1 - Endüstri Mühendisliği Bölümü | Anadolu Üniversitesi
Download
Report
Transcript 1 - Endüstri Mühendisliği Bölümü | Anadolu Üniversitesi
BULANIK İLİŞKİ MATRİSİ
İLE ATAMA PROBLEMİ
ÜZERİNE
Prof. Efendi NASİBOĞLU
DEÜ Fen Fakültesi
Bilgisayar Bilimleri Bölümü
BELİRSİZLİK KAVRAMI
Stokhastik belirsizlik
Sözel belirsizlik
Zarın yuvarlanması…
Güzel kitap, düşük fiyat, ağır eşya…
Bilgisel belirsizlik
Kredi değerliliği, dürüstlük…
2
KLASİK - BULANIK MANTIK
Klasik mantık
Önermeler sadece doğru veya yanlış olabilir.
Spor yapmak faydalıdır. (Doğru)
Teorik eğitim yeterlidir. (Yanlış)
Doğruluk derecesi 0 ya da 1’dir.
Bulanık mantık
Doğruluk derecesi [0,1] aralığında değerler alabilir.
Spor yapmak faydalıdır. (0.9 doğru)
Teorik eğitim yeterlidir. (0.5 doğru)
3
KLASİK KÜME
Bir eleman bir kümeye ya aittir ya da değildir.
x A ya da x A
Klasik kümede üyelik fonksiyonu
0
A x
1
x A
x A
A x 0,1
4
KLASİK KÜME
U : insanlar kümesi
G : genç insanlar kümesi
Genç {g g 0 yaş( x) 25, x U}
Genç (x)
1
25
x
5
BULANIK KÜME
L. A. Zadeh, “Fuzzy sets,” Information and Control,
vol. 8, pp. 338-353, 1965.
U evrensel kümesinde, G bulanık kümesi üyelik
fonksiyonu ile tanımlanır.
G :U 0,1
Klasik kümede ise G :U 0,1 şeklindedir.
Genç (x)
1
25
x
6
İKİLİ BAĞLANTILAR
(BINARY RELATIONS)
A
b1
b2
b3
b4
b5
a1
a2
a3
a4
B
R A B
1
0
MR
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
7
GERÇEK HAYATTA BAĞLANTILAR
x, y’ye yakındır.
x, y’ye bağlıdır.
x ve y sayıları
x ve y olayları
0.0
0.9
MR
0.2
0.0
0.2
0.0
0.7
0.5
0.8
0.0
0.0
0.0
0.1
0.2
0.5
0.7
x, y’ye benzerdir.
x ve y kişileri veya nesneleri
R x, y , R x, y x, y X Y
8
OPTİMİZASYON NEDİR?
Optimizasyon, bir sistemde yer alan kaynakların en
iyi şekilde kullanılması ile, belirli amaçlara ulaşmayı
sağlayan bir teknoloji olarak tanımlanmaktadır.
Kaynaklar:
İşgücü,
zaman,
kapital,
hammaddeler,
kapasite,…
Amaçlar: Maliyet minimizasyonu, kâr maksimizasyonu,
kapasite kullanımının ve verimliliğin maksimizasyonu…
9
ATAMA PROBLEMLERİ
Atama problemleri bir çeşit optimizasyon problemidir.
Kaynakların, görevlere en uygun şekilde atanmasını
sağlamayı amaçlar.
İşçilerin işlere atanması
İşlerin makinelere paylaştırılması
Nesnelerin kutulara paylaştırılması…
10
ATAMA PROBLEMLERİ
Maliyet minimizasyonu için matematiksel gösterim
m
m
Min cij xij
i 1 j 1
m
x
j 1
ij
m
x
i 1
ij
1 i 1,2,...,m
1 j 1,2,...,m
xij 0 veya 1, i, j 1,2,...,m
11
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
Bir önceki problem gösteriminde i. işçinin j. işi yapma
maliyetleri bulanık değişken olabilir.
Veya
işçilerin
işleri
yapma
yeteneklerine
göre
maksimum kaliteli iş paylaşımı ile ilgilenilebilir.
12
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KUTU PAKETLEME PROBLEMI
Nesnelerin konteynerlere yerleştirilmesi problemi;
X x1 , x2 ,...,xn nesneler olsun.
S S1 , S2 ,...,Sm konteynerler olsun.
Sm1 kiralık konteyner olsun.
Nesneler ve konteynerler arasındaki bulanık ilişkiler;
R1
R1 ( xi , x j ) :
xi ’nin ve x j ’nin birarada taşınması gerekliliği
R2
R2 ( xi , x j ) :
xi ’nin ve x j ’nin birarada taşınması uyumluluğu
R3
R3 ( xi , S j ) :
xi ’nin S j’de taşınması gerekliliği
R4
R4 ( xi , S j ) :
xi ’nin S j’de taşınması uyumluluğu
13
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KUTU PAKETLEME PROBLEMI
Bu notasyona bağlı olarak;
K1 ( S j ) 1 max R1 ( x1 , x 2 ) x1 S j , x 2 S j
K 2 ( S j ) min R2 ( x1 , x 2 ) x1 S j , x 2 S j
K 3 ( S j ) 1 max R3 ( x, S j ) , x S j
K 4 ( S j ) min R4 ( x, S j ) x S j
j 1,...,m
j 1,...,m
j 1,...,m
j 1,...,m
Kalite derecesi;
A min min{ K1 ( S j ), K 3 ( S j ), K 3 ( S j ), K 4 ( S j )}
j 1,...,m
14
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KUTU PAKETLEME PROBLEMI
Kısıtlar
Fi ( x x Qi S j ) Bij
i 1,...,k ; j 1,...,m
Fi ( x x Qi S j ) fonksiyonu, x Qi S j koşulunu
sağlayan herhangi bir doğrusal fonksiyon olsun.
Bij konveks bulanık küme olsun.
Kısıtlar toplamsal da olabilir.
F ( x) B
xQi S j
i
ij
i 1,...,k ; j 1,...,m
15
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KUTU PAKETLEME PROBLEMI
A max
F ( x) min
(1.1)
(1.2)
xSm1
Fi ( x x Qi S j ) Bij
i 1,...,k ,
(1.3)
j 1,...,m
16
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KUTU PAKETLEME PROBLEMI
(1.1)-(1.3) problemini çözebilmek için problem şu
şekle dönüştürülür;
A g
(1.4)
F ( x) min
(1.5)
xSm1
Fi ( x x Qi S j ) g Bij
i 1,...,k ,
(1.6)
j 1,...,m
g (0,1]
(1.7)
17
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KUTU PAKETLEME PROBLEMI
Lemma 1: Eğer belirli bir g [0,1] için
max{1 R3 ( xi , S j ), R4 ( xi , S j )} g
sağlanıyorsa verilen “g” değeri için (1.4)-(1.7) probleminin
çözümü yoktur.
Teorem 1: g min max{1 R3 ( xi , S j ), R4 ( xi , S j )}
i 1,...,n
j 1,...,m
durumunda (1.4)-(1.7) probleminin çözümü yoktur.
ˆ , R bağlantı matrisinin transitif
Teorem 2: R
1
1
kapanması olsun.
g min max{1 Rˆ1 ( xi , x j ), R2 ( xi , x j )}
i , j 1,...,n
durumunda (1.4)-(1.7) probleminin çözümü yoktur.
18
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
n sayıda iş p1 , p2 ,..., pn , m sayıda işçi s1 , s 2 ,...,s m olsun.
Kiralık işçi grubu sm1 ile gösterilsin.
Bulanık yetenekler matrisi C cij , i 1,...,m ; j 1,...,n olsun.
İşçilerin işlere atanması X xij , i 1,...,m 1 ; j 1,...,n
Her bir esas işçinin toplam
kapasitesini aşmamalıdır.
n
a x
j ij
j 1
bi ,
iş
yüklemesi
işçinin
i 1,...,m
Her bir iş, sadece bir işçiye atanabilir.
m
x
i 1
ij
1,
j 1,...,n
19
OPTİMİZASYON KRİTERLERİ
KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
( x) min cij xij max
xij 1
m
( x)
n
a x
i 1 j 1
n
a
j 1
j
j
n
ij
1
a x
j
j 1
m 1 j
max
n
a
j 1
j
20
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
Örnekteki amaç fonksiyonunda, minimum kaliteyle iş
yapan işçinin atamasının maksimum yapılması
hedeflenmiştir. Ancak bu fonksiyondaki min operatörü
yerine
herhangi
bir
birleştirme
operatörü
kullanılabilir.
( x) min cij xij max
xij 1
( x) OWA(cij xij ) max
21
SIRALI AĞIRLIKLI ORTALAMA
BIRLEŞTIRME OPERATÖRÜ (OWA)
n boyutlu OWA birleştirme fonksiyonu Fw (a1 , a2 ,...,an )
W (w1 , w2 ,...,wn ) ağırlık vektörüyle aşağıdaki gibi
hesaplanmaktadır.
n
Fw (a1 ,...,an ) WB T wi bi
i 1
Sınırlı: min(a1 ,...,an ) F (a1 ,...,an ) max(a1 ,...,an )
Monoton: Eğer ai gi , i 1,...,n ise F (a1 ,...,an ) F ( g1 ,..., g n )
Simetrik: F (a1 ,...,an ) F (a (1) ,...,a ( n) )
Idempotent: Eğer ai a ise, F (a1 ,...,an ) a .
22
ÇÖZÜM ŞEMASİ
KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
I. Aşama
( x) max
II. Aşama
( x) max
( x) max
23
ÇÖZÜM ALGORİTMASİ
KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
I. Aşama
Adım 0. Başlangıç değerler;
xij 0, i 1, m 1; j 1, n
cij , i 1, m; j 1, n
a j , j 1, n
bi , i 1, m
si : bi , i 1, m
DegMin: 1
24
ÇÖZÜM ALGORİTMASİ
KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
Adım 1. İşler, iş miktarlarının büyüklüğüne göre
azalan sırada sıralanır.
Adım 2. Her bir iş sırayla ele alınır.
Adım 3. İşçiler j. işi yapabilme yeteneklerine göre,
azalan sırada sıralanırlar.
Adım 4. Her bir i. işçi için Adım 5 tekrarlanır.
Adım 5. Eğer a j si
xij : 1
si : si a j
DegMin: min{DegMin, cij }
Sonuç: xij , i 1, m 1; j 1, n ve DegMin
25
II. Aşama
26
II. AŞAMA ÇÖZÜM ALGORITMASI
27
28
KAYNAKLAR
NASİBOV E.N., (1998), “On The Bin Packing Problem with Fuzzy
Information”,Izv. Akad. Nauk Azerbaidzhana. Ser. Fiz.-Tekh. İ Matem.Nauk,
No 6, 23-27.
NASİBOV E.N., (2002), “Certain integral Characteristics of Fuzzy Numbers
and visual Interactive Method of Choosing The Strategy of Their Calculation”, J.
Comp. And System Sci. Int., 41(4), 584-590.
NASİBOV E.N., NASIBOVA R.A., (2003), “OWA and MIN Aggregation
methods in fuzzy bin-packing problem”, Transac.of the National Academy of
Sciences of Azerbaijan, phus.-tech. and math. series, No. 2, pp.45-50.
NASİBOV E.N., (2003), “Aggregation of Fuzzy Values in Linear Programming
Problems”, Automatic Control and Computer Sciences 37(2), 1-11.
NASİBOV E.N., (2004), “An Algorithm for Constructing an Admissible Solution
to the Bin Packing Problem with Fuzzy Constraints”, Journ. of Comp. and Syst.
Sci. Int., 43, No.2, 205-212.
NASİBOV E.N., SENOL S., NASIBOVA R.A., (2004), “An Optimal TaskAssignment Problem with a Fuzzy Competence Matrix”, Automatic Control and
Computer Science, Volume 37, No.6, 28-40.
NASİBOV, E.N., & KINAY, A.Ö., (2006), “Kaliteli İş Paylaşımı Problemi için
Bulanık Mantık Yaklaşımı”, İstanbul Ticaret Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi,
5(10), 13-22.
29