Transcript 1 - Endüstri Mühendisliği Bölümü | Anadolu Üniversitesi

BULANIK İLİŞKİ MATRİSİ
İLE ATAMA PROBLEMİ
ÜZERİNE
Prof. Efendi NASİBOĞLU
DEÜ Fen Fakültesi
Bilgisayar Bilimleri Bölümü
BELİRSİZLİK KAVRAMI

Stokhastik belirsizlik


Sözel belirsizlik


Zarın yuvarlanması…
Güzel kitap, düşük fiyat, ağır eşya…
Bilgisel belirsizlik

Kredi değerliliği, dürüstlük…
2
KLASİK - BULANIK MANTIK

Klasik mantık

Önermeler sadece doğru veya yanlış olabilir.
Spor yapmak faydalıdır. (Doğru)
 Teorik eğitim yeterlidir. (Yanlış)



Doğruluk derecesi 0 ya da 1’dir.
Bulanık mantık

Doğruluk derecesi [0,1] aralığında değerler alabilir.
Spor yapmak faydalıdır. (0.9 doğru)
 Teorik eğitim yeterlidir. (0.5 doğru)

3
KLASİK KÜME


Bir eleman bir kümeye ya aittir ya da değildir.
x  A ya da x  A
Klasik kümede üyelik fonksiyonu
0
 A x   
1
x A
x A
 A x  0,1
4
KLASİK KÜME
U : insanlar kümesi
G : genç insanlar kümesi
Genç  {g g  0  yaş( x)  25, x U}
Genç (x)
1
25
x
5
BULANIK KÜME


L. A. Zadeh, “Fuzzy sets,” Information and Control,
vol. 8, pp. 338-353, 1965.
U evrensel kümesinde, G bulanık kümesi üyelik
fonksiyonu ile tanımlanır.
G :U  0,1

Klasik kümede ise G :U  0,1 şeklindedir.
Genç (x)
1
25
x
6
İKİLİ BAĞLANTILAR
(BINARY RELATIONS)
A
b1
b2
b3
b4
b5
a1
a2
a3
a4
B
R  A B
1
0
MR  
1

0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0

0
7
GERÇEK HAYATTA BAĞLANTILAR

x, y’ye yakındır.


x, y’ye bağlıdır.


x ve y sayıları
x ve y olayları
0.0
0.9
MR  
0.2

0.0
0.2
0.0
0.7
0.5
0.8
0.0
0.0
0.0
0.1
0.2
0.5

0.7
x, y’ye benzerdir.

x ve y kişileri veya nesneleri
R  x, y , R x, y  x, y  X Y 
8
OPTİMİZASYON NEDİR?

Optimizasyon, bir sistemde yer alan kaynakların en
iyi şekilde kullanılması ile, belirli amaçlara ulaşmayı
sağlayan bir teknoloji olarak tanımlanmaktadır.

Kaynaklar:
İşgücü,
zaman,
kapital,
hammaddeler,
kapasite,…

Amaçlar: Maliyet minimizasyonu, kâr maksimizasyonu,
kapasite kullanımının ve verimliliğin maksimizasyonu…
9
ATAMA PROBLEMLERİ

Atama problemleri bir çeşit optimizasyon problemidir.

Kaynakların, görevlere en uygun şekilde atanmasını
sağlamayı amaçlar.

İşçilerin işlere atanması

İşlerin makinelere paylaştırılması

Nesnelerin kutulara paylaştırılması…
10
ATAMA PROBLEMLERİ
Maliyet minimizasyonu için matematiksel gösterim
m
m
Min  cij xij
i 1 j 1
m
x
j 1
ij
m
x
i 1
ij
 1 i  1,2,...,m
 1 j  1,2,...,m
xij  0 veya 1, i, j  1,2,...,m
11
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ

Bir önceki problem gösteriminde i. işçinin j. işi yapma
maliyetleri bulanık değişken olabilir.

Veya
işçilerin
işleri
yapma
yeteneklerine
göre
maksimum kaliteli iş paylaşımı ile ilgilenilebilir.
12
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KUTU PAKETLEME PROBLEMI


Nesnelerin konteynerlere yerleştirilmesi problemi;

X  x1 , x2 ,...,xn  nesneler olsun.

S  S1 , S2 ,...,Sm  konteynerler olsun.

Sm1 kiralık konteyner olsun.
Nesneler ve konteynerler arasındaki bulanık ilişkiler;
 R1
 R1 ( xi , x j ) :
xi ’nin ve x j ’nin birarada taşınması gerekliliği
 R2
 R2 ( xi , x j ) :
xi ’nin ve x j ’nin birarada taşınması uyumluluğu
 R3
 R3 ( xi , S j ) :
xi ’nin S j’de taşınması gerekliliği
 R4
 R4 ( xi , S j ) :
xi ’nin S j’de taşınması uyumluluğu
13
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KUTU PAKETLEME PROBLEMI


Bu notasyona bağlı olarak;


K1 ( S j )  1  max R1 ( x1 , x 2 ) x1  S j , x 2  S j

K 2 ( S j )  min R2 ( x1 , x 2 ) x1  S j , x 2  S j

K 3 ( S j )  1  max R3 ( x, S j ) , x  S j

K 4 ( S j )  min R4 ( x, S j ) x  S j







j  1,...,m
j  1,...,m
j  1,...,m
j  1,...,m
Kalite derecesi;
A  min min{ K1 ( S j ), K 3 ( S j ), K 3 ( S j ), K 4 ( S j )}
j 1,...,m
14
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KUTU PAKETLEME PROBLEMI

Kısıtlar
Fi ( x x  Qi  S j )  Bij


i  1,...,k ; j  1,...,m
Fi ( x x  Qi  S j ) fonksiyonu, x  Qi  S j koşulunu
sağlayan herhangi bir doğrusal fonksiyon olsun.
Bij konveks bulanık küme olsun.
Kısıtlar toplamsal da olabilir.
 F ( x)  B
xQi  S j
i
ij
i  1,...,k ; j  1,...,m
15
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KUTU PAKETLEME PROBLEMI
A  max
 F ( x)  min
(1.1)
(1.2)
xSm1
Fi ( x x  Qi  S j )  Bij
i  1,...,k ,
(1.3)
j  1,...,m
16
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KUTU PAKETLEME PROBLEMI

(1.1)-(1.3) problemini çözebilmek için problem şu
şekle dönüştürülür;
A g
(1.4)
 F ( x)  min
(1.5)
xSm1
Fi ( x x  Qi  S j )  g Bij
i  1,...,k ,
(1.6)
j  1,...,m
g  (0,1]
(1.7)
17
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KUTU PAKETLEME PROBLEMI

Lemma 1: Eğer belirli bir g  [0,1] için
max{1  R3 ( xi , S j ), R4 ( xi , S j )}  g
sağlanıyorsa verilen “g” değeri için (1.4)-(1.7) probleminin
çözümü yoktur.

Teorem 1: g  min max{1  R3 ( xi , S j ), R4 ( xi , S j )}
i 1,...,n
j 1,...,m
durumunda (1.4)-(1.7) probleminin çözümü yoktur.

ˆ , R bağlantı matrisinin transitif
Teorem 2: R
1
1
kapanması olsun.
g  min max{1  Rˆ1 ( xi , x j ), R2 ( xi , x j )}
i , j 1,...,n
durumunda (1.4)-(1.7) probleminin çözümü yoktur.
18
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ

n sayıda iş p1 , p2 ,..., pn , m sayıda işçi s1 , s 2 ,...,s m olsun.

Kiralık işçi grubu sm1 ile gösterilsin.

Bulanık yetenekler matrisi C  cij , i  1,...,m ; j  1,...,n olsun.

İşçilerin işlere atanması X  xij , i  1,...,m  1 ; j  1,...,n

Her bir esas işçinin toplam
kapasitesini aşmamalıdır.
n
a x
j ij
j 1

 bi ,
iş
yüklemesi
işçinin
i  1,...,m
Her bir iş, sadece bir işçiye atanabilir.
m
x
i 1
ij
 1,
j  1,...,n
19
OPTİMİZASYON KRİTERLERİ
KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
 ( x)  min cij xij  max
xij 1
m
 ( x) 
n
 a x
i 1 j 1
n
a
j 1
j
j
n
ij
 1
a x
j
j 1
m 1 j
 max
n
a
j 1
j
20
BULANIK ATAMA PROBLEMLERİ
KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ

Örnekteki amaç fonksiyonunda, minimum kaliteyle iş
yapan işçinin atamasının maksimum yapılması
hedeflenmiştir. Ancak bu fonksiyondaki min operatörü
yerine
herhangi
bir
birleştirme
operatörü
kullanılabilir.
 ( x)  min cij xij  max
xij 1

 ( x)  OWA(cij xij )  max
21
SIRALI AĞIRLIKLI ORTALAMA
BIRLEŞTIRME OPERATÖRÜ (OWA)

n boyutlu OWA birleştirme fonksiyonu Fw (a1 , a2 ,...,an )
W (w1 , w2 ,...,wn ) ağırlık vektörüyle aşağıdaki gibi
hesaplanmaktadır.
n
Fw (a1 ,...,an )  WB T   wi bi
i 1
Sınırlı: min(a1 ,...,an )  F (a1 ,...,an )  max(a1 ,...,an )
 Monoton: Eğer ai  gi , i  1,...,n ise F (a1 ,...,an )  F ( g1 ,..., g n )
 Simetrik: F (a1 ,...,an )  F (a (1) ,...,a ( n) )
 Idempotent: Eğer ai  a ise, F (a1 ,...,an )  a .

22
ÇÖZÜM ŞEMASİ
KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ

I. Aşama
 ( x)  max

II. Aşama
 ( x)  max
 ( x)   max
23
ÇÖZÜM ALGORİTMASİ
KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
I. Aşama
 Adım 0. Başlangıç değerler;
xij  0, i  1, m  1; j  1, n
cij , i  1, m; j  1, n
a j , j  1, n
bi , i  1, m
si : bi , i  1, m
DegMin: 1
24
ÇÖZÜM ALGORİTMASİ
KALİTELİ İŞ PAYLAŞİMİ PROBLEMİ
Adım 1. İşler, iş miktarlarının büyüklüğüne göre
azalan sırada sıralanır.
 Adım 2. Her bir iş sırayla ele alınır.
 Adım 3. İşçiler j. işi yapabilme yeteneklerine göre,
azalan sırada sıralanırlar.
 Adım 4. Her bir i. işçi için Adım 5 tekrarlanır.
 Adım 5. Eğer a j  si

xij : 1
si : si  a j
DegMin: min{DegMin, cij }
Sonuç: xij , i  1, m  1; j  1, n ve DegMin
25
II. Aşama
26
II. AŞAMA ÇÖZÜM ALGORITMASI
27
28
KAYNAKLAR







NASİBOV E.N., (1998), “On The Bin Packing Problem with Fuzzy
Information”,Izv. Akad. Nauk Azerbaidzhana. Ser. Fiz.-Tekh. İ Matem.Nauk,
No 6, 23-27.
NASİBOV E.N., (2002), “Certain integral Characteristics of Fuzzy Numbers
and visual Interactive Method of Choosing The Strategy of Their Calculation”, J.
Comp. And System Sci. Int., 41(4), 584-590.
NASİBOV E.N., NASIBOVA R.A., (2003), “OWA and MIN Aggregation
methods in fuzzy bin-packing problem”, Transac.of the National Academy of
Sciences of Azerbaijan, phus.-tech. and math. series, No. 2, pp.45-50.
NASİBOV E.N., (2003), “Aggregation of Fuzzy Values in Linear Programming
Problems”, Automatic Control and Computer Sciences 37(2), 1-11.
NASİBOV E.N., (2004), “An Algorithm for Constructing an Admissible Solution
to the Bin Packing Problem with Fuzzy Constraints”, Journ. of Comp. and Syst.
Sci. Int., 43, No.2, 205-212.
NASİBOV E.N., SENOL S., NASIBOVA R.A., (2004), “An Optimal TaskAssignment Problem with a Fuzzy Competence Matrix”, Automatic Control and
Computer Science, Volume 37, No.6, 28-40.
NASİBOV, E.N., & KINAY, A.Ö., (2006), “Kaliteli İş Paylaşımı Problemi için
Bulanık Mantık Yaklaşımı”, İstanbul Ticaret Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi,
5(10), 13-22.
29