Transcript wyklad III
WYMIANA CIEPŁA PLAN WYKŁADÓW Wykład 3: Ustalone przewodzenie ciepła w ciałach stałych: pręty i żebra Wymiana ciepła przez pręty Wymiana ciepła przez żebra • Sprawność żeber • Efektywność żebra 1. Wyprowadzić równanie na sprawność żebra płaskiego 2. Powierzchnia metalu opływana jest z jednej strony cieczą a z drugiej gazem. Którą stronę warto użebrować i dlaczego? 3. Zastosowanie powierzchni ożebrowanej zwiększa czy zmniejsza opór cieplny? 4. Narysuj schemat powierzchni dowolnie ożebrowanej i przedstaw wzory na opór cieplny i całkowite przenikanie ciepła 5. Na podstawie liczby Biota opisz kiedy można stosować powierzchnie ożebrowane. WYMIANA CIEPŁA PRZEZ PRĘTY Ciepło odprowadzane przez przejmowanie U dx T Tp Q Ciepło doprowadzone do elementu przez przewodzenie dT Q D A p dx Ciepło odprowadzane przez przewodzenie A d T dT dx Q w p dx dx WYMIANA CIEPŁA PRZEZ PRĘTY A d d d A dx U dx dx dx dx d 2 U 2 m 2 dx A U m A C e mx D e mx WYMIANA CIEPŁA PRZEZ PRĘTY i ŻEBRA 1. BARDZO DŁUGIE 0 e mx U 0 A U 0 Q m cosh mL x 0 cosh mL 2. IZOLOWANE NA KOŃCU U 0 tghmL A U 0 tghmL Q m L sinh mL x m 0 cosh mL L sinh mL m PL B L m m A 0 B thmL A U 0 t hm L A Q 1 B thmL U cosh mL x 3. NIEIZOLOWANE NA KOŃCU A ch m L x U X 0 A ch m L U WYMIANA CIEPŁA PRZEZ ŻEBRA Ciepło przejmowane od żebra przy rzeczywistym rozkładzie temperatury wzdłuż jego wysokości U 0 tgh mh ' h ' h Q m 2 Ciepło przejmowane od żebra przy stałej temperaturze żebra wzdłuż jego wysokości U 0 A U 0 Q m SPRAWNOŚĆ ŻEBRA OKREŚLA STOSUNEK CIEPŁA PREJMOWANEGO OD ŻEBRA PRZY RZECZYWISTY ROZKŁADZIE TEMPERATUR DO CIEPŁA PRZEJMOWANEGO OD ŻEBRA PRZY STAŁEJ TEPERATURZE WZDŁUŻ JEGO WYSOKOŚCI Ż ŻP ...... ..... SPRAWNOŚĆ ŻEBER m Ż 0 ŻP m thmL thmh 0 mL mh ŻO m 2 0 1 mL m (mL) Żt 0 mL ŻEBRO OKRĄKRĄ ŻEBRO O P ROFILU T RÓJK. EFEKTYWNOŚĆ ŻEBRA Strumień ciepła oddanego przez żebro można wyrazić również równaniem Pecleta: Ak Q 0 Ż CŻ •Dla żebra płaskiego prostego zaizolowanego na końcu k CŻŻ m t hmL •Dla nieizolowanego na końcu k CŻŻ m t hmL' •Dla żebra okrągłego o stałej grubości k CŻ 0 m mL, •Dla żebra prostego o profilu trójkątnym k CŻŻ m mL EFEKTYWNOŚĆ ŻEBRA Po podzieleniu kCŻ przez otrzymuje się: k CŻ k Żi Wielkość ta wyraża zwiększenie strumienia ciepła w porównaniu ze ścianką nieożebrowaną przy założeniu że temperatura ścianki nie ulegnie zmianie na skutek stosowania żeber dla żebra prostego o stałej grubości jest: k ŻP m 2 thmL thmL W przypadku żebra nieskończenie długiego, po wykorzystaniu liczby Biota (Bi=/) efektywność żebra wynosi: k ŻP max 2 Bi Wynika stąd wartość krytyczna Bikr=2. gdy liczba Biota jest większa niż 2 – żebro działa jak izolator. Dla rzeczywistych żeber przyjmujemy, Bi<0,1 i wtedy jest wystarczająca efektywność działania żeber CELOWOŚĆ STOSOWANIA ŻEBER Stosowanie żeber jest celowe tylko w przypadku, gdy przez użebrowanie powierzchni osiąga się zwiększenie STRUMIENIA PRZEJMOWANEGO CIEPŁA. Aby określić to kryterium należy przyrównać do zera pochodną: 0 dQ B thmh dQ 0 m A 0 dh 1 B thmh dh 2 2 1 Bi B 2 W rzeczywistości temperatura żebra zmienia się tak z jego wysokością, jak i grubością. Współczynniki przejmowania ciepła od bocznych powierzchni żeber nie są stałe, a średnia ich wartość maleje w miarę wzrostu wysokości żebra. W związku z tym w praktyce jest celowe stosowanie żeber płaskich o przekroju prostokątnym, gdy: Bi 0,4 WYMIANA CIEPŁA PRZEZ ŻEBRA Przenikanie ciepła przez powierzchnią użebrowaną. płaską ścianę z jedną K C TP1 TP 2 Q 1 KC RC 1 A1 1 Q 1 A1 1 1 A1 1 S S A1 1 A mż Ż A ż 2 1 Ż A ż 2 TP1 TP 2 A1 S A1 1 Ż A ż 2 PRZYPADKI SZCZEGÓLNE DLA OKRĄGŁE ŻEBRO PŁASKIE Dla żebra okrągłego o stałej grubości pole powierzchni izotermicznej A = 2r a pole powierzchni przejmowania ciepła dF= 4rdr d d A dr dF dr dr d d r dr 4rdr dr dr d 2 1 d 2 0 2 dr r dr (r ) C1 I 0 mr C 2 K 0 mr A m Q 2 0 W A W 2rW I1 m rZ K1 m rW I1 m rW K1 m rZ I 0 m rW K1 m rZ I1 m rZ K 0 m rW L rZ rW ; m rW mL ; 1 rZ ; rW r' r ; 2 m rZ mL 1 L' L 2 PRZYPADKI SZCZEGÓLNE DLA ŻEBRO PROSTE O PROFILU TRÓJKĄTNYM Dla żeber o zmiennym profilu wygodnie jest odwrócić oś x, wówczas profil żebra: x X 0 L I 0 2m Lx ( x ) 0 I 0 2mL 0 ( x 0) I 0 2mL 0 0 m (mL) Q I1 2mL (mL) I 0 2mL PRZEWODZENIE CIEPŁA PRZY ISTNIENIU WEWNĘTRZNYCH ŹRÓDEŁ CIEPŁA W ŚCIANCE PŁASKIEJ 1. WYZNACZENIE ROZKŁADU TEMPERATURY W ŚCIANCE PŁASKIEJ q v 0 2 T q v q v 2 d 2 q v d 0 x C T x C1x C 2 1 dx 2 dx 2 dla : x 0 T TS1 C 2 TS1 ; T T q dla : x T TS2 C1 S2 S1 v 2 q q T T T v x 2 S2 S1 v x TS1 2 2 dT 0 xm TS2 TS1 q v 2 dx x x m Tm TS1 TS2 1 2 q v 2 1 2 Tm TS2 TS1 TS2 TS1 2 q v 2 8 0 xm x JAKIE BĘDĄ ROZKŁADY TEMPERATUR GDY NA OBU ZEWNĘTRZNYCH POWIERZCHNIACH WYSTĘPUJĄ JEDNAKOWE TEMPERATURY? PRZEWODZENIE CIEPŁA PRZY ISTNIENIU WEWNĘTRZNYCH ŹRÓDEŁ CIEPŁA W ŚCIANCE PŁASKIEJ 2. WYZNACZENIE ROZKŁADU TEMPERATURY W ŚCIANCE PŁASKIEJ GDY NA OBYDWU POWIERZCHNIACH WYSTĘPUJĄ TE SAME TEMPERATURY q v 2 TS2 TS1 q v x x TS1 2 2 TS TS1 TS2 q x T TS v x 2 xm TS2 TS1 q v 2 T Tm TS1 TS2 1 2 q v 2 1 2 Tm TS2 TS1 TS2 TS1 2 2 qv 8 q v 2 Tm TS 8 xm 2 0 xm x PRZEWODZENIE CIEPŁA PRZY ISTNIENIU WEWNĘTRZNYCH ŹRÓDEŁ CIEPŁA W ŚCIANCE PŁASKIEJ 3. WYZNACZENIE GĘSTOŚCI STRUMIENIA CIEPŁA ODPROWADZANEGO OD POWIERZCHNI ŚCIANKI q v 2 T q v q v 2 d 2 T q v dT 0 x C T x C1x C 2 1 dx 2 dx 2 dla : x 0 T TS1 C 2 TS1 ; T T q dla : x T TS2 C1 S2 S1 v 2 T T q T T q q dT q 1 v x S2 S1 v S2 S1 v 2 x 0 2 dx x 0 T T q T T q q dT q 2 v x S2 S1 v S2 S1 v 2 x 2 dx x 0 Tm TS1 TS2 1 2 0 xm x gdy : TS1 TS2 q q S v 2 DLACZEGO JEŻELI TW 2 TW1 a gdy TW 2 TW1 q v 2 , to zwroty wektorów q1 oraz q2 są zgodne, 2 q v 2 , to zwroty są przeciwne? 2 PRZEWODZENIE CIEPŁA PRZY ISTNIENIU WEWNĘTRZNYCH ŹRÓDEŁ CIEPŁA W ŚCIANCE PŁASKIEJ 4. WYZNACZENIE GĘSTOŚCI STRUMIENIA CIEPŁA GDY ZNANE SĄ WARUNKI BRZEGOWE TRZECIEGO RODZAJU: TP1,1 ORAZ TP2,2 Tm Tw1 Tw2 1 dT dT q 1 1 TP1 TS1 1 TP1 TS1 dx x 0 dx x 0 dT dT q 2 2 TS2 TfP 2 2 TS2 TP 2 dx x dx x 2 TP1 TP2 0 xm x PRZEWODZENIE CIEPŁA PRZY ISTNIENIU WEWNĘTRZNYCH ŹRÓDEŁ CIEPŁA W NIESKOŃCZENIE DŁUGIM WALCU O PROMIENIU ZEWNĘTRZNYM rw 1. WYZNACZENIE ROZKŁADU TEMPERATURY 0 q v 2 T q 0 v 2 T q q dT 1 d dT q v dT v r 2 C1 0 d r v r dr r r 2 dr r dr dr dr q q C dT v r 1 T v r 2 ln r C 2 4 r 2 dr dT 0 C1 0; dla : r 0 dr r 0 Tm Tw1 Tw2 1 q q dT T Tw T v r 2 C 2 C 2 Tw v rw2 dla : x 4 4 dr r rw 2 0 rw r q v 2 r q v 2 q v 2 rw 1 rw Tw Tw r T 4 rw 4 4 dla : r 0 q Tm Tw v rw2 4 2 PRZEWODZENIE CIEPŁA PRZY ISTNIENIU WEWNĘTRZNYCH ŹRÓDEŁ CIEPŁA W NIESKOŃCZENIE DŁUGIM WALCU O PROMIENIU ZEWNĘTRZNYM rw 2. WYZNACZENIE GĘSTOŚCI STRUMIENIA CIEPŁA ODPROWADZANEGO OD POWIERZCHNI WALCA dT Tw Tf q dr r rw dT Tw Tf dr r rw Tm Tw1 Tw2 1 2 0 rw r q v dT r ale : 2 dr q v rw Tw Tf 2 q v rw Tw Tf q 2 PRZYPADKI SZCZEGÓLNE DLA ŻEBER O ZMIENNYM PRZEKROJU WYMIANA CIEPŁA PRZEZ ŻEBRA