Transcript Problemas resueltos

Problemas Resueltos sobre
la Definición de Funciones
Funciones elementales/Propiedades
básicas/ Problemas resueltos.
Dominios de Funciones
1
Determinar el dominio de la función:
x
f x  2
.
x 1
Solución
Nota: Cuando la función viene definida por una expresión dada
y no se especifica el dominio, este es el conjunto de puntos
para los que la expresión tiene un valor finito.
x
toma un valor finito si y sólo si
x2  1
x2 – 1 ≠ 0, es decir si x ≠ 1.
La expresión f  x  
Respuesta
El dominio de la función f es: x   / x  1
Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos.
Dominios de Funciones
2
Determinar el dominio de la siguiente función:
x 1
f x  2
.
x 1
Solución
La función toma el valor 0/0 para x = 1. Por lo tanto, la función no
está definida para x = 1. Tampoco lo está para x = -1 .
La respuesta es la misma que para el problema 1: El
dominio de la función f es: x   / x  1
Comentario
x 1
1

permite extender el
x2 1 x  1
dominio de la función f hasta el punto x = 1.
Reescribir la función como
Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos.
Operaciones con Funciones
Dado el conjunto A y las funciones f,g: A  R ,y sabiendo que k
es una constante, resolver:
Suma de Funciones
La función
f + g está definida en el conjunto A como
(f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x  A.
Multiplicación de Funciones
La función f  g está definida en el conjunto A como
(f  g)(x) = f(x)  g(x) para todo x  A.
Multiplicación de una Función por un Número
La función
k  g está definida en el conjunto A como
(k  g)(x) = k  f(x) para todo x  A.
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Funciones Monótonas
3
Sabiendo que f y g son funciones crecientes, ¿son las
siguientes funciones crecientes, decrecientes o nada?
a
f+g
b
f–g
Solución
a
Siendo a > b.
Si f es decreciente, f(a) > f(b).
Si g es creciente, g(a) > g(b).
Sumando estas dos desigualdades, obtenemos que:
f(a)+g(a) > f(b)+g(b). Por lo tanto f + g también es
creciente.
Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos.
Funciones Monótonas
3
Sabiendo que f y g son funciones crecientes, ¿son las
siguientes funciones crecientes, decrecientes o nada?
a
Solución
f+g
b
b
f–g
La función f – g puede ser creciente,
decreciente o nada.
Las funciones f(x) = 2x, g(x) = x y f(x) – g(x) = 2x – x = x
son todas crecientes. Por lo tanto f – g será creciente.
Las funciones f(x) = x, g(x) = 2x son crecientes, pero la función
f(x) – g(x) = x – 2x = -x es decreciente. Por lo tanto f – g será
decreciente.
Funciones elementales/Propiedades básicas/ Problemas resueltos.
Funciones Monótonas
3
Sabiendo que f y g son funciones crecientes, ¿son las
siguientes funciones crecientes, decrecientes o nada?
a
Solución
f+g
b
b
f–g
La función f – g puede ser creciente,
decreciente o nada.
Las funciones f(x) = x3, g(x) = 3x son
crecientes, pero la función
f(x) – g(x) = x3 – 3x
No es creciente ni decreciente.
De hecho, f – g es decreciente en el intervalo
f(x) – g(x) = x3 – 3x
(-1,1) y creciente en el resto del dominio.
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Ejemplo
4
Un globo esférico se infla de modo que el radio aumenta de
centímetro en centímetro. Expresa el volumen de gas
necesario como una función del radio r.
Solución
El volumen de una esfera de radio r es
4 3
r .
3
Por lo tanto, para aumentar el radio del globo de r a r+1 cm, se
necesitan
4
4
3
V    r  1   r 3
3
3
Centímetros cúbicos de gas.
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Ejemplo
5
Expresar el área de un rectángulo de perímetro 4 como
función de la longitud de uno de sus lados.
x
Solución
Si las longitudes de los lados adyacentes
del rectángulo son x e y, entonces el
perímetro es 2x + 2y.
y
y
x
Por lo tanto 2x + 2y = 4  2y = 4 – 2x  y = 2 – x.
El área del rectángulo es A = xy = x(2 – x) = 2x – x2.
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Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa