Transcript 1. Halmazok, bevezetés (.doc)

KÉSZÜLJ AZ
ÉRETTSÉGIRE
1. tananyag: Halmazok,
bevezetés
ELMÉLETI
ÖSSZEFOGLALÓ
ALAPFOGALMAK
HALMAZ
HALMAZ ELEME
Nem definiáljuk, csak körülírjuk vagy szemléltetjük.
Példák:
1. A 10.b osztály tanulói egy halmazt alkotnak. Ennek eleme
bármely, az adott osztálybeli tanuló, de nem eleme a 12.a
osztályos Nagy Brigitta.
2. A világűrben levő csillagok halmazt alkotnak, melynek eleme a
Nap is, de nem eleme a Hold, hiszen az nem csillag.
3. A természetes számok halmazának eleme a 2, de nem eleme a
2,4.
FOGALMAK
Elemszám, véges halmaz, végtelen halmaz, üres halmaz
1. Elemszám: megmutatja hogy egy halmazban hány elem van
Például: Ha A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, akkor |A|=7
2. Véges halmaz: elemeinek számát egy természetes számmal adhatjuk meg
Például: Ha A={a, b, c, d, e}, akkor |A|=5
3. Végtelen halmaz: elemeinek száma nem adható meg egy természetes
számmal
Például: A={egész számok halmaza}
4.
Üres halmaz: nulla elemű halmaz
Jelölése: Ø
Megjegyzés: Ha A={0}, akkor A nem üres halmaz, hiszen van egy eleme
és ez a 0. Tehát |A|=1
FOGALMAK
Egyenlő halmazok, részhalmaz, valódi részhalmaz
1. Egyenlő halmazok: Két halmaz egyenlő, ha a két halmaz elemei
ugyanazok.
Jelölés: A=B
Például: A={2, 3, 1}
B={1, 2, 3}
Ekkor A=B, hiszen az elemeik megegyeznek.
2. Részhalmaz: Egy A halmaz részhalmaza egy B halmaznak, ha A
minden eleme B-nek is eleme.
Jelölés: A⊆B
Például:
A={2, 3, 4, 5, 6}
B={természetes számok halmaz}
Ekkor A minden eleme B halmaznak is eleme, hisz mindegyik
természetes szám.
Megjegyzések:
1. Ha két halmaz egyenlő, akkor egymásnak részhalmazai is.
Ha A={1, 2, 3, 4} és B={2, 3, 1, 4}, akkor A⊆B, hisz A minden eleme Bnek is eleme, és fordítva B⊆A, hisz B minden eleme A-nak is eleme.
2. Az előbbi pontból látszik, hogy egy halmaz önmagának is
részhalmaza.
3. Egy üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.
3. Valódi részhalmaz: Egy A halmaz valódi részhalmaza egy B
halmaznak, ha A részhalmaza B-nek, valamint B-nek van olyan eleme ,
amely A-nak nem eleme.
Jelölés: A ⊂B
Például: A={1, 2, 3}
B={1, 2, 3, 4, 5}
Ekkor A valódi részhalmaza B-nek, hiszen A minden eleme B-nek is
eleme, továbbá B-nek vannak még A elemein kívül is elemei, ezek a 4 és
az 5.
Megjegyzések:
1. Látható, hogy ha A=B akkor egymásnak részhalmazai, de nem
valódi részhalmazai.
2. Ha A valódi részhalmaza B-nek, akkor A és B halmaz nem egyenlők.
MINTAFELADATOK:
1. Sorold fel a következő halmaz
elemeit:
A={ x | xє N, 5 < x ≤ 9 }
2.
Sorold fel a következő halmaz
összes kételemű részhalmazát!
A={1, 2, 3, 4}
MEGOLDÁSOK:
A={ x | xє N, 5 < x ≤ 9 }
A halmazba olyan természetes
számok tartoznak, amelyek 5-nél
nagyobbak, és 9-nél kiesebbek
vagy egyenlő vele. Ezek a
számok pedig a következők: 6, 7,
8, 9
Tehát A={6, 7, 8, 9}
1.
2. A={1,
2, 3, 4} halmaz kételemű
részhalmazait kell felsorolni.
Vagyis olyan halmazokat
keresünk, amelyeknek két eleme
van és mindkét eleme A-nak is
elem.
Ezek a következőek: B={1, 2},
C={2, 3}, D={3, 4}, E={1, 3}, F={1,
4}, G={4, 2}
FELADATSOR
1. Sorold fel a következő halmaz elemeit: A={ x | x є N, 10 < x ≤ 12 }
2. Sorold fel a következő halmaz elemeit: A={ A Föld Óceánjai}
3. Mennyi lesz A elemszáma? A={ x | x є N, x ≤ 9 }
4. Véges vagy végtelen a következő három halmaz?
A={páros pozitív számok}
B={ x | x є Z, x ≤ 5}
C={ x | x є N, x ≤ 5}
5. Sorold fel a következő halmaz összes háromelemű részhalmazát!
A={1, 2, 5, 6, 7}
6. Sorold fel a H halmaz összes kételemű részhalmazát!
H={1, 10, 100}
7. Sorolja fel a H halmaz elemeit, ha H = {kétjegyű négyzetszámok}.
8. Sorold fel A halmaz összes kételemű részhalmazát! A={egyjegyű
prímszámok}
9. Sorold fel A halmaz összes egyjegyű részhalmazát! A={2, 9, 12}
10. Írd fel elemeinek tulajdonságaival a következő halmazt!
A={5, 6, 7, 8}