Transcript Réseaux d`accès hiérarchiques

Réseaux d ’accès dans les télécommunications
Master MPRO
Option RORT
Recherche Opérationnelle dans les Réseaux et le Transport
Alain Faye ENSIIE
1
Réseaux d’accès dans les
télécommunications
Conception des réseaux d’accès
Extensions:
-Réseaux d’accès hiérarchiques avec deux technologies
-Réseaux d’accès FTTH
-Réseaux d’accès en téléphonie mobile
2
Cœur du réseau et réseaux d’accès
Réseau cœur (traits gras)
Réseau d’accès collecte les clients pour les raccorder au cœur
4 réseaux d’accès de points d’entrée 1, 2, 3, 4
3
Construction d’un réseau d’accès
Problématique:
- Choisir arcs et câbles à mettre sur les arcs
- Acheminer le trafic du point d’entrée dans le réseau cœur
vers les clients
Données
- Graphe à partir duquel on choisit les arcs
- Les clients sur les nœuds du graphe
- Demandes des clients
- Liste des câbles que l’on peut mettre sur les arcs
4
Exemple:
2 points de demandes: une demande de 5, une demande de 4
Arêtes de longueur 1 et 2 (trait épais)
5
1
1
2
r
Type de Capacité Coût par unité de
câbles
longueur
2
4
T1
2
0,15
T2
3
0,2
Une solution:
1 câble T1+1 câble T2
3 câbles T2
5
9
r
4
5
Coût de cette solution
30,2 + 0,15 + 0,2 + 220,15
2 câbles T1
4
5
Modèle de base du réseau d’accès
min (i , j )A lij hQ cij,h yij,h
ij

di
iD



f

f

ir
( j ,i )A ji (i , j )A ij  kD d k


0
i  V \ D  r


s.c. 
f 
u y
(i, j )  A
 ij hQij ij,h ij,h
 y  0,1,2,...
(i, j )  A, h  Qij
 ij,h
 f ij  0 (i, j )  A

r nœud racine (entrée dans réseau cœur)
Qij types de câbles que l’on peut mettre sur l’arc (i, j)
uij,h capacité du câble de type h sur l’arc (i, j)
yij,h nombre de câbles de type h installés sur l’arc (i, j)
6
Coùt des câbles sur un arc (i, j)
Exprimer ce coût en fonction du flot passant sur l’arc
C  f ij   min hQ cij,h yij,h
ij

 f ij  hQij uij,h yij,h (i, j )  A
s.c. 
h  Qij

 yij,h  0,1,2,...
Sac-à-dos en nombres entiers
7
Résolution par programmation dynamique
f 0
0
 min c  C  f  u  0  f  u
j
Q
 j 1,...,k j
C ( f )  uk 1  f uk
c j  C f  u j  f  u Q
 j min
1,...,Q


Exemple:
Type de
câble j
Capacité
uj
Coût câble
cj
1
6
0,55
3
24
1,03
5
48
1,67
7
96
3,03
8
Modules
Maintenant pour les capacités installées sur les arcs,
on raisonne par module
Un module représente un assemblage de câbles
Un module a une capacité et un coût
On place ou pas un module (et un seul) par arc
9
Modèle SCF (Single Commodité Flot)
min (i , j )A lij hM cij,h xij,h
ij


( j ,i )A f ji  (i , j )A


hM xij,h  1
ij
s.c. 
 f ij  hM ij uij,h xij,h

 xij,h  0,1 f ij  0



di


f ij   kD d k

0

iD
ir
i  V \ D  r
(i, j )  A
(i, j )  A
(i, j )  A, h  M ij
Mij types de modules que l’on peut mettre sur l’arc (i, j)
xij,h = 1 si le module h est installé sur l’arc (i, j)
10
Modèle MCF (Multi-Commodité Flot)
min (i , j )A lij hM cij,h xij,h
ij

i  kD
 di


k
k
i  r, k  D
( j ,i )A f ji  (i , j )A f ij   d k
 0

i  V \ r, k  D \ 
i


hM xij ,h  1
(i, j )  A
s.c. 
ij
kD f ijk  hM uij ,h xij,h (i, j )  A
ij

 f ijk  d k 
x
(i, j )  A, k  D C1 
hM ij ij , h

 x  0,1 f k  0 (i, j )  A, h  M , k  D
ij
ij
 ij,h
Un flot par client
C1: sur chaque arc, le flot du client k est nul si aucun module
11
installé
Modèle DMCF (Désagrégé Multi-Commodité Flot)
min (i , j )A l ij hM cij,h xij,h
ij

i  kD
 di


k
k
f

f

i  r, k  D
( j ,i )A hM ij ji,h (i , j )A hM ij ij,h  d k
 0

i  V \ r, k  D \ 
i



(i, j )  A
s.c. hM ij xij,h  1
k

f
(i, j )  A, h  M ij

ij , h  u ij , h x ij , h
k

D

 f ijk,h  d k xij,h (i, j )  A, k  D, h  M ij C 2 

 xij,h  0,1 f ijk,h  0 (i, j )  A, h  M ij , k  D
Un flot par client et par module
C2: sur chaque arc, le flot du client k et du module h est nul si le
12
module h n’est pas installé
Comparaison des relaxations continues des modèles
Les 3 problèmes ont même fonction objectif.
On note vRelax(P) la valeur minimale de l’objectif de la relaxation
continue d’un problème P.
Montrer que:
vRelax (SCF)vRelax (MCF)vRelax (DMCF)
13
Différentes approches pour résoudre les modèles
Relaxation lagrangienne des contraintes couplant les variables
d’arc x et les variables de flot f
Décomposition de Benders : on « élimine » les variables de flot f.
- problème maître en variables d’arc x ,
- sous-problème en variables de flot f
Ajout d’inégalités valides
- Inégalité sur les variables d’arc x
- Inégalité en variables d’arc x et de flot f
14
Inégalités coupe
Basée sur le modèle SCF
(i,j)ShMijuij,hxij,hkD\Sdk
(coupe)
ceci SV t.q. rS, DS
Cette inégalité s’interprète comme :
il faut une capacité suffisante sortant de S pour acheminer
la demande aux clients à l’extérieur de S.
r
S
15
Séparation de l’inégalité coupe
G'=(V{t},AA')
On munit arc (i, j)A avec capacité hMijuij,hxij,h
A'={arcs (k, t): kD}
On munit arc (k, t)A' avec capacité dk
On calcule flot max de r à t.
Si le flot max < kDdk
alors on a une coupe min séparant r et t, de capacité=flot max<
kDdk . On en déduit S (sommets marqués par algo. de FordFulkerson) qui ne contient pas tous les sommets de D. Cet
ensemble S viole la contrainte coupe.
La solution de la relaxation continue de SCF vérifie toutes les
inégalités coupe. Par contre de ces inégalités , on peut en
déduire d’autres potentiellement violées (voir couverture).
16
Graphe pour séparation de l’inégalité coupe
i
[hMijuij,hxij,h]
j
k1
[dk1]
t
r
k2
[dk2]
En gras: graphe initial
En pointillé: les arcs que l’on rajoute
Capacité sur les arcs [ ]
On cherche un flot max de r à t soit encore une coupe de capacité
minimum séparant r et t
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Inégalité de couverture
On part d’une inégalité coupe:
(i,j)ShMijuij,hxij,hkD\Sdk
(coupe)
On note :
I(S)={(i,j,h): (i,j)(S), hMij}
b= kD\Sdk
Soit CI(S) t.q.
(i,j,h) et (i,j,h') C  (h=h')
-
(i,j,h)Cuij,h < b
C est une couverture
Si C est une couverture l’inégalité suivante est valide:
(i,j,h)I(S)\Cxij,h  1
(inégalité de couverture)
18
Exemple avec un seul module par arc
1
[2x13]
3
[3x23]
r
2
k1
[4xk2k1]
k2
[dk1=4]
t
[dk2]
On considère S={r, 1, 2, k2}
Inégalité coupe: 2x13+ 3x23+ 4xk2k14
C={(2,3)} est une couverture
Inégalité de couverture: x13+xk2k11
x23=1, x13=½, xk2k1=0 satisfait coupe mais pas couverture
19
Inégalités de couverture de flot
Ce sont des inégalités qui mêlent variables de flot f et
variables d’arcs x
Il existe plusieurs familles et extensions
20
Inégalité de couverture de flot avec un seul module par arc

T   f , x   Rn  0,1 :  jN  f j   jN  f j  b, f j  u j x j j  N   N 
n
Inégalité de couverture de flot:
Soit C   N  t.q.  jC  u j  b   avec   0

f j   jN  f j  b   jC    u j  1  x j 

jC 
Où (uj) = min{0, uj}
L’inégalité de couverture de flot est valide pour T
21

Inégalité de couverture de flot étendue avec un seul module par arc

T   f , x   Rn  0,1 :  jN  f j   jN  f j  b, f j  u j x j j  N   N 
n

Inégalité de couverture de flot étendue:
Soit C   N  t.q.  jC  u j  b   avec   0, C   N 

f j   jN  \C  f j  b   jC  u j x j   jC    u j  x j   jC    u j  1  x j 

jC 

L’inégalité de couverture de flot étendue est valide pour T
22
Théorème
 jC  u j  b   avec   0

Si: 


u j    , min
u j  
u1  max


C
C
Alors l’inégalité de couverture étendue

f j   jN  \C  f j  b   jC  u j x j   jC    u j  x j   jC    u j  1  x j 

jC 

induit une facette de ConvT
Remarque: sous les conditions, l’inégalité devient

f j   jN  \C  f j  b   jC  x j   jC    u j  1  x j 

jC 
23
Démonstration
Notations
u   u1  u k  u C  


1  1  1  1
ek  0  1  0

z  f k , xk k  C 
f k , xk k  N  \ C 
f k , xk k  C 
f k , xk k  N  \ C 
24

 u  ek
zk

 z k
~
zk
~
 z k
1 0 0 0 0 0 0 k t.q.u k  
 u    u k e1  u k ek
 u  u k ek
1 0 0 0 0 0 0  k t.q.u k  
0 0 0 0 0 0  k t.q.u k  
1  ek
 u    u k e1  u k ek
zˆ j  u  u1e1
z j  u  u1e1
wk  u
~  u
w
k
1  e1
1  e1  e j
1 0 0
wˆ k  u  e1
0 0 0 0
0 ej
1 0 0 e k
0 0 0 0 0 0  k t.q.u k  
1  ek
ek
   ek
0 0 0 0
ej
0 0
ek
0 0
1 0 0 0 0 0 ek 
wk  u     e1
1 0 0 0 0  ek
ek 
Ces points vérifient


f j   jN  \C  f j  b   jC  x j   jC    u j  1  x j 

jC 
jN 
f j   jN  f j  b,
(1)
f j  u j x j j  N   N 
25
Soit kN   N   k f k   k xk   0
l' équationd' un hyperplancontenantles pointsprécédents
Montrer que cette équation est identique à (1) à un scalaire
multiplicatif près
26
Inégalité de couverture de flot avec plusieurs modules par arc
 f , x   Rn  0,1nm :   f j    f j  b, 
jN
jN


T 


f j  hM u j ,h x j ,h , hM x j ,h  1 j  N  N 

j
j


Inégalité de couverture de flot:
Soit C   N  t.q.  jC  hM u j ,h  b   avec   0



0

A
 j  min 0,   hM j u j ,h
 h
Aj  min 0,   hM \h u j ,h

j


jC 
j
 h  M
 
j

f j   jN  f j  b   jC  A0j 1  hM x j ,h  hM Ahj x j ,h
j
j
27

Inégalité de couverture de flot étendue avec plusieurs modules par arc
 f , x   Rn  0,1nm :   f j    f j  b, 
jN
jN


T 


f j  hM u j ,h x j ,h , hM x j ,h  1 j  N  N 

j
j


Inégalité de couverture de flot étendue :
Soit C   N  t.q.  jC  hM u j ,h  b   avec   0, C   N 
j



 A0j  min 0,   hM u j ,h
j
j C  h
 A j  min 0,   hM j \h u j ,h h  M j
j  C  , B hj  min 0,   u j ,h h  M j

 f 
  u
jC 
jC

jN  \ C 
j
hM j
j ,h


fj b

 

 B hj x j ,h   jC  A0j 1  hM x j ,h  hM Ahj x j ,h
j
j

28
Inégalité de couverture de flot avec un flot par module
L’inégalité de couverture de flot avec plusieurs modules par arc n’induit pas toujours une facette.
Il peut être intéressant de désagréger le flot en prenant un flot par module.
Voyons un exemple avec deux modules par arc.
n
n
n
n







f
,
f
,
x
,
x

R

R

0
,
1

0
,
1
:  jN   f j ,1  f j , 2    jN   f j ,1  f j , 2   b
1
2
1
2




T 





 f j ,h  u j ,h x j ,h (h  1, 2), x j ,1  x j , 2  1 j  N  N

C1  N  , C 2  N  , C1  C 2   et t.q.  jC  a j ,1   jC  a j , 2  b   avec   0
1
2
C1  N  , C 2  N  t.q. u j ,1   j  C1 et u j ,1   j  C 2
L'inégalité


jC1
f j ,1   jC  f j , 2   jN  \C  f j ,1   jN  \C  f j , 2  b 
2
1
2
x    jC  x j , 2   jC    u j ,1  x j ,1   jC    u j , 2  x j , 2
jC  j ,1

1
2
induit une facettede ConvT  si :
1

2
λ  0, u j ,1   j  C1 , u j , 2   j  C 2
Notation: x j ,h  1  x j ,h
29
Exemple
Deux arcs : N   1, 2, N   
 f j ,1  2 x j ,1
j 1 
 f j , 2  3x j , 2
 f j ,1  4 x j ,1
j2 
 f j , 2  5 x j , 2
x j ,1  x j , 2  1 j  1,2
b6
C1  1, C 2  2  f1,1  x1,1  f 2, 2  4 x 2, 2  6
C1  2, C 2  1  f1, 2  3 x1, 2  f 2,1  2 x 2,1  6
Si on ne prendpas un flot par module :
C   1,2  f1  f 2  x 2,1  x 2, 2  5
P our le pointfractionnaire suivant ,observerla satisfaction ou non des inégalitésprécédentes
f1,1  0, f1, 2  3, x1,1  0, x1, 2  1
f 2,1  3, f 2, 2  0, x 2,1  34 , x 2, 2  0
30
Application
Les inégalités de couverture de flot s’appliquent à SCF , MCF
ou DMCF
Exemple sur SCF:
On choisit ID un ensemble de nœuds de demande
On additionne les contraintes de flot sur les nœuds iI
On considère les contraintes de borne sur les arcs incidents à I
( j ,i )   I  f ji  ( i , j )   I  f ij  iI d i


f e  hM ue ,h xe,h e   I 

e

On relâche l’égalité en une inégalité  ou 
On se retrouve avec un ensemble T comme précédemment
31
Bibliographie
Solving the Capacitated Local Access Network Design Problem
S.Salman, J.Hooker INFORMS Journal on computing Vol.20, n°2 (2008) pp.243-254
Exact Approaches to the Single-Source Network Loading Problem
I.Ljubic, P.Putz, J-J.Salazar-Gonzales Technical report n° [2009-05]
Integer and Combinatorial Optimization
G.Nemhauser, L.Wolsey Wiley Interscience (1988)
Telecommunication Access Network Design
T.Carpenter, H.Luss. Handbook of Optimization in Telecommunication (Chapter 13).
Springer Science/Business Media
32
Réseaux d’accès hiérarchiques
33
Réseaux d’accès hiérarchiques
Plusieurs types de technologie en présence.
Par exemple: fil de cuivre ou fibre optique
Installation d’appareils (transformateurs) pour que les données
puissent passer d’une technologie à l’autre
Les transformateurs sont placés sur certains nœuds du graphe
Il faut répondre aux points suivants:
- Choisir les arcs du graphe
- Choisir la technologie à installer sur les arcs sélectionnés
- Placer les transformateurs
34
Exemple avec m niveaux
Niveau 1
Niveau 2
Niveau m
Sommets noirs = points de demandes
35
Sommets blancs = points où peuvent être placés les transformateurs
Modèle à 2 niveaux


min i , j A cij,1 xij,1  cij, 2 xij, 2  d ij,1 f ij,1  d ij, 2 f ij, 2  iV ci z i

 f i  kV d k i  r
 j ,i A f ji,1  i , j A f ij,1  

 f i i  V \ r

0  f i  sz i
s.c. 
f 
f 
f  di
 i  j ,i A ji, 2 i , j A ij, 2
0  f ij,1  Mxij,1 , 0  f ij, 2  Mxij, 2

 xij,1 , xij, 2 , z i  0,1
niveau1
i  V
passagedu
niveau1 à 2
i  V
niveau2
i, j   A
i, j   A, i  V
Un flot par niveau mais pas par client (cf. modèle SCF)
fij,1 flot niveau 1 , fij,1 flot niveau 2
zi=1 si un transformateur est un installé en i , 0 sinon
s capacité d’un transformateur , M capacité d’un arc
fi quantité de flot passant du niveau 1 à 2 au nœud i
Ici les demandes sont alimentés par un flot de niveau 2
36
Réseau primaire : réseau définis par les arcs de technologie 1
Réseau secondaire : arcs de technologie 2
Un arc peut être équipé des deux types de technologie
Des arcs peuvent se retrouver à la fois dans le réseau primaire
et dans le secondaire
Voir exemple page suivante.
37
Exemple:
Réseau initial et points de demandes
Réseau primaire et localisation des transformateurs (triangles)
38
réseau secondaire et demande sur chaque transformateur
Relaxation lagrangienne
On relâche les contraintes couplantes
décomposition en 3 sous-pbs indépendants en f, en x, en z


min i , j A cij,1 xij,1  cij, 2 xij, 2  d ij,1 f ij,1  d ij, 2 f ij, 2  iV ci z i

 f i  kV d k i  r
 j ,i A f ji,1  i , j A f ij,1  
 f i i  V \ r



s.c.  f i   j ,i A f ji, 2  i , j A f ij, 2  d i
i  V


 xij,1 , xij, 2 , z i  0,1,
i, j   A, i  V

 f i  0, f ij,1  0, f ij, 2  0
f i  sz i  0  vi  0 i  V
f ij,1  Mxij,1  0  wij,1  0 ,
f ij, 2  Mxij, 2  0  wij, 2  0 i, j   A
39
Problème LR1



 
min i , j A d ij,1  wij,1 f ij,1  d ij, 2  wij, 2 f ij, 2  iV vi f i

 f i  kV d k i  r
 j ,i A f ji,1  i , j A f ij,1  
 f i i  V \ r


s.c. 
i  V
 f i   j ,i A f ji, 2  i , j A f ij, 2  d i


i, j   A, i  V
 f i  0, f ij,1  0, f ij, 2  0
Problème de plus courts chemins de r aux sommets demandes
d ij,1  wij,1
r
vi
d ij, 2  wij, 2
40
Problème LR2



 
min i , j A cij,1  Mwij,1 xij,1  cij, 2  Mwij, 2 xij, 2
s.c.
x
ij ,1
, xij, 2  0,1 i, j   A
Problème LR3
min iV ci  sv i z i
s.c.
z i  0,1
i  V
Résolus par inspection des coefficients
41
Maximisation de la fonction duale
Soit f*, x*, z* solutions de LR1, LR2, LR3
 f i *, j ,1  Mxi*, j ,1 coordonnée wij,1
  *
g   f i , j , 2  Mxi*, j , 2 coordonnée wij, 2
 f *  sz *
coordonnéevi
i
 i
g est un sous-gradient de la fonction duale
Il donne la direction de déplacement dans la méthode de sous - gradient
 wij,1 


 wij, 2 
v 
 i 
 wij ,1 


 wij , 2 
v 
 i 
h
h 1

g

 g
h
 wij,1 


 wij, 2 
v 
 i 
h 1
Si variables duales deviennent <0
dans le vecteur h+1 on les met à 0
h
 wij ,1 



  wij , 2    h g
v 
 i 
h pas à l’itération h h 0 quand h
42
Relaxation lagrangienne et relaxation continue
Dans LR2 et LR3 on peut relâcher la condition d’intégrité sur x et z sans changer
la valeur optimum de LR2 et LR3.
Il en résulte que la relaxation lagrangienne donne la même borne inférieure
que la relaxation continue.
Heuristique lagrangienne
L’intérêt de la relaxation lagrangienne réside plus ici dans l’obtention de solution
réalisable (borne supérieure) à partir de la solution fournie par le problème dual.
Par exemple, si M et s sont des capacités égales à la somme des demandes,
à partir du flot f* solution de LR1 on obtient facilement une solution du problème
en mettant des arcs et des transformateurs là où passe le flot.
43
Cas particuliers -Variantes
Pas de transformateurs ou de coûts suffisamment faibles pour qu’on puisse les négliger
Deux technologies mais un seul type de technologie par arc
min
c

 
i , j A
t 1, 2
ij ,t
xij,t  kD d ijk,t f ijk,t


i  kD
 di


k
k
f

f

i  r, k  D
 j ,i A t 1, 2 ji,t i , j A t 1, 2 ij,t  d k
 0

i  V \ r, k  D \ 
i


0  f ijk,t  d k xij,t i, j   A, t  1, 2 , k  D

s.c.  xij,1  xij, 2  1 i, j   A

i ,k A xik ,1  xik , 2   1 k  D

l ,i A xli,1  xij,1 i, j   A, i  r (connectivité primaire)



Modèle multiflot désagrégré (un flot par technologie) similaire à DMCF
44
technologiemodule
Connectivité primaire:
le réseau primaire (formé des arcs de technologie 1) doit être connexe.
Dans ce modèle, les flots de technologie 1 et 2 circulant sur un même niveau,
on est obligé de rajouter des contraintes pour avoir la propriété de connexité
du réseau primaire.
r
primaire
i
secondaire
Nombre de variables de flot
Le modèle comporte beaucoup de variables f : arcsclients technologies
Il y a un intérêt à les éliminer et à les faire intervenir par des coupes
C’est la méthode de décomposition de Benders
45
Décomposition de Benders
Pour x fixé, le problème se décompose en plusieurs sous-problèmes
un par commodité k.
•Sous-problème k = plus court chemin de r au nœud de demande k
min i , j A t 1, 2 d ijk,t f ijk,t

i  kD
 di


k
k
var.duale pi
f

f

ir
 j ,i A t 1, 2 ji,t i , j A t 1, 2 ij,t  d k
s.c. 
 0
i  V \ r , k 


0   f k  d x i, j   A, t  1, 2
var.duale ij,t
ij ,t
k ij ,t

•Dual
j
pj
max d k prk  d k pkk  t 1, 2 d k xij,t ijk,t
i
pi
k
k
k
k
 p j  pi   ij,t  d ij,t (i, j )  A, t  1,2
 k
s.c. ij,t  0 (i, j )  A, t  1,2
 k
 pi  0 ou  0 i V
46
Lorsque x définit une arborescence la solution du dual est immédiate
On note Ck le chemin de r à k dans l’arborescence
p rk  0
p kj  pik  d ijk,1 si i,j   C k et xij ,1  1
p kj  pik  d ijk, 2 si i,j   C k et xij , 2  1
p kj  0 sinon
α ijk ,1  0 si i,j   C k et xij ,1  1


α ijk ,1  max 0, p kj  p ik  d ijk,1 sinon
α ijk , 2  0 si i,j   C k et xij , 2  1


α ijk , 2  max 0, p kj  p ik  d ijk, 2 sinon
47
Problème maître
min
c

 
i , j A
t 1, 2
ij ,t
xij,t  


  kD d k p kk ,h  i , j A t 1, 2  ijk,,th xij,t itérationh

 xij,1  xij, 2  1 i, j   A
s.c. 
i ,k A xik ,1  xik , 2   1 k  D

l ,i A xli,1  xij,1 i, j   A (connectivité primaire)
Les contraintes de flot ayant disparu, on n’est pas certain que x donne une arborescence à
chaque itération h (présence de circuits)
On peut cependant rajouter des contraintes qui garantissent qu’on aura toujours une
arborescence : contraintes Miller-Tucker-Zemlin
V xij  ui  u j  V  1
en posant xij  xij,1  xij, 2
u2=1
u1=0
u1=3
u3=2
48
Réseaux d’accès en fibres optiques Fiber To The Home
49
Contexte
• Réseau d’accès: réseau hiérarchique qui relie les clients au
réseau coeur
• Equipements: bureau central, coupleurs optiques « splitters »,
fibres optiques
Réseau coeur
50
Architecture
• Architecture GPON (Gigabit Passive Optical Network)
– Optical Line Termination connecte les clients
– 2 niveaux de splitters distribuent les fibres aux clients
Optical Splitters
OLT
Bureau
central
éclate 1 fibre en 8
51
Réseau hiérarchique
• OLT = bureau central
• splitters = équipements passifs intermédiaires sur 2
niveaux
OLT
Splitters
Splitters
1
structure d’arbre
pour les splitters
2
Clients
52
Graphe d’infrastructure
• Localiser les équipements dans un graphe qui
modélise les conduites dans une ville
– localiser les splitters aux nœuds (2 niveaux de splitters)
– Router les fibres reliant OLT, splitters et clients
Les fibres peuvent
induire des cycles
53
Les données
• graphe modélisant une zone locale
• capacité sur chaque arête (nombre maximum de
fibres parcourant l’arête)
• demandes en fibre des clients (les clients sont sur les
nœuds)
• « noeud 0 » lieu du bureau central
54
Les données
C k cost of a level k splitter
lij length of the edge [i , j]
 k linear cost of a level k fiber
d ijk cost of a level k fiber on the edge [i , j] , d ijk  l ij  k
m k number of fibers produced by a level k splitter
ai demand in fibers of the clients at node i
bij capacity of the edge [i , j]
55
Les variables du problème
z ik number of level k splitters installed at node i
f ijk number of level k fibers routed on edge [i , j]
u ik number of unused fibers of level k at node i
56
Modèle: programme linéaire en nombres entiers
n
2

f , z ,u
min
i  0 k 1
C k z ik


3
 
i , j E k 1
d
k
ij
f
k
ij

 f jik


f 1ji  z 1i 
f ij1
  
j / i , j E
 j / j ,i E

f ji2  m1 z 1i  z i2 
f ij2  u i2

j / i , j E
 j /  j ,i E

3
2 2
3
3
f

m
z

a

f

u
ji
i
i
ij
i

j / i , j E
s.t.  j /  j ,i E
3
f ijk  f jik  bij

k 1
 k k
k
 z i , u i , f ij integer



i  1,..., n
(1)


i  0,..., n (2)


i  0,..., n (3)


i, j  E
( 4)
57
Inégalités valides
 x
Q ensemble de points   tel que
 y
 x  y  

 x, y entiers
avec  ,  entiers
division entière de  par  :
  q  r
avec 0  r  
Alors
rx  y  r q  1
est valide pour Q
58
Un exemple
y
3.x + y = 5
 x  y  

 x, y ent iers
  q   r
=5
rx  y  r q  1
=3
q=1
r=2
zone coupée
2.x + y = 2
x
59
Comment utiliser ces inégalités dans notre problème?
Nous considèrons un ensemble de noeuds A et nous additionnons les équations (3) pour iA
f

 
j / j ,i E
3
ji
 m 2 zi2  ai 
f

 
j / i , j E
3
ij
 ui3



3
2 2


 ai 
f

m
z



i 
  ji

i A  j A /  j ,i E
 iA 
i A

3
3

f

u

ij
i 
j A / i , j E

Agrégation de contraintes


3

  m 2  zi2   ai
f


ji


i A  j A /  j ,i E 
i A
i A
Nous posons
x

iA
z i2
,


3

y
f ji
,   m2


iA  jA /  j ,i E 


Avec
x  y  
, 
 ai
iA
Génération d’une inégalité
valide
Nous obtenons une inégalité valide
rx  y  r q  1
60
Réseau d’accès en radiotéléphonie
61
Réseaux d’accès en radiotéléphonie
Les constituants:
BTS (Base Tranceiver Station) station de base (émetteur-récepteur)
c’est le lien avec le téléphone mobile
BSC (Base Station Controller) contrôleur de stations de base
Les BTS sont reliées aux BSC suivant une configuration en boucle basée sur la
technologie SDH (Synchronous Digital Hierarchy). Liaison par fibre.
Un BTS est relié à un seul BSC.
BTS et BSC sont les constituants du sous-réseau radio
Les BSC sont reliés au sous-réseau de commutation (switching subnetwork).
62
Réseau d’accès en deux niveaux
63
Conception du sous-rèseau radio
Les BTS sont déjà localisés
Il existe un ensemble d’emplacements possibles pour les BSC
Problèmatique:
Choisir la localisation des BSC et le nombre de BSC
Allouer les BTS aux BSC
Construire les boucles de BTS
Equiper les BSC
64
Minimiser les coûts
Coûts
BSC
Coût unitaire
par BSC
Coût
d’équipement
d’un BSC
Boucles
Coût fixe par
boucle
Coût linéaire
fonction de la
longueur
65
66
67
Heuristique en 3 phases
1- Choix des emplacements des BSC et allocation des BTS aux BSC
2- Construction des boucles de BTS autour de leur BSC
3- Equipement des BSC
68
1- Choix des emplacements des BSC et allocation des BTS aux BSC
Construction d’un graphe où BTS et BSC sont reliés par des arêtes de poids égal
à leur distance. Les sommets trop éloignés ne sont pas reliés (distance max)
Les BSC sont reliés entre eux par des arêtes fictives de poids nul
BSC
BSC
BTS
BTS
Recherche d’un arbre couvrant poids minimum
Une fois l’arbre couvrant déterminé, on retire les arêtes fictives
On obtient une forêt
Les BSC sans BTS sont éliminés
Les BTS sont allouées au BSC auxquels elles sont connectées
69
Exemple:
BSC2
BSC1
BSC3
BTS1
BTS3
Graphe initial
BTS2
BSC2
BSC1
BSC3
BTS1
BTS3
Arbre couvrant
BSC2 est éliminé
BTS2
70
71
2- Construction des boucles de BTS autour de leur BSC
Problème de tournées de véhicule avec le BSC pour dépôt
Contraintes :
chaque boucle contient un nombre limité de BTS (14 maxi.)
chaque boucle a une longueur limitée (100 km maxi.)
Résolution par méthode heuristique de Clarke et Wright
72
Heuristique de Clarke et Wright
73
Heuristique Clarke et Wright.
Algorithme glouton basé sur une méthode de descente.
A chaque itération, on fusionne 2 tournées
Gain de la fusion de 2 tournées G=csj+cskcjk
A chaque itération, on fusionne les 2 tournées de plus gros gain
Pour chaque couple de tournée 4 possibilités. On choisit gain max.
G1=csj+cskcjk
G2=csi+cskcik
G3=csj+cslcjl
G4=csi+cslcil
On fusionne 2 tournées si les contraintes (longueur et nombre de BTS)
sont respectées
74
75
3- Equipement des BSC
Les BSC sont sub-divisés en NS sous-sites.
Chaque sous-site peut recevoir un équipement.
Il faut:
- allouer les boucles aux sous-sites (un sous-site peut recevoir plusieurs boucles)
- choisir les équipements des sous-sites (au plus un équipement par sous-site)
On dispose d’un ensemble d’équipement NT
chaque équipement w à une capacité Qw et un coût Mw
Le nombre à disposition de chaque équipement n’est pas limité.
Chaque BTS i a une demande di.
di est en fait un vecteur à plusieurs composantes , chacune contenant des infos
spécifiques comme par exemple le volume de trafic , le nombre de terminaux
(téléphones portables) qu’elle peut gérer.
Connaissant la constitution des boucles, on connaît la demande totale de chaque
boucle.
La capacité Qw de chaque équipement w est un vecteur de dimension similaire.
Le problème peut se modéliser par un PL en 0-1
76
77
Bibliographie
Cruz, F. R. B., Mateus, G. R. & Macgregor Smith, J. (2003). A Branch-andBound Algorithm to Solve a Multi-level Network Optimization Problem.
Journal of Mathematical Modelling and Algorithms, 1, 37-56.
A.M.Costa, P.M.França, C.L.Filho. Two-Level network design with intermediate facilities:
an application to electrical distribution
Omega 30 (2011) 3-13 www.elsevier.com/locate/omega
Randazzo, C. D., Luna, H. P. L. & Mahey, P. (2001). Benders Decomposition
for Local Access Network Design with Two Technologies, Discrete
Mathematics and Theoretical Computer Science, 4, 235-246.
M. Chardy, M-C Costa, A. Faye, M. Trampont. Optimizing the deployment of a multilevel
optical FTTH network. IFORS-2011 July 10-15 2011 Melbourne
A.Billionnet, S. Elloumi, L.G. Djerbi. Designing radio-mobile access networks based on
Synchronous digital hierarchy rings. Computers & Operations Research 2003
C. Prodhon. Le problème de localisation et routage. Thèse de doctorat de l’Université de
78
Technologie de Troyes. 2006
Inégalité de couverture de flot avec un seul module par arc

T   f , x   Rn  0,1 :  jN  f j   jN  f j  b, f j  u j x j j  N   N 
n

Inégalité de couverture de flot:
Soit C   N  t.q.  jC  u j  b   avec   0

f j   jN  f j  b   jC    u j  1  x j 

jC 
Inégalité de couverture de flot généralisée:
Soit L  N  , C   N  \ L t.q.  jC  u j   jC  u j  b   avec   0

f j   jN  \ LC   f j   jL x j  b   jC  u j   jC    u j  1  x j 

jC 
79