Transcript Доказательство геометрических теорем координатным методом

Выполнил Балыбин Степан
Научный руководитель:
Заслуженный учитель РФ,
к.п.н. Уласевич О.Н.
 Доказательство.
 Пусть ABCD - трапеция, AD || BC, МК - средняя линия. Точку А примем за начало
координат. Луч AD примем за положительную полуось абсцисс (рис.). Координаты
вершин трапеции будут следующими:
 А(0,0), D(X1, 0), С(X2,Y2), В(X3, У2), Тогда координаты точек М и К такие: M(X3/2,Y2/2),
K((X1+X2)/2, Y2/2). Видим, что ординаты концов средней линии равны. Следовательно,
средняя линия параллельна оси абсцисс. Поскольку основание трапеции лежит на оси
абсцисс, то средняя линия параллельна основаниям.
 Вычислим длины оснований и средней линии трапеции. AD=X1, ВС=X2-X3,
МК=(X1+X2)/2 – X3/2=1/2*(X1+(X2-X3))=1/2*(AD+BC). Теорема доказана.
y
B(X3;Y2)
M
C(X2;Y2)
K
x
А(0;0)
D(X1;0)
 Доказательство.
 Пусть ABC – прямоугольный треугольник, угол А прямой. Точку А примем за начало
координат. Луч AС примем за положительную полуось абсцисс и луч AB примем за
положительную полуось ординат (рис.). Координаты вершин треугольника будут
следующими:
 А(0,0), С(X1,0), В(0, Y1).
 Вычислим длины сторон в квадрате: AB² =Y1², AC^2=X1², BC^2=Y1² +X1². видим, что BC²
=AB² +AC. Теорема доказана.
y
B(0;Y1)
x
А(0;0)
C(X1;0)
 Доказательство.
 Пусть ABCD - данный четырехугольник. О - точка пересечения диагоналей (рис).
 Решая задачи, доказывая теоремы координатным методом, важно наиболее удачно
выбрать систему координат. При одном выборе координатных осей решение задачи
может оказаться простым, при другом - более сложным.
y
D(X3;Y3)
C(X2;Y2)
O
x
А(0;0)
B(X1;0)
 Могут существовать и равноценные выборы системы. Выберем,
например, вершину A за начало координат. За ось абсцисс возьмем
прямую АВ с положительной полуосью АВ. За ось ординат примем
перпендикулярную АВ прямую с положительной полуосью, лежащей в
той же полуплоскости относительно прямой АВ, что и вершины С и D
четырехугольника. Тогда координаты точек А и В будут следующими:
 А(О,О), B(Х1,O). Пусть вершины С и D имеют координаты: С(Х2,Y2),
D(Х3,У3). Поскольку точка О - середина отрезка АС то ее ордината
будет равной Y2/2. Поскольку точка О - середина отрезка BD, то
ордината точки О равна Y3/2. Следовательно, Y2/2=Y3/2, т. е. У2=УЗ.
Поскольку ординаты точек С и D равны, то прямая CD параллельна оси
абсцисс, что означает параллельность сторон АВ и CD данного
четырёхугольника.
 Остается доказать параллельность сторон AD и BC. Это можно сделать по разному.
x
y
1)
2)
y
D(X3;Y3)
C(X2;Y2)
D(X2;Y2)
O
C(X;0)
O
B(0;0)
А(0;0)
B(X1;0)
x
А(X3;Y3)
 а) Выберем новую систему координат. За начало координат примем точку В. За ось
абсцисс примем прямую BC с положительной полуосью BC. Осью ординат будет
прямая, перпендикулярная ВС, проведенная через точку В (рис. 2). Доказательство
параллельности ВС и AD проводится аналогично.
 б) Параллельность BC и AD можно доказать, опираясь на первую систему координат
(рис. 1). В этом случае рассуждаем так.
 Поскольку точка О - середина отрезка АС, то ее абсцисса равна X2/2. Поскольку точка О середина отрезка BD, то ее абсцисса равна (X3+X1)/2. Следовательно, X2/2=(X3+X1)/2.
Если X3=0, то X2=X1, а потому отрезок BC параллелен оси ординат. Отрезок AD тогда
лежит на оси ординат. Следовательно, отрезки ВС и AD параллельны.
 Пусть X3≠0. Тогда X2≠X1, прямые AD и ВС не перпендикулярны оси абсцисс. Поэтому
уравнение каждой из этих прямых может быть представлено в виде y=kx+q. Угловой
коэффициент k для прямой AD равен Y3/X3, для прямой ВС равен Y2/(X2-X1). НО X3=X2X1, а УЗ=У2, поэтому угловые коэффициенты равны. Значит, прямые AD и ВС
параллельны.
 Доказательство.
 Пусть ABCD - данный параллелограмм. Выберем систему
координат так, как это показано на рисунке 1). Обратимся
к этому рисунку. Y3=Y2, так как прямая DC параллельна
оси абсцисс. Координаты середины диагонали АС таковы:
(X2/2,Y2/2). Координаты середины диагонали BD
следующие: ((X1+X3)/2,Y3/2). Видим, что ординаты
середин диагоналей равны. Докажем, что абсциссы
середин диагоналей также равны, т. е. X2=X1+X3.
 Если X3=0, то X2=X1, так как тогда сторона AD лежит на оси
ординат, и потому сторона ВС перпендикулярна оси
абсцисс.
 Пусть X3≠О. Тогда уравнение прямых AD и ВС имеет вид
y=kx+q.
 В силу параллельности угловой коэффициент k у них один
и тот же. Но угловой коэффициент прямой AD равен Y3/X3,
а прямой ВС равен Y2/(X2-X1). Отсюда , X3=X2-X1, т. е.
X2=X1+X3. Получили, что и абсциссы середин диагоналей
равны. Середины диагоналей совпали. Следовательно,
диагонали параллелограмма пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам.
Семёнов Ефим Евстафьевич
«ЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКА ГЕОМЕТРИИ»