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République Algérienne Démocratique et Populaire
et de la recherche scientifique
Université des sciences et de la teMinistère de l’enseignement supérieur chnologie d’Oran Mohamed Boudiaf
- U.S.T.O - MB
Faculté des sciences
Département d’Informatique
Spécialité :I.S.I
Projet Recherche Opérationnelle
Problème d’acheminement
Présenté par: LARBI Djamila
BOUCHENAFA Brahim El-Khalil
•
1
Examinateur :Mr.hamdaoui
plan
I. Introduction
II. Problème d’acheminement
III. DFCI
IV. Distribution d’eau potable
V. conclusion
2
Introduction
Définition
•
•
“La RO est la discipline des méthodes scientifiques utilisables pour élaborer de
meilleures décisions. ”
La RO propose des modèles conceptuels pour analyser des situations complexes et
permet aux décideurs de faire les choix les plus efficaces.
Une approche de RO
• Comprendre le problème
• Modéliser le problème
• Proposer des méthodes de résolution, d'aide à la décision
• Tester les méthodes
• Mettre en place les méthodes et les confronter à la réalité
3
Introduction
Les domaines d’application
actuelle





4
production
Transport
Aéroportuaire
Télécommunication
Spatial
futur
 extraction de connaissances
 bioinformatique
 écologie
 les grands BDD
Introduction
Les problèmes de sac à dos
Les problèmes d’acheminement
Les grandes classes de problème
Les problèmes d’affectation
Les problèmes d’ordonnancement
Les problèmes de file d’attente
5
Introduction
Les problèmes d’acheminement
Il s’agit de divers problèmes entre les sources ayant des disponibilités données
et des destinations avec des demandes données. Les arcs du réseau ont des
coûts et éventuellement des capacités.
• problèmes de chemin optimaux
• Problèmes de distribution sans capacités
– problème de transport
– problème de transbordement
• Problèmes de distribution avec capacités
– Problème de flot maximum
– Problème de flot de coût minimum
– Problème de multi flots
6
Les problèmes d’acheminement
problèmes de chemin optimaux
 Graphe orienté value G=(X,U,C)
X l’ensemble des nœuds,
U l’ensemble des arcs
C la fonction de poids ou de coût appliquée aux arcs.
 on s’intéresse au PCC (plus court chemin).
• Pas de circuit, de coût négatif;
 Plusieurs problèmes se distinguent
• Trouver le PCC entre deux nœuds
- Algorithme de Dantzig, Dijkstra, Bellman, etc.
• Trouver un PCC entre un nœud s et tous les autres .
• Trouver le PCC entre tout couple de nœuds,
7
Les problèmes d’acheminement
Algorithme de Dantzig
Chercher le plus court chemin entre sommet de départ a et sommet d’arrivé b ,
Déterminer pour tout sommet x un nombre W(x) qui donnera la longueur du plus cours
Chemin entre a et x
Arrêt
S’arrêter une fois tous les sommets sont affectés d’un nombre W.
8
Les problèmes d’acheminement
Algorithme de Dijkstra
Déterminer le plus cours chemin d’un sommet á tous les autre sommets
soit P (potentiel) une fonction définie sur les sommets
S: source ou sommets de départ.
X: ensemble des sommets du graphe.
M: ensemble des sommets marqués.
9
Les problèmes d’acheminement
10
Les problèmes d’acheminement
Les problèmes d’acheminement
Il s’agit de divers problèmes de transport entre les sources ayant des
disponibilités données et des destinations avec des demandes données. Les
arcs du réseau ont des coûts et éventuellement des capacités.
• problèmes de chemin optimaux
• Problèmes de distribution sans capacités
– problème de transport
– problème de transbordement
• Problèmes de distribution avec capacités
– Problème de flot maximum
– Problème de flot de coût minimum
– Problème de multi flots
11
Les problèmes d’acheminement
problèmes de transport
- Données:
un ensemble X de m origines avec des disponibilités ai pour chaque produit et un ensemble
Y de n destinations avec des demandes bj. Coût unitaire cij.
clients
Coût
usines
C11 C12……………….........C1n
.
.
.
.
Cm1 Cm2……………….......Cmn
b1 b2 ………………………..bn
a1
a2
les biens disponibles
i ϵ {1..m}
am
Σi ai =Σj bj
les biens demandés j ϵ {1..n}
xij : quantités transportées du i vers j
- Objectif:
calculer un plan de transport pour minimiser le coût de transport
12
Les problèmes d’acheminement
problèmes de transport
-Modélisation de problème
Clients
c
C12
11
x12
C22
Usines
b
1
x13
x22
C32
x31
C14
C23
x21
C31
Demande
C13
x11
C21
Disponibilité
C24
x23
C33
x32
b
2
x24
C34
x33
b
3
x11 + x12 + x13 + x14= 9 pour l'usine 1
x21 + x22 + x23 + x24= 10 pour l'usine 2
x31 + x32 + x33 + x34= 7 pour l'usine 3
x11 + x21 + x31 = 6 pour le client 1
x12 + x22 + x32 = 9 pour le client 2
x13 + x23 + x33 = 8 pour le client 3
x14 + x24 + x34 = 3 pour le client 4
Min Z = c11.x11+c12.x12+…+c34.x34
13
x14
a
1
a
2
a
3
x34
b
4
26
n
x ij  problèmes
ai
d’acheminement
Les
j1
problèmes de transport
-Modélisation de problème
Fonction objectif
Min Z=ΣΣcijxij
I
j
Σj xij = ai
Contraintes
Σi xij = bj
xij  0
14
pour 1  j  m
pour 1  i  n
de production
de consommation
de signe
Les problèmes d’acheminement
problèmes de transport
La solution
On choisit
le chemin ayant
le cout le plus faible et on l’utilise pour transiter le maximum de
coin Nord-Ouest
("hasard")
marchandises.
des solution non optimale
Balas-Hammer
ici, c’est le chemin (1,1), on y fera passer 9 unités de marchandises.
12 27 61 49 83
35
18
18-9=9
9-9=0
23 39 78 28 65
42
30-5=25
32-2=30
032
67 56 92 24 53
54
14
8-5=3
14-6=8
71 43 91 67 40
49
9
11
28
6
14
5
0
2
3
0
5
9
9
2
25
3
5
6
9
90
73
5
0
0
0
0
0
Z= 12*9 + 27*9 + 39*2 + 78*25 + 42*5 + 92*3 + 24*6 + 53*5 + 40*9 = 3634
Cette solution est optimal
15
0
DFCI
DFCI
Défense des Forêts Contre
les Incendie
16
DFCI
Feu de foret
est un incendie qui se propage sur une étendue boisée
17
DFCI
Causes
Cause inconnue ;
Cause naturelle :
imprudences, accidents dus à la circulation en forêt
ou en périphérie, lignes électriques, dépôts d’ordures, reprise de feu, etc.
essentiellement, la foudre ;
pyromanie,
Cause
humaine
conflit,
involontaire
intérêt politique
(ou accidentelles)
ou foncier.:
Cause humaine volontaire :
18
DFCI
Causes
19
DFCI
Dégâts
Dégâts physiques
Algérie : surface brulée est
Dégâts écologiques:
•Pollution de l'air
•Pollution photochimique:
Les gaz émis interagissent avec les rayons solaires ultraviolets pour
produire une pollution dite photochimique.
•Gaz à effet de serre
20
DFCI
La défense contre les incendies
Les moyens de lutte contre les incendies de forêt en Algérie
Equipements et infrastructures
Nombre
Brigades Mobiles
Postes de Vigie
Chantiers d‘intervention
camions citernes feux de forêts (CCF)
camions citerne grande capacité (CCGC)
Camions Ravitailleurs
Points d’eau
522
306
784
212
35
23
1579
21
DFCI
Description de problème
une image satellitaire permet de mieux voire une exemple d’ incendie,
Deux forêts brûlent au même temps
22
DFCI
Description de problème
Données

2forêts brûlent : Msila, Merjajou.

L’eau nécessaire disponible dans 2 Points d’eau: A et B

Graphe orienté value G= (Y, U, C)
Y l’ensemble des nœuds,
Uij l’ensemble des arcs
Cij : la distance entre le points d’eau i et forets j
Xij quelle quantité d’eau envoyé ( points d’eau i aux forets j) et avec quel camions
Msila
Merjajou
Points d’eau A
X11
X12
Points d’eau B
X21
X22
23
DFCI
Description de problème
24
DFCI
Description de problème
Demande :
800 m³ pour Msila
1600 m³ pour Merjajou
Disponibilités
1000 m³ a A
1500 m³ a B
25
DFCI
Description de problème
objectif
objectif
Minimiser les dégâts estimés
Comment
Par la Minimisation de temps de parcours entre les points d’eau et les lieux
d’incendie
(1) les demandes sont satisfaites
(2) quantités demandées ne dépassent pas la quantités disponibles
(3) quantités envoyées > 0
26
DFCI
Modélisation de problème
La fonction objectif:
Min Z= X11U11+X12U12+X21U21+X22U22
X11+X21>=800
X12+X22>=1600
(1) les demandes sont satisfaites
X11+X12pas
<=1000
(2) quantités demandées ne dépassent
la quantités disponibles
X21+X22<=1500
(3) quantités envoyées > 0
Xij >0
27
DFCI
Description de problème
Conclusion
Une lutte efficace contre les incendies passe par la mise à disposition des
pompiers d’une quantité d’eau suffisante et toujours disponible.
C’est une obligation dont la responsabilité incombe aux maires,
quelle que soit la nature de l’environnement.
Si les choses semblent assez faciles en milieu urbain,
elles sont parfois plus difficiles à réaliser en milieu rural. Souvent,
la solution de facilité consiste à surdimensionné les réseaux
d’alimentation en eau des communes.
28
DFCI
La formule générale
forêts
Points
d’eau
C11 C12……………….........C1n
.
.
.
.
Cm1 Cm2……………….......Cmn
b1 b2 ………………………..bn
la distance entre i et j
a1
a2
les biens disponibles i ϵ {1.
am
les biens demandés j ϵ {1..n}
xij : quantités transportées du i vers j
29
Problème de distribution d’eau potable
30
Problème de distribution d’eau potable
Définition du problème de flot maximal sur un réseau
1)
Définition d'un réseau
Introduction:
Un graphe G = (X, U) est un réseau si :
D’après
étaitconnexe
présenté par Melle LARBI Djamila on peut estimé que
- ce queila est
l’eau le moyen le plus important pour gérer DFCI Dans le but d’amélioré le
- de il
deux
et p.
rendement
la possède
distribution
et desommets
réfléchir àparticuliers
des solutions spour
mieux gérer
l’eau qui
bien
commun
et une ressource
indispensable
à la vie
- est unles
arcs
sont munis
de capacités
inférieures
Buenetfait
appel a la recherche
opérationnelle
qui Bu≤
vat nous
permettent de traité de
supérieures
Cu
avec
Cu.
différent problèmes .
graphe sans boucle.
•
•
Maximisation du flot dans un réseau hydraulique.
Minimisation
des
couts de distribution
. du flot maximal
2)
Définition
du problème
Le problème du flot maximal est celui de la détermination
d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et
dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus
grand possible.
Page 31
Problème de distribution d’eau potable
Définition du problème de flot maximal sur un réseau
1)
Définition d'un réseau
De la source aux consommateurs
Un graphe G = (X, U) est un réseau si :
il est connexe
il possède deux sommets particuliers s et p.
les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et
supérieures Cu avec Bu≤ Cu.
graphe sans boucle.
Barrage d’eau
les château d’eau
2)
Définition du problème du flot maximal
Le problème du flot maximal est celui de la détermination
d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et
dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus
grand possible.
les robinets
les poteaux d'incendie
Page 32
Problème du flot maximal sur un réseau.
Définition du problème de flot maximal sur un réseau
Présentation1)
du problème
:
Définition
d'un réseau
Un graphe G = (X, U) est un réseau si :
Le problème est de déterminer s'il est possible de satisfaire à travers un réseau
il est
connexe
la demande
des différentes villes et comment ???
il possède deux sommets particuliers s et p.
-Pour résoudre
les arcs
sont munis
de capacités
inférieures
Bu et
ce problème
il faut dans
un premier temps
le modéliser.
supérieures Cu avec Bu≤ Cu.
graphe
sansunboucle.
Pour-cela, nous
introduisons
nouveau problème standard qui est celui du flot
maximal sur un réseau.
2)
Définition du problème du flot maximal
Le problème du flot maximal est celui de la détermination
d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et
dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus
grand possible.
Page 33
Problème du flot maximal sur un réseau.
Définition du problème de flot maximal sur un réseau
1)
Définition d'un réseau
Définition du problème de flot maximal sur un réseau
Un graphe G = (X, U) est un réseau si :
Définition d'un réseau
il est connexe
Un
= (X, U, C,deux
s, p) estsommets
un réseau siparticuliers
:
- grapheilG possède
s et p.
il est connexe
les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et
il possède deux sommets particuliers s et p.
supérieures Cu avec Bu≤ Cu.
les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et
supérieures
Cu avec
Bu≤ Cu.
graphe sans
boucle.
1)
-
graphe sans boucle.
Définition
du problème
du flot maximal
2)2)
Définition
du problème
du flot maximal
LeLe
problème
du flotdu
maximal
est celui de est
la détermination
flot
problème
flot maximal
celui de lad'un
détermination
sur
G, compatible
aveccompatible
les capacités, etavec
dont le
F sur
d'un
flot sur G,
lesflux
capacités,
et
l'arc
de retour
u est
plus l'arc
grand de
possible
. u0 est le plus
dont
le flux
F0lesur
retour
grand possible.
Page 34
Problème du flot maximal sur un réseau.
Définition du problème de flot maximal sur un réseau
Modélisation de problème
1)
Définition d'un réseau
Un réseau G = (X, U, C, s, p)
Un flot est une application F de U dans |N.
Un graphe G = (X, U) est un réseau si :
il est connexe
Objectif:
il possède deux sommets particuliers s et p.
déterminer un flot maximal sur G,
- F sur l'arc
les de
arcs
sont
munis
capacités
et dont le flux
retour
u est
le plusde
grand
possible. inférieures Bu et
supérieures Cu avec Bu≤ Cu.
– Respectant
capacités (1)
graphe
sanslesboucle.
– Conservation de flots (2)
– Valeur de flot à maximiser (3)
2)
Définition du problème du flot maximal
Le problème
duF flot maximal est celui de la détermination
Max
Fonction objectif
d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et
Cij F0 ∀(i,j)
ϵ U de retour
(1) u0 est le plus
dontFijleflux
sur l'arc
grand
possible. ∀i,j ϵ N i,j≠ s, p. (2)
Σ Fij = Σ Fij
Contraintes
j succ s
j pred p
Σ
Fij =j pred
Σ pFij =F
j succ s
(3)
Page 35
Problème du flot maximal sur un réseau.
Définition du problème de flot maximal sur un réseau
d’étude
1)
DéfinitionExemple
d'un réseau
Un graphe G = (X, U) est un réseau si :
il est connexe
il possède deux sommets particuliers s et p.
les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et
supérieures Cu avec Bu≤ Cu.
graphe sans boucle.
2)
Définition du problème du flot maximal
Le problème du flot maximal est celui de la détermination
d'un flot sur G, compatible avec les capacités, et
dont le flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus
grand possible.
Un graphe représente un système de distribution de l’eau
Page 36
Problème du flot maximal sur un réseau.
Description de problème
Données
Graphe orienté value G= (X, U, C, B, ):
Demande
50 000 m³ pour la ville 1.
40 000 m³ pour la ville 2.
80 000 m³ pour la ville 3.
Disponibilité
Deux châteaux d'eau ont une capacité = 100 000 m³
Page 37
Problème du flot maximal sur un réseau.
Description de problème
Objectif
Maximiser la quantité d'eau qui doit être distribuer à la population
Comment
Par la détermination d’un flot max sur G, et dont le flot F sur l’arc de retour
u est le plus grand possible,
mais on:
2)
1)
Respectant les capacités.
Respectant la loi de Conservation de flot.
3)
Valeur de flot á maximisé.
Page 38
Problème du flot maximal sur un réseau.
Modélisation de problème
on introduit deux sommets :
s avec deux arc (s,C1) et(s,C2)
p avec trois arc (V1,p);(V2,p) et (V3,p)
on introduit un arc de retour :
•Représente le flot du réseau.
170
Page 39
Problème du flot maximal sur un réseau.
Modélisation de problème
La fonction objectif : Max F
1)
A chaque arc on a les flot inferieur a la capacité:
pour l arc (s ,c1) : 90  100
3)
l arc (s ,c2) :80  100
l arc (c1, v1) :30  30
l arc (c1, p1) :60  60
l arc (v2, p) :40  40
l arc (v3, p) :80  80
La loi de conservation est vérifier à chaque nœud:
Pour c1 on 90=60+30,
Pour c2 on 80=50+30,
Pour p1 on 60+50=20+40+30+20,
Pour p2 on 20+30=50
La loi de conservation est vérifier á s et p
80+90=50+40+80 =F
40
2
0
pour
pour
pour
pour
pour
2)
30
50
30
170
Page 40
Problème du flot maximal sur un réseau.
Formule générale
Max F
Fij  Cij
∀(i,j) ϵ U
Σ
Fij = Σ
Fij
j succ i
j pred I
Σ
Fij =j pred
Σ pFij =F
j succ s
∀i,j ϵ N i,j≠ s, t.
(1)
(2)
(3)
Pour une solution optimale au problème en fait appel a l’algorithme de FordFulkerson .
Page 41
Algorithme de Ford-Fulkerson
Définition du problème de flot maximal sur un réseau
Notion1)
de coupes:
Définition d'un réseau
Une coupe est une partition de nœuds Z=(S,P) avec s ∈S et p∈P. La
Un
G la=somme
(X, U)desest
un réseau
capacité
de graphe
la coupe est
capacités
des arcsside: S vers P.
Algorithme
- de Ford-Fulkerson
il est connexe
-
il possède deux sommets particuliers s et p.
principe:
les arcs sont munis de capacités inférieures Bu et
Fin := FAUX
supérieures
Bu≤ Cu.
Partir d'un flot initial
compatible Cu
avecavec
les capacités
TANTQUE
FAUX sans boucle.
- fin = graphe
Effectuer la procédure de marquage à partir du flot courant
Si p est non marqué ALORS poser fin:= VRAI {le flot
2)SINONDéfinition
duàproblème
du flot
maximal
Modifier le flot
partir d'une chaîne
améliorante
μ de s vers P dans G.
FINTANTQUE
FIN
Le problème
du flot maximal est celui de la détermination
L’augmentation du
flot δflot
est donnée
d'un
sur G,par:
compatible avec les capacités, et
δ = min{(Cij-Fij)(i,j)∈μ−,
dont le Fij(i,j)∈μ+}
flux F0 sur l'arc de retour u0 est le plus
grand possible.
Propriétés :
Le flot maximum est égal à la valeur de coupe minimale
Page 42
Algorithme de Ford-Fulkerson
Application de l’algorithme sur le réseau de distribution
d'eau:
+
•pour
• pourl’arc
l’arc(s,(s,c1)
c1):90
:90< <100
100(+).
(+).
•pour
(c1,
v1)c2)
:30=
3030
onon
ne
• pourl’arc
l’arc
(c1,
:30=
peut
marquer.
ne peut
marqué .
•pour
•pour l’arc
l’arc(s,
(s,c2)
c2):90
:80<<100
100(+).
(+).
•pour
• pourl’arc
l’arc(c2,
(c2,p1)
p1):40=
:50=4050ononne
peut
marquer.
ne peut
marqué .
•pour
on(+)
ne
• pourl’arc
l’arc(c2,
(c2,p1)
p2):50=
:30 50
< 40
peut marquer.
•pour l’arc (p2, p1) :20 >0 (-).
•pour l’arc (p1, v1) :20 <30 (+).
• enfin le sommet P marqué (+).
30
+
40
20
2eme
1ere itération
itération de
de l’algorithme:
l’algorithme:
• •Marquage
Marquagede
delalasource
sourceSS(+).
(+).
+
50
30
170
Alor on a donc mis en évidence une chaîne améliorante
LaP2
procédure
permet de marquer
S C2
P1 V1 p de
quimarquage
permet d'augmenter
le flot. s, puis
C2. On
ne peut
rien marquer
d'autre,
Le C1
longpuis
de cette
chaîne
on peut
envoyer 10
unités
tous
les
arcs
issus
de
C1
ou
C2
ayant
leur
capacité
supplémentaires.
saturée. Donc le flot actuel est maximal. On ne peut
donc envoyer aucune quantité supplémentaire.
Valeur de coupe minimale = F = 180 000 m³.
Page 43
Problème de distribution d’eau potable
Conclusion
En réalité En Algérie (ou pays en développement) l’intégration de la recherche
opérationnelle dans différent domaine (en précision Optimisation de la distribution d'eau
potable) est Loin des aspirations .
Je propose un exemple (avec reportage) d’un système d’optimisation de la
distribution de l’eau potable d’ans un pays développer (France) qu’il a totalement
des différentes techniques et objectifs .
Page 44
45