = 4/16 = 5/20 = ….
Detta ger 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12
Wiggo Kilborn 2011
38
Konkretisering av 2/3 + 1/4
2/3 kan konkretiseras så här och 1/4 kan konkretiseras så här
Wiggo Kilborn 2011
39
Konkretisering av 2/3 + 1/4
2/3 kan konkretiseras så här och 1/4 kan konkretiseras så här
Genom att kombinera mönstren ser man att
2/3 = 8/12
och
1/4 = 3/12
Wiggo Kilborn 2011
40
Multiplikation av ett bråk med ett naturligt tal
Eleverna känner bara till multiplikation som upprepad addition.
Det gäller därför att använda sig av täljarens betydelse.
2/5 betyder 1/5 + 1/5
Det innebär att 3 · 2/5 = (1/5 + 1/5) + (1/5 + 1/5) + (1/5 + 1/5)
Tydligen är 3 · 2/5 = 3 · 2 · 1/5 = 6/5
Wiggo Kilborn 2011
41
Vi återvänder nu till 6 · 1/2
Lösningsfrekvensen var 45% i årskurs 7. Varför?
6 · 1/2 kan tolkas som
1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2
Detta kan tecknas
(1/2 + 1/2) + (1/2 + 1/2) + (1/2 + 1/2) = 3 ·1 = 3
Man kan också använda den associativa lagen:
6 · 1/2 = 3 · 2 · 1/2 = 3 · (2 · 1/2) = 3 · 1
Wiggo Kilborn 2011
42
Multiplikation av två tal i bråkform
När multiplikationer som 1/3 · 2/5 förekommer i grundskolan så menar man i
allmännhet 1/3 av 2/5, vilket matematiskt sett är något helt annat.
Att ta 1/3 av ett tal innebär en division med 3.
Detta är lätt att konkretsera och förstå.
Att konkretisera 1/3 · 2/5 är mer komplicerat.
Passa istället på förklara att matematik inte handlar om att konkretisera.
Matematik handlar om att abstrahera och på ett logiskt sätt använda sig av
definitioner och regler.
Wiggo Kilborn 2011
43
Allt kan inte konkretiseras
Man kan betrakta skolmatematiken på följande sätt
Konkretiserbart
Ej konkretiserbart
Det som kan konkretiseras bör givetvis konkretiseras!
Wiggo Kilborn 2011
44
Regler och metaforer
Multiplikationen a/b · c/d definieras som
a/b ∙ c/d = ac/bd
Exempel:
1/3 · 2/5 = 2/15
Att detta är rimligt, kan “förklaras” med hjälp av metaforen area.
Wiggo Kilborn 2011
45
Man kan beräkna 1/3 · 2/5 genom att betrakta en given yta med måtten 1
dm x 1 dm och dela den på följande sätt
Wiggo Kilborn 2011
46
Man kan beräkna 1/3 · 2/5 genom att betrakta en given yta med måtten 1
dm x 1 dm och dela den på följande sätt
Varje ruta har då måtten 1/3 dm x 1/5 dm och det mörkare området
har arean 2/15 dm².
2/5
1/3
Wiggo Kilborn 2011
47
Division med ett naturligt tal
Regel: I ett bråk som 4/5 talar täljaren om hur många gånger bråket
innehåller enheten 1/5
Tänk att 4/5 = 4 · 1/5 eller i klartext 4 femtedelar
Exempel: Utför divisionen 4/5 ÷ 2
Eftersom 4/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 så innebär detta att
4/5 ÷ 2 = 1/5 + 1/5
Det är alltså logiskt sett antalet femtedelar som skall divideras med 2
Wiggo Kilborn 2011
48
Vi återvänder nu till 6/5 ÷ 3
Lösningsfrekvensen är 18% i årskurs 7 och 37% i årskurs 9
Men 6/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 =
= (1/5 + 1/5) + (1/5 + 1/5) + (1/5 + 1/5)
Det betyder att 6/5 ÷ 3 = (1/5 + 1/5) = 2/5
6/5 kan uttryckas som 6 femtedelar, alltså 6 av enheten 1/5
Att dividera med 3 innebär att dividera mätetalet 6 med 3,
inte att dividera enheten 1/5
Wiggo Kilborn 2011
49
Fungerar detta även om man dividerar 2/5 med 3?
Svaret är ja. Det enda problemet är att täljaren 2 inte är delbar
med 3.
Men ett bråk kan ju skrivas på oändligt många olika sätt.
Skriv därför om 2/5 så att täljaren blir delbar med 3, alltså som
6/15.
Den som inte kan genomskåda tekniken kan ju alltid skriva
2/5 = 4/10 = 6/15 = 8/20 = …
Vi får då 2/5  3 = 6/15 ÷ 3 = 2/15.
Wiggo Kilborn 2011
50
Division med ett tal i bråkform
Beräkna 3/4 ÷ 1/4
Här är det inte så lyckat att dividera täljaren med 1/4.
Använd istället strategin innehållsdivision.
Man ställer då frågan: Hur många kvartar går det på tre kvart?
Mer utförligt kan 3/4 skrivas 1/4 + 1/4 + 1/4.
Av detta framgår att 3/4 innehåller 3 enheter av storleken 1/4.
Man kan också betrakta detta som ¾ / ¼ och förlänga med 4.
Wiggo Kilborn 2011
51
Vi återvänder nu till 2 ÷ 1/3
Lösningsfrekvensen var 12% i årskurs 8 och 9 % i årskurs 9
Med lite intuition finner man att 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1
Detta innebär att 3 · 1/3 = 1 och att 1 ÷ 1/3 = 3
Men 2 ÷ 1/3 är dubbelt så mycket, alltså lika med 6.
Det här är enkelt att konkretisera:
Hur många flaskor läsk behöver man för att få en liter läsk?
En flaska läsk rymmer 1/3 liter, 3 flaskor läsk rymmer 1 liter osv.
Wiggo Kilborn 2011
52
Uppgift
Gör en lokal pedagogisk planering för din skola
avseende bråkräkning.
Utgå från
• Förmågor och Centralt innehåll
• Diamant- och Briljantdiagnoserna
• Hur ska kunskapsmålen utvärderas?
Wiggo Kilborn 2011
53
Tal i decimalform
Skriv som ett decimaltal
11/10
Åk 6 61%
1/50
Åk 6 24%
Wiggo Kilborn 2011
åk 7 75%
åk 7 38%
54
Tal i decimalform
Skriv som ett decimaltal
11/10
Åk 6 61%
1/50
Åk 6 24%
åk 7 75%
åk 7 38%
Sätt ett x vid 0,25 på tallinjen
0
0,5
Åk 6 67%
Wiggo Kilborn 2011
1
åk 7 76%
55
Skriv ett tal mellan 0,4 och 0,5
Åk 6 67%
Åk 7 82%
Beräkna 2 + 0,7
Åk 6 65%
Åk 7 78%
Beräkna 1/4 av 0,16
Åk 6 19%
Åk 7 24%
Wiggo Kilborn 2011
56
Men eleverna kan väl räkna med decimaltal?
Uppgift
Rätt svar åk 6
Rätt svar åk 8
7,2 - 3,9
48%
64%
9  1,5
49%
71%
30  0,4
43%
59%
2,42 ÷ 2
62%
76%
10,05 ÷ 5
35%
50%
5 ÷ 0,1
11%
51%
Wiggo Kilborn 2011
57
Med hjälp av enkla strategier och de vanligaste
räknereglerna kan man också operera med decimaltal
7,2 – 3,9 har lösningsfrekvensen 64% i årskurs 9
Här kan man antingen räkna i enheten en tiondel
72 tiondelar – 39 tiondelar = 33 tiondelar alltså 3,3
eller addera 0,1 till båda talen vilket inte förändrar differensen
7,2 – 3,9 = 7,3 – 4,0 = 3,3
Wiggo Kilborn 2011
58
Multiplikationen 9 · 1,5 gav lösningsfrekvensen
71% i årskurs 9
Men 1,5 betyder ju 1 + 0,5 eller 1 + 1/2
Det innebär att 9 · 1,5 = 9 · (1 + 0,5) =
= 9 + 9 · 0,5 = 9 + 4,5
Man kan också använda sig av enkel intuition.
Eftersom 2 ∙ 1,5 = 3 så blir 4 ∙ 1,5 = 6 och 8 ∙ 1,5 = 12 etc.
Wiggo Kilborn 2011
59
30 · 0,4 gav lösningsfrekvensen 50% i årskurs 9
Tänk 3 · 10 · 0,4 = 3 · 4
2,42 ÷ 2 gav lösningsfrekvensen 80% i årskurs 9
Tänk 242 hundradelar ÷ 2 = 121 hundradelar
eller
(2 + 42 hundradelar) ÷ 2 = 1 + 21 hundradelar
Wiggo Kilborn 2011
60
Divisionen 10,05 ÷ 5 gav lösningsfrekvensen 50%
i årskurs 9
10,05 betyder 10 hela och 5 hundradelar, alltså 10 +
0,05
Men 10 ÷ 5 = 2 och 5 hundradelar ÷ 5 = 1 hundradel
Alltså är (10 hela och 5 hundradelar) ÷ 5 = 2 hela och 1
hundradel
Vilket kan skrivas (10 + 0,05) ÷ 5 = 2 + 0,01 = 2,01
Wiggo Kilborn 2011
61
Divisionen 5 ÷ 0,01 gav lösningsfrekvensen 51% i
i årskurs 9
Problemet är av innehållstyp och kan konkretiseras som:
Hur många cm går det på 5 meter? (1 cm är ju 0,01 meter)
Alla elever som får den här typen av uppgift borde veta att det går
100 cm på en meter.
Det går då 500 cm på 5 meter.
Alternativ: Använd samma enhet i täljare och nämnare, nämligen
1 hundradel och innehållsdivision.
Vi får då 500 hundradelar ÷ 1 hundradel = 500.
Wiggo Kilborn 2011
62
Procent och proportionalitet
Resultat åk 7 Resultat åk 8
3/10 = ___%
68%
81%
2/3 av 36 kg
66%
73%
15% av 40 kr
42%
57%
Wiggo Kilborn 2011
63
Hur kan man tänka?
3/10 Förläng med 10 vilket ger 30/100 alltså 30%
2/3 av 36 kg bör tolkas som 2 · 1/3 av 36 kg
1/3 av 36 = 36 ÷ 3
Vi finner då att 2/3 av 36 = 2 · 36 ÷ 3 = 2 · 12
15% av 40 kr. Man kan dels tänka att 1% av 40 kr = 0,40 kr.
15% av 40 kr är 15 gånger så mycket som 1% av 40 kr.
15% av 40 kr är således 15 · 0,40 kr
eller
10% av 40 kr = 4 kr. 5% av 40 kr är hälften så mycket dvs. 5 kr
Wiggo Kilborn 2011
64
Procenträkning våren i årskurs 8
Ett par jeans kostar 720 kr. Man får 15% rabatt. Hur mycket får
man då betala?
Lösningsfrekvens 49%
Lisas månadslön är 29 000 kr. När skatten är dragen har Lisa
21 000 kr kvar. Hur många procent av lönen betalar hon i skatt?
Lösningsfrekvens 33%
Vid en rea har man sänkt alla priser med 20%. Stina har handlat
kläder för 720 kr. Hur mycket skulle hon ha fått betala om det
inte varit rea?
Lösningsfrekvens 10%
Wiggo Kilborn 2011
65
Hur har det blivit så här?
Mitt svar är att vi fokuserar på fel saker:
• Vi glömmer bort förkunskapens betydelse
• Vi ”talar inte matematik” om matematik
• Vi fokuserar på arbetsform och arbetssätt – inte på innehåll
• Vi fokuserar på lärstilar istället på konkretisering – abstraktion
• Vi fokuserar på förmågor som problemlösningsförmåga och
resonemangsförmåga, tilltro till det egna tänkandet samt kritiskt
granskande mm
- men glömmer bort att inget av detta är realistiskt om inte eleven kan
utföra enkla grundläggande räkneoperationer.
Wiggo Kilborn 2011
66
Gör en lokal pedagogisk planering för din skola
avseende räkning med decimaltal och bråk.
Utgå från
• Förmågor och Centralt innehåll
• Diamant- och Briljantdiagnoserna
• Hur ska kunskapsmålen utvärderas?
Wiggo Kilborn 2011
67