(第5回)(no.1.1). - FEM勉強会(FEMST)
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FEM勉強会(第5回)
材料非線形問題の
FEM解析について
平成23年1月12日
園田 恵一郎
復習:材料非線形問題とは?
(a) 線形弾性
応力
(b) 非線形弾性
(a)
(c) 弾・塑性
(b)
(d) 完全塑性
(c)
(d)
ひずみ
0
p
e
弾・塑性問題:降伏関数、負荷
関数、流動則 (次回に解説)
モデルの選択:非線形弾性モデルか、弾塑性モデルか?
σ
σ2
鋼:
再降伏
後続降伏
fsy
0
ε
εp
初期降伏
σ1
ーfsy
σ2
σ
圧縮
コンクリート:
fc'
f t'
破壊規準
ε
fc '
引張
f t ' f c'
σ1
非線形弾性モデルでのFEM解析
時間:t=0、Δt、2Δt、3Δt、……
t 時刻のひずみと応力
t (a)
ε
t B (a) t U
σ (a) t Ct ε (a)
t
剛性方程式(外力と内力のつりあい)
t
R F
t
Rt K t U
t
t
F
t
B
( a )T t
t
CB
( a )T
dV
(a) V (a)
t
K
B
(a) V (a)
U
(a) t
t
(a) V (a)
(a)T t
CBdV ( a )
B
( a )T t
σdV ( a )
t時刻からt+Δt時刻の解へ:修正ニュートン法による反復・収束計算
t t
Rt t F 0
t t
F
(a) V (a)
初期条件: i=0
t t
t
T t t
(a)
B
σ
dv
U ( 0) t U ;
t t
F ( 0) t F
KU (i ) t t Rt t F (i 1)
t t
t t
U (i ) t t U (i 1) U (i )
F (i )
T t t (i )
(a)
B
σ
dV
(a) V (a)
t t
σ (i ) t t σ (i1) t C(i ) BU (i )
i=1,2,3,…
圧縮領域のコンクリートに対する非線形弾性モデル
fc‘
1軸応力-ひずみ曲線(コンクリート標準示方書による)
コンクリートの多軸応力状態での応力-ひずみ関係
八面体直応力σ0とせん断応力τ0と対応するひずみ、および割線弾性係数
0
0 K 0 0 (1 a 0 b 0 c 0 ...........)
0 (1 a 0 b 02 c 03 ......)
0
0 G0 0 (1 a' 0 b' 0 2 c' 03 .........) t G
0 (1 a' 0 b' 02 c' 03 .....)
2
1
3
0 ( 1 2 3 )
1
0 (1 2 3 )
3
0
3
t
K
1
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 2 1 ) 2
3
0
1
(1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
3
応力増分とひずみ増分の関係
d 0 K 0 d 0 (1 2a 0 3b 02 4c 03 ......)
d 0 G0 d 0 (1 2a' 0 3b' 02 4c' 03 ......)
初期弾性係数
K0
Ec
3(1 2 )
G0
Ec
2(1 )
表示: 0 oct , 0 oct
八面体直応力と八面体せん断応力
σn
2
1 cos120
2
cos120
1
1 2 3 oct
3
n 1/ 3,1/ 3,1/ 3
2
2
cos120
2
s3
r=τoct
r
θ
s2
s1
π平面上での破壊基準
主応力空間での3軸応力状
態の破壊基準
σ t s1 s 2 s3 2 J 2 oct
2
2
2
なぜ八面体か?
3
σ
120
n 1/ 3,1/ 3,1/ 3
τoct
n (1/ 3,1/ 3,1/ 3)
σoct
120
120
2
0
σ3
1
4
oct
oct 2 J 2
J2
3
1
kk
3
σ1
1
1
sij sij ( ij oct ij )( ij oct ij )
2
2
1
2
八面体(octahedral)の面
σ2
2軸圧縮応力状態でのコンクリート
oct
oct
σ2/σ1
oct
oct
例題:
1軸応力・ひずみ:
Ec0 (1 a b 2 )
(1 ) cr cc cc / cr
a
cc cr ( cr cc )
2
oct
x
3
oct
2
2
x
3
3
oct
(1 ) cr cc cc / cr
b
cc cr ( cr cc )
2
2
( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2
3
oct
x y z
3
2/3
cr 3.5 103
多軸応力・ひずみ関係への拡張
oct
(1 2 s ) x
3
oct
2 2 (1 s )
x
3
3
Eco
3
3K s ( oct )
1 a
oct b
1 2 s
1 2 s
1 2 s
Gs ( oct )
z s x
2
2
oct
3
3
oct 2
oct b
1 a
2 2 (1 )
2 2 (1 s )
2 2 (1 s )
s
2 Ec 0
ij 2Gs ( oct ) ij [3K s ( oct ) 2Gs ( oct )]
~
x E s
~ '
s
y E
~
z E s'
xy 0
yz 0
zx 0
y s x
~
E s'
~
Es
~
E s'
0
0
0
~
E s'
~
E s'
~
Es
0
0
0
0
0
0
~
Gs
0
0
0
0
0
0
~
Gs
0
0 x
0 y
0 z
0 xy
0 yz
~
Gs zx
kk
3
ij
~
Es K s ( oct ) 4Gs ( oct ) / 3
~
Es' K s ( oct ) 2Gs ( oct ) / 3
~
Gs Gs ( oct )
σ Cs ε
σ x
平面ひずみ問題:
E~s
~
C s E s'
0
平面応力問題:
y xy T
ε x
y
z yz zx 0
~
E s'
~
Es
0
0
0
~
G s
z yz zx 0
~' ~' 2 ~
E~ E~ ' 2 / E~
(Es Es / Es ) 0
s
s
s
~
~' 2 ~
~
~' 2 ~
'
C s ( E s E s / E s )
Es Es / Es
0
~
0
0
G
s
xy T
例題:コンクリート標準示方書での1軸応力・ひずみ関係を基礎にした場合
Ec0 (1 a b 2 )
2 f c'
1
1
a
1 31
2 cm
Ec 0 cu
2 f c'
/ cm 3
b cm
E c 0
f c' 30N/mm2
1軸応力・ひずみ曲線
35
応力σ(N/mm2)
30
25
20
3次曲線近似
C示方書
15
10
5
0
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
0.0035
0.004
ひずみ(ε)
k1 0.85
f cd' f ck' 0.85 f c' 255N/mm2
'
cu
0.35103
多軸応力・ひずみ関係への変換
x
Ec 0
2
x (1 a x b x )
3
3
3
Ec 0
3
oct 1 a
oct b
1 2 s
1 2 s
1 2 s
oct
oct
2
2
oct
Ec 0
2
3
3
2
x
oct 1 a
oct b
2 2 (1 ) oct
3
2(1 s )
2
2
(
1
)
s
s
3
Ec 0
3
3K s ( oct )
1 a
oct b
1 2 s
1 2 s
1 2 s
2
2
oct
Ec 0
3
3
2
Gs ( oct )
oct b
1 a
2 2 (1 ) oct
2(1 s )
2 2 (1 s )
s
ij 2Gs ( oct ) ij [3K s ( oct ) 2Gs ( oct )]
kk
3
ij
3次元問題
行列表示
~
x E s
~ '
s
y E
~
z E s'
xy 0
yz 0
zx 0
σ Cs ε
~
Es K s ( oct ) 4Gs ( oct ) / 3
平面ひずみ問題
E~s
~
C s E s'
0
~
E s'
~
Es
0
~
E s'
~
Es
~
E s'
0
0
0
~
E s'
~
E s'
~
Es
0
0
0
0
0
0
~
Gs
0
0
0
0
0
0
~
Gs
0
~
Es' K s ( oct ) 2Gs ( oct ) / 3
0 x
0 y
0 z
0 xy
0 yz
~
Gs zx
~
Gs Gs ( oct )
平面応力問題
0
0
~
G s
~' ~' 2 ~
E~ E~ ' 2 / E~
(
E
0
s
s
s Es / Es )
~s
~' 2 ~
~
~' 2 ~
'
C s ( E s E s / E s )
Es Es / Es
0
~
0
0
Gs
3次曲線近似: Ec0 (1 a b 2 )
による割線弾性係数の計算結果)
応力σx(N/mm2)(圧縮)
35
30
Epsx
Eps0
Gam0
25
20
15
10
5
0
-0.002
-0.001
0
0.001
0.002
Epsx,Eps0,Gam0
0.003
0.004
0.005
40000
弾性係数(N/mm2)
35000
30000
25000
3Ks=
Gs=
20000
15000
10000
5000
0
0
0.0005
0.001
0.0015 0.002 0.0025
ひずみ(εx)
s 1/ 6
0.003
(一定)
0.0035
0.004
既往の実験による検討
octp
1p
2
1 2 1p
3
1 3.65
fc '
(1 ) 2
コンクリートの体積ひずみ特性
K t K 0 (1 Cexp oct )
octp
K s K 0 (1
oct
0
C exp
octp
d oct )
数値解析による検討(要素テスト)
1軸応力状態
oct
1 2 3
3
s
1 oct'
0
f c
1
3
oct
1 2 3
3
3 oct
s
1 2.5
'
0
fc
2
2
1
3
(1 2 s )
0 1/ 6
35
30
σ1(N/mm2)
25
20
Eps0
Tau0
15
10
5
0
-0.001
0
0.001
0.002
0.003
0.004
εoct、γoct
0.005
0.006
0.007
0.008
例題:Gsの変化
3
s
1 2.5 oct
'
0
fc
2
0 1/ 6
弾性係数3Ks,Gs(N/mm2)
Gs=
12000
10000
Gs=
8000
6000
4000
2000
0
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
ひずみ(εx)
0.0025
0.003
0.0035
0.004
σ1
3軸圧縮応力状態でのコンクリート
σ2
σ3= σ3
σ1
3軸圧縮応力状態でのコンクリートの破壊基準(実験結果)
Richard(1928)の実験データ
0
Balmer(1949)の実験データ
0
静水圧下でのコンクリートの挙動 ,Green et.(1973)